“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)分析

孟瑩

選自教材：人教版（A版）《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修4》，1.2.1任意角的三角函數(shù)，本節(jié)課為第一課時(shí)。下面我將分別從教學(xué)內(nèi)容分析、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)、學(xué)生情況分析、教學(xué)策略設(shè)計(jì)四個(gè)方面對(duì)這節(jié)課進(jìn)行分析和說(shuō)明。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中都具有重要的作用。本節(jié)課首先學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的定義，新教材改變了過(guò)去習(xí)慣用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來(lái)定義的做法，轉(zhuǎn)為利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義任意角的三角函數(shù)。新的定義可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更加直接，數(shù)形結(jié)合更加緊密，也為后續(xù)學(xué)習(xí)帶來(lái)方便，從這個(gè)定義可以更加方便地推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和（差）角公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持；單位圓為討論三角函數(shù)圖象與性質(zhì)提供了很好的直觀載體。因此，學(xué)生理解和掌握任意角三角函數(shù)的定義是學(xué)好本章的基礎(chǔ)。

本節(jié)課是任意角的三角函數(shù)第一課時(shí)，屬概念教學(xué)。教材首先以銳角三角函數(shù)為引子，通過(guò)“思考”，提出用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的問(wèn)題，以引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角的三角函數(shù)的概念，體會(huì)引進(jìn)象限角概念后，用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比表示銳角的三角函數(shù)的意義，從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)。然后再“特殊化”引出用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角的三角函數(shù)的結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，再定義任意角的三角函數(shù)。

在給出了三角函數(shù)的定義后，教科書(shū)沒(méi)有直接給出他們定義域和函數(shù)值的正負(fù)，而是設(shè)置了“探究”，留給學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的空間，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的思維活動(dòng)得出結(jié)論。因此，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：

1.任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

2.三角函數(shù)在各個(gè)象限數(shù)值的符號(hào)。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的要求、本節(jié)課教材的特點(diǎn)，我認(rèn)為通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)要達(dá)到如下目標(biāo)：

1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義，會(huì)初步應(yīng)用定義解決與求三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

2.根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義探究其定義域、函數(shù)值的符號(hào)，體會(huì)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

3.經(jīng)歷將銳角的三角函數(shù)的定義推廣到任意角的三角函數(shù)的定義的探究過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想

三、學(xué)生情況分析

1.已有認(rèn)知基礎(chǔ)

此前，學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)的定義，對(duì)三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）有一定的了解，并且學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了任意角與弧度制，也初步形成了利用直角坐標(biāo)系來(lái)研究任意角的意識(shí)。因此本課從初中銳角三角函數(shù)的定義出發(fā)，過(guò)渡到把銳角置于直角坐標(biāo)系中，學(xué)生具備了知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知能力，符合知識(shí)的生成過(guò)程。

2.問(wèn)題和困難

學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過(guò)銳角三角函數(shù)，沒(méi)有坐標(biāo)系的參與，其研究目的是為解直角三角形服務(wù)。因此習(xí)慣了直觀用有關(guān)邊長(zhǎng)的比值來(lái)表示銳角三角函數(shù)，對(duì)銳角三角函數(shù)的函數(shù)實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)并不深刻。所以用終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)障礙，進(jìn)一步用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)，與學(xué)生在銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)中建立的已有經(jīng)驗(yàn)也有一定距離。

在借助單位圓將銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的三角函數(shù)定義時(shí)，與學(xué)生在數(shù)學(xué)1的學(xué)習(xí)中建立起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)也有距離。學(xué)生熟悉的函數(shù)是實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)，而這里給出的函數(shù)首先是實(shí)數(shù)（弧度制）到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，然后才是實(shí)數(shù)（弧度制）到實(shí)數(shù)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)或比值）的對(duì)應(yīng)，這就會(huì)給學(xué)生的理解造成一定困難。

因此，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：

（1）用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫(huà)三角函數(shù)。

（2）把三角函數(shù)理解為以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)。

突破難點(diǎn)的方法與措施：

（1）建立聯(lián)系，穩(wěn)步推進(jìn)。先建立直角三角形中的銳角與第一象限角的聯(lián)系，再完成用角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角的三角函數(shù)。引入單位圓后，讓學(xué)生體會(huì)單位圓的作用，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，不僅沒(méi)有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì)，同時(shí)還能定義任意角的三角函數(shù)。

（2）緊扣核心知識(shí)，加強(qiáng)直觀演示。首先，在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上緊扣函數(shù)的定義，讓學(xué)生體會(huì)變量之間的依賴關(guān)系和對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后在任意角的三角函數(shù)定義得出后，再討論變量之間的關(guān)系。同時(shí)，在例題和練習(xí)的分析和解決過(guò)程中可以進(jìn)一步加深理解。

四、教學(xué)策略分析

根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際，我準(zhǔn)備采用 “體驗(yàn)、溝通、合作、探究”與教師講授相結(jié)合的啟發(fā)式教學(xué)方法，并輔以多媒體演示進(jìn)行教學(xué)。

在教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷將已知知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化—特殊化—一般化的學(xué)習(xí)過(guò)程。降低認(rèn)知臺(tái)階。其次圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)置了一系列符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情景，將問(wèn)題分解、具體化，通過(guò)具體認(rèn)識(shí)一般。例題和練習(xí)解題思路求同，強(qiáng)化定義作用。

對(duì)于知識(shí)所蘊(yùn)含的思想方法和知識(shí)生成的思維過(guò)程，輔以動(dòng)畫(huà)演示，力求幫助學(xué)生主動(dòng)思考，體會(huì)定義產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程。由于研究范圍的改變，利用幾何畫(huà)板更加突出了任意角的三角函數(shù)是為研究客觀世界中大量存在的周期性現(xiàn)象服務(wù)的。這些都是在本課時(shí)學(xué)習(xí)之后應(yīng)該取得的認(rèn)知方面的進(jìn)步。

本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的教學(xué)方法，重在讓學(xué)生體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，體會(huì)在任意三角函數(shù)定義的推廣中，是如何將直角三角形這個(gè)“形”的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)“數(shù)”的過(guò)程的，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想?；谝陨辖虒W(xué)分析，我將完成“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)。endprint