基于遞推最小二乘法慣量辨識的伺服控制算法*

張 靜

上海電氣集團股份有限公司 中央研究院 上海 200070

1 課題背景

外部負載環(huán)境的變化主要體現(xiàn)在負載轉動慣量的變化上，而負載環(huán)境對于電流環(huán)等內環(huán)的影響并不明顯，因此，高性能的伺服系統(tǒng)需要適應負載慣量的變化，并及時調整對應參數(shù)來保持或提高系統(tǒng)的控制性能。原始的做法是通過附加設備對系統(tǒng)慣量進行識別，但過程復雜，成本高。目前比較流行的方法有離線辨識和在線辨識[1-5]。

離線辨識算法大多需要給定特殊的指令信號，如在位置環(huán)的指令信號中注入高頻、低幅值正弦波，并提取高頻下的電磁轉矩和機械角度信號，利用運動方程，獲取轉動慣量[6]。不足之處在于，系統(tǒng)位置信號可能會不允許疊加正弦諧波，且頻率提取模塊要消耗內存，難以實現(xiàn)在線辨識。

在線辨識算法基于現(xiàn)代控制理論，根據(jù)已有的系統(tǒng)輸入量和輸出量，以及兩者的數(shù)學關系式，來推導計算出中間量，應用到慣量辨識中，即為伺服電機的等效負載慣量[7-8]。

2 伺服控制系統(tǒng)數(shù)學模型

圖1 伺服控制算法框架圖

圖1中符號意義如下：Tl為電磁時間常數(shù)，Ks為逆變器放大因數(shù)，Toi為電流環(huán)濾波時間常數(shù)，Ton為速度環(huán)濾波時間常數(shù)，Ts為離散時間，KT為標幺化后的轉矩因數(shù)，IdL(s)為擾動負載的等效電流，Id*(s)、Iq*(s)分別為直交軸電流的給定，Id(s)、Iq(s) 分別為直交軸電流的反饋，n*(s)、n(s)分別為轉速指令與反饋轉速，ACR為電流環(huán)控制器，ASR為速度環(huán)控制器，Kps、Kis分別為速度環(huán)控制器中的比例和積分因數(shù)，Kps=kn，Kis=τn，α、β分別為電流環(huán)與速度環(huán)的反饋因數(shù)，Jest為等效負載轉動慣量。

機電時間常數(shù)Tm與伺服電機物理參數(shù)的關系為：

(1)

式中：J為轉動慣量；R為伺服電機電阻；Ce為反電勢因數(shù)；Cm為轉矩因數(shù)，Cm=30Ce/π。

現(xiàn)設KN為速度環(huán)的開環(huán)增益，推導得：

(2)

3 基于遞推最小二乘法(RLS)的慣量辨識

等效負載慣量辨識是比例積分參數(shù)自整定的基礎。筆者采用在伺服驅動器領域中比較成熟的慣量辨識技術算法，即RLS。此算法的優(yōu)點是對指令幾乎無要求，可實現(xiàn)實時辨識[12]。

3.1 RLS原理

RLS計算過程簡單，可節(jié)省數(shù)字信號處理器內存，同時能在白噪聲的系統(tǒng)中進行無偏參數(shù)估計。其原理可由離散單輸入單輸出系統(tǒng)進行說明。典型的離散單輸入單輸出系統(tǒng)框圖如圖2所示，圖中x(k)為輸入量，y(k)為輸出量，e(k)為偏差量，H(z)為系統(tǒng)函數(shù)。

圖2 離散單輸入單輸出系統(tǒng)框圖

(3)

式中：n≤m；z=esT，T為采樣周期。

n代表輸出量的采樣次數(shù)，b1，b2，…bn代表輸出量在此次采樣時刻的因數(shù)，m代表輸入量的采樣次數(shù)，a1，a2，…am代表輸入量在此次采樣時刻的因數(shù)。n

將式(3)寫成如下時域差分方程形式：

(4)

