試論高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用

武思明

摘要：函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的生命線，直接影響著我們的高考成績。然而，由于函數(shù)概念的抽象性太強(qiáng)，使得很多學(xué)生對此內(nèi)容理解不夠透徹，很難從本質(zhì)上掌握函數(shù)知識，可以說，函數(shù)學(xué)習(xí)已成為高中生求知途中的一項頑固任務(wù)。對此，我就函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)做些浮淺的分析，希望對同窗們有所幫助。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；方程；高中數(shù)學(xué)

作為高考熱重點(diǎn)內(nèi)容的函數(shù)，一直滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個部分，可以說它是高中數(shù)學(xué)的中流砥柱。經(jīng)多方面分析發(fā)現(xiàn)，其重要性還在日趨劇增。但是有相當(dāng)一部分學(xué)生對這些章節(jié)的內(nèi)容，根本得不到從本質(zhì)上的理解和掌握，這就是造成在高考中失分的原因之一。下面我以實際例題，來談幾點(diǎn)解題方法。

一、函數(shù)圖像解題法

由圖知：它們的交點(diǎn)個數(shù)是：3，故答案為：3。

數(shù)形結(jié)合是一個重要的數(shù)學(xué)思想，就是使抽象思維和形象思維相互作用，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性 質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來研究數(shù)學(xué)問題。利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題也與目前提倡的新課程改革的思想是一致的。

二、運(yùn)用均值不等式和三角函數(shù)的方法解決求值問題

求值問題一般包括求最值和求方程解的一些問題以及根據(jù)條件求范圍等一些相關(guān)問題。在求最值問題中特別是均值不等式和三角函數(shù)的方法運(yùn)用得非常多，而且也比較的靈活。

例如：設(shè)a，b∈R，a2+2ab2=6則a+b的最小值是多少？

分析：已知一個二元二次方程，要想求a+b 的最小值，最常用的方法就是將已知的方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的方法。

即：因為6=a2+2b2>=根號（2×a2×2b2）=2|ab|。

所以-6=<2ab<=6。

所以-3=

又因為|a+b|>=|ab|=3。

所以a+b的最小值是-3。

例如：若a 是1+2b 與1-2b 的等比中項，則2ab|a|+2|b| 的最大值為多少？

分析：由a 是1+2b 與1-2b 的等比中項有a2+4b2=1。

2ab|a|+2|b|=21|b|+2|a|≤|b|·|a|2≤b2+（a2）22=a2+4b28=24。

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=22，b=24或a=-22，b=-24 時，2ab|a|+2|b| 取最大值24。

三、運(yùn)用方程思想解決函數(shù)問題

在三角函數(shù)中常常會用到函數(shù)與方程的思想來解決問題，運(yùn)用函數(shù)和方程的有關(guān)性質(zhì)解決某些問題，或用運(yùn)動的觀點(diǎn)分析和研究具體問題的數(shù)量關(guān)系，再通過函數(shù)或方程的形式把這種關(guān)系表示出來加以研究，從而使問題獲得解決。有些從形式上并非函數(shù)問題，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換或構(gòu)造，可使非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式加以解決。

例如：已知方程cos2x+sinx-a=0有解，求a的范圍。

分析：將方程變形為a=cos2x+sinx，于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=cos2x+sinx的值域。

解：設(shè)f（x）=cos2x+sinx，則f（x）=-2（sinx-14）2+98 ，當(dāng)sinx=14 時，f（x）有最大值98 ，當(dāng)sinx=-1 時，f（x） 有最小值-2，故-2≤a≤98。

例如：函數(shù)f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分別為（ ）。（A）-3，1（B）-2，2（C）-3，（D）-2。

解析：由f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2（sinx- ）2+ ，當(dāng)sinx=-1時，f（x）取得最小值-3；當(dāng)sinx= 時，f（x）取得最大值 ；故選（C）。

例如：若9cosB-3sinA+tanC=0，sin2A-4cosB·tanC=0，求證：tanC=9cosB。

分析：本題由兩個等式推一個等式，一般是從等式變換中獲得，但由于各等式中所含的三角函數(shù)的名與角都不相同，就換一種觀點(diǎn)，先用方程來觀察已知式子的特征，變形得：9cosB+tanC=3sinA，9cosB·tanC=94sin2A ，于是，由韋達(dá)定理知9cosB，tanC 是二次方程x2-3sinAx+94sin2A=0 的兩個根，因為△=9sin2A-4×94sin2A=0，所以二次方程的兩個根相等，即tanC=9cosB。

另外，在三角函數(shù)中也通常與數(shù)形結(jié)合起來。數(shù)形結(jié)合可以將抽象的三角函數(shù)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來研究，或把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來確定，這樣可使數(shù)學(xué)問題得 到更好的解決。

四、運(yùn)用方程及函數(shù)思想解決數(shù)列問題

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或其子集。等差數(shù)列通項an=dn+（a1-d），前n項和Sn=d2n2+（a1-d2）n 在d≠0 時分別是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)；等比數(shù)列通項an=anqn-1（q>0且q≠0） 是關(guān)于n的指數(shù) 函數(shù)，因此運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問題，是對數(shù)列概念的本質(zhì)理解。

例如：已知數(shù)列{an}中，a1 =1，且點(diǎn)P（an，an+1）在直線x-y+1=0上。

求數(shù)列{an}的通項公式。

解：∵點(diǎn)P（an，an+1）在直線x-y+1=0上，即an+1- an=1且a1 =1。

∴數(shù)列{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列。

∴an=1+（n-1）·1=n（n≥2），a1=1也滿足。

∴an=n（n∈N*）。

例如：已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且滿足：a0=1，an+1=1＼2 an （4-an），n∈N。

（1）證明an

分析：（1）先看當(dāng)n=1時，根據(jù)題設(shè)求得a1，進(jìn)而可知a0

（2）整理an+1=1＼2an4-an得，2（an+1-2）=-（an-2）2，令bn=an-2，代入2（an+1-2）=-（an-2）2整理求得bn，進(jìn)而求得an。

解答：解：（1）1°當(dāng)n=1時，a0=1，a1=1＼2a0（4-a0）=3＼2。

∴a0

2°假設(shè)n=k時有ak-1

則n=k+1時，ak-ak+1=1＼2ak-1（4-ak-1）-1＼2ak（4-ak）=2（ak-1-ak）-1＼2（ak-12-ak2）=1＼2（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）。

而ak-1-ak<0.4-ak-1-ak>0，∴ak-ak+1<0。

又ak+1=1＼2ak（4-ak）=1＼2 [4-（ak-2）2]<2。

∴n=k+1時命題正確。

由1°、2°知，對一切n∈N時有an

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式以及用數(shù)學(xué)歸納法解決問題的能力。

通過以上問題的解決與分析發(fā)現(xiàn)，只有我們在日常學(xué)習(xí)中善于運(yùn)用函數(shù)與方程的思想來解題，經(jīng)常將方程與函數(shù)有機(jī)結(jié)合，我們的函數(shù)思想才能不斷得到強(qiáng)化，我們的解題思路才能不斷拓寬，為更深層次地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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