神秘的非歐幾何

鵬飛：“幾何學(xué)以點(diǎn)、線和面為研究對(duì)象，它的歷史和人類的文明一樣古老?！?/p>

浩天：“歐幾里得就是幾何的化身，《幾何原本》中明晰的公理、公設(shè)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩ɡ碜C明是人類理解時(shí)空的最佳途徑。古希臘人已經(jīng)將幾何學(xué)構(gòu)建得如此完善，證明過(guò)的定理就再也無(wú)法推翻，幾千年來(lái)人們都在研習(xí)歐幾里得幾何。無(wú)法超越的感覺(jué)令人窒息，好郁悶！”

鵬飛：“歐幾里得在《幾何原本》中構(gòu)建了人類有史以來(lái)第一座演繹推理的宏偉大廈，它是如此精巧、嚴(yán)謹(jǐn)、完美。但歐幾里得并沒(méi)有將幾何學(xué)大廈完全封閉，他在這座大廈的某處還留了一條縫呢！”

浩天：“他故意留了條縫？那這條縫在哪兒呢？”

鵬飛：“《幾何原本》后面定理的證明都是依據(jù)前面的定義、公理和公設(shè)推理而來(lái)，是無(wú)懈可擊的，要找它的縫，只能到前面來(lái)找?！?/p>

浩天：“定義就是合理的人為規(guī)定，這沒(méi)有什么可挑剔的；公理說(shuō)的是大家都認(rèn)可的道理，似乎也沒(méi)有什么縫可鉆。公設(shè)有幾條？”

鵬飛：“公設(shè)有5條：

1. 兩點(diǎn)之間可作一條直線段；

2. 直線段可以無(wú)限延長(zhǎng)；

3. 以任意一點(diǎn)為中心及任意的距離可以作一個(gè)圓；

4. 所有直角都相等；

5. 若一條直線與另外兩條直線段相交，且使一側(cè)的內(nèi)角之和小于二直角的和，則該側(cè)兩條直線段無(wú)限延長(zhǎng)后必相交。

如果這里還沒(méi)有縫可鉆，那么幾何學(xué)很可能在2000多年前就封閉嚴(yán)實(shí)，變成死水一潭了?！?/p>

浩天認(rèn)真地思索著：“這里確實(shí)還有可探討的地方。1、2兩條公設(shè)為什么不合在一起，說(shuō)成‘過(guò)兩點(diǎn)可作一條直線呢？還有第5公設(shè)是所有公理和公設(shè)當(dāng)中最長(zhǎng)的一條，感覺(jué)比較繁瑣，似乎可以通過(guò)其他公理和公設(shè)證明出來(lái)，干嗎要單獨(dú)列出來(lái)呢？”

鵬飛：“人們糾結(jié)的地方就在這兒，不如直接去問(wèn)問(wèn)歐幾里得本人吧！”浩天帶著疑問(wèn)跟著鵬飛一起到電腦的虛擬幻境中再次拜訪歐幾里得。瞬間，他們穿越時(shí)空，來(lái)到公元前300多年的亞歷山大城。他們很快找到了歐幾里得的工作室。浩天迫不及待，直接敲門(mén)：“歐幾里得先生，開(kāi)門(mén)！”

門(mén)開(kāi)了，一位神情憂郁的老人出現(xiàn)在他們面前：“請(qǐng)進(jìn)。有什么問(wèn)題嗎？”浩天心想，眼前的人已經(jīng)不像我們以前看到的青年歐幾里得，那時(shí)他精力旺盛，顯得那么自信。

“先生，您好！請(qǐng)問(wèn)您的第1、2公設(shè)為什么不合起來(lái)說(shuō)：過(guò)兩點(diǎn)可作一條直線。這樣不是更簡(jiǎn)潔嗎？”

歐幾里得看著已被幻化成古希臘學(xué)生模樣的浩天，憂郁地?fù)u了搖頭：“直線是無(wú)限延伸的，長(zhǎng)度是無(wú)窮的?？烧l(shuí)也無(wú)法真正看到無(wú)窮長(zhǎng)的線。我盡量避免無(wú)窮的出現(xiàn)，所以我只承認(rèn)過(guò)兩點(diǎn)可作直線段，但直線段可以無(wú)限地延伸下去。唉！不可避免還是出現(xiàn)了無(wú)窮，這也正是我煩惱的地方?！?/p>

浩天知道，我們現(xiàn)代人把這種可無(wú)限延伸叫做“潛無(wú)窮”，而整條直線則是“實(shí)無(wú)窮”。浩天緊接著問(wèn)：“另外您的第5公設(shè)，看起來(lái)不像其他公設(shè)那樣簡(jiǎn)潔明了，可以由其他公理和公設(shè)證明出來(lái)嗎？”

歐幾里得顯得更憂郁了：“對(duì)這一公設(shè)我也沒(méi)有十分的把握，我用多種方法都沒(méi)能由其他公理、公設(shè)證明出來(lái)，也沒(méi)找到比這更直觀的等價(jià)公設(shè)來(lái)代替它。”

“那不如改成‘過(guò)直線外一點(diǎn)能且只能作一條此直線的平行線，這樣不是更簡(jiǎn)明嗎？”浩天一著急把現(xiàn)代教科書(shū)上的話說(shuō)了出來(lái)，但他立刻想到這樣不妥，“噢！我忘了，您是不想用直線這一涉及無(wú)窮的概念，只能說(shuō)如果同側(cè)內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角之和，則這兩條線段不斷延伸后一定相交?！焙铺斓睦斫馐箽W幾里得興奮起來(lái)?！澳谴笥趦蓚€(gè)直角之和呢？”浩天的思維發(fā)散開(kāi)來(lái)，“不是也相交嗎？”

“是的。”歐幾里得解釋道，“那是在另一側(cè)相交，敘述起來(lái)更顯繁瑣?！?/p>

“如果等于兩個(gè)直角之和呢？是不是一定不相交？”

歐幾里得的臉又陰沉了：“誰(shuí)也無(wú)法判定將這兩條直線無(wú)限延伸下去會(huì)不會(huì)相交，所以我也沒(méi)說(shuō)等于兩直角之和時(shí)不相交?！?/p>

一直在旁邊靜聽(tīng)的鵬飛這時(shí)插話進(jìn)來(lái)：“如果同側(cè)兩內(nèi)角之和不等于但接近兩直角之和，是不是就一定會(huì)相交？”

歐幾里得看了一眼鵬飛，陷入了沉思，臉上陰云密布。

浩天解圍道：“無(wú)限接近兩直角之和，跟等于兩直角之和這種情況一樣，也不好驗(yàn)證，而且那兩條直線段延伸下去也不一定相交，先生您說(shuō)對(duì)嗎？”

歐幾里得將臉轉(zhuǎn)了過(guò)去，無(wú)限惆悵。

“老師再見(jiàn)！”鵬飛拉起浩天就走，邊走邊小聲說(shuō)，“你這是要逼瘋歐幾里得??！你的說(shuō)法不是直接否定了他的第5公設(shè)嗎？”

“可是……確實(shí)……唉！麻煩的第5公設(shè)！”endprint