式中：ai、bi分別為i時刻采樣得到的輸入量與輸出量因數(shù)。

在實際系統(tǒng)中，模擬電路的精度不足、系統(tǒng)模型誤差及噪聲干擾等均可歸為RLS理論中的誤差e(k)。對于n階差分方程，需要前n個時刻的輸入輸出量，則式(4)可整理成如下形式：

(5)

3.2 慣量辨識

在實際伺服控制系統(tǒng)中，伺服電機運動方程可用下式表示：

(6)

式中：B為黏滯摩擦系數(shù)；Te為電磁轉矩；TL為負載轉矩；ωm為轉子機械速度。

由于實際數(shù)字信號處理器中的轉速信號為離散數(shù)據(jù)，因此需在式(6)中加入采樣時間為T的零階保持器，從而得到離散化后的運動方程式：

(7)

式中：Kt為轉矩因數(shù)；Δiq(z)為被測伺服電機中交軸電流與負載伺服電機中交軸電流的偏差。

(8)

將式(8)代入式(7)，得到式(9)和(10)：

(9)

(10)

將式(9)寫成矩陣形式，得：

ωm[k]=(Δiq[k-1],ωm[k-1])(θ1,θ2)T

(11)

式中：θk為第k次中間變量矩陣，θk=(θ1,θ2)T；ωm[k] 為第k次轉子機械速度；Δiq[k-1]為第k-1次兩類交軸電流的偏差；k為迭代次數(shù)。

由式(10)可知，只要辨識出θ1和θ2，就可得到Jest。根據(jù)RLS的遞推估計式，可得：

(12)

式中：I為單位矩陣；Pk為第k次協(xié)方差矩陣；Kk為增益矩陣。

結合式(10)和(12)，可實現(xiàn)基于RLS的等效負載慣量辨識，一般選取如式(13)所示的初始值θ0和P0：

(13)

a為一個數(shù)值，由于106?0，即106相對于0已足夠大，因此此處取a=103。

4 仿真驗證

根據(jù)RLS公式辨識中間變量θ1和θ2，得出Jest。搭建基于RLS的慣量辨識仿真平臺來驗證此算法，如圖3所示。

仿真中，伺服電機參數(shù)見表1。

表1 伺服電機參數(shù)

給定速度為500r/min、頻率為0.5Hz、占空比為50%的方波信號。在仿真過程中，使Jest為10J、50J和100J，辨識結果如圖4～圖6所示。

等效負載慣量辨識基于伺服電機運動方程，采集轉矩和電角度信號作為輸入信號，再通過計算中間變量，估算出實際的等效負載慣量值。

仿真結果表明，基于RLS的辨識結果與真實值較為貼近。同時，從轉速時間曲線圖中可以看出，在不改變比例積分參數(shù)的情況下，隨著等效負載慣量的增大，伺服系統(tǒng)的速度動態(tài)響應會變慢。為此，隨著等效負載慣量的改變，速度環(huán)比例積分參數(shù)需進行相應調節(jié)，以獲取最優(yōu)的速度響應。

5 結論

筆者從理論上分析了等效負載慣量變化時，速度環(huán)參數(shù)需要進行相應調整的原因。同時，等效負載慣量辨識是速度環(huán)比例積分參數(shù)自整定的基礎和前提。為此，采用了基于RLS的慣量辨識策略，建立了離散化的伺服電機運動方程，并結合RLS原理推導出等效負載慣量辨識公式。此公式適用于伺服控制系統(tǒng)中等效負載慣量的辨識，具有一定的適用性。通過在計算機軟件中搭建伺服控制系統(tǒng)的仿真平臺，驗證了基于RLS的等效負載慣量辨識的準確性，同時也驗證了隨著負載慣量的增大，若速度環(huán)比例積分參數(shù)不調整，則會帶來速度響應變慢的問題。

圖3 基于RLS的慣量辨識仿真圖

圖4 10J下辨識結果

圖5 50J下辨識結果

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圖6 100J下辨識結果

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