數(shù)學(xué)理性：人文精神的重要體現(xiàn)

○江蘇省南京市長(zhǎng)江路小學(xué) 周衛(wèi)東

一、引子：理性精神在現(xiàn)實(shí)中被“遮蔽”

愛因斯坦是當(dāng)代著名的物理學(xué)家。有一天，愛因斯坦問他的學(xué)生：“有兩個(gè)人同時(shí)從煙囪里爬出來，一個(gè)人很干凈，另一個(gè)滿臉煤灰，你認(rèn)為哪一個(gè)會(huì)立即去洗澡？”學(xué)生毫不猶豫地說：“肯定是那個(gè)滿臉煤灰的人！”“是這樣嗎？請(qǐng)考慮得再仔細(xì)些再回答?！睈垡蛩固共恢每煞裼炙坪踉谔嵝研┦裁??！鞍?，我明白了。”學(xué)生說，“那位干凈的人會(huì)馬上去洗澡，因?yàn)樗吹綄?duì)方臟，立刻想到自己也臟，所以他馬上去洗澡?！边@位學(xué)生的回答很有把握，可他的導(dǎo)師卻又否定了他的想法?！安粚?duì)！”愛因斯坦這樣評(píng)價(jià)：“你的兩次回答都不對(duì)，盡管從表面看，你的每個(gè)回答都有邏輯性，第一種情形是認(rèn)為只有臟的人才會(huì)洗澡，但忽略了應(yīng)從什么角度去觀察，所以錯(cuò)誤；第二種情形是考慮到觀察者的角度以及各自內(nèi)心的心理，但卻忽略了最重要的、也是最關(guān)鍵的一點(diǎn)，就是兩個(gè)人同時(shí)從煙囪里鉆出來，怎么會(huì)一個(gè)很臟，而另一個(gè)卻很干凈呢？這顯然是不可能的呀！”學(xué)生這才明白，為什么回回錯(cuò)誤，原因是自己只停留在問題的表面進(jìn)行分析和推理，沒有首先對(duì)問題的本身進(jìn)行重視和判斷，而事實(shí)上導(dǎo)師給出的卻是一個(gè)不成立的問題。

難怪愛因斯坦對(duì)此這樣下結(jié)論：“如果你所討論的命題不合邏輯，那么不管你運(yùn)用了多么合乎規(guī)則的邏輯，你還是找不到正確的答案！”

類似的“學(xué)生找不到答案”的例子還有很多。比如，1991年，臺(tái)灣出版的《數(shù)學(xué)傳播》上刊登了一篇文章，其中提到一個(gè)歐洲的笑話：“一條船上，有75頭牛，32頭羊，問船長(zhǎng)幾歲？”文章中說，美國(guó)的小學(xué)生有40%的人說是43歲。因?yàn)?5和32相加是107，不會(huì)是船長(zhǎng)的年齡，這兩個(gè)數(shù)乘起來更不可能，只有兩數(shù)相減等于43才有可能。

為什么學(xué)生會(huì)找不到答案？究其原因，是因?yàn)樗麄兊呐行运季S意識(shí)與批判性能力嚴(yán)重缺失，歸根到底，是缺少一定的理性精神。長(zhǎng)期以來，學(xué)生對(duì)教師的慣常教學(xué)早已“心中有數(shù)”，學(xué)習(xí)就是接受、接受還是接受。凡是教師問的問題都是有答案的而且大多數(shù)都是唯一的，凡是教科書中的、教師教的知識(shí)都是絕對(duì)正確的，凡是歷史上形成的結(jié)論都是不容懷疑或否定的。如此，學(xué)生的問題意識(shí)被消減，懷疑的眼光被遮蔽，批判性思維等理性精神成為個(gè)體素養(yǎng)結(jié)構(gòu)中的“奢侈品”。

二、厘定：數(shù)學(xué)理性的價(jià)值與內(nèi)涵

人類的文明是靠理性來建構(gòu)的，因此世界各大文明中均不乏理性。數(shù)學(xué)作為人類文化的一部分，不僅包括數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法，還包括數(shù)學(xué)的語言、思想、精神等。特別是在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)將其理性精神發(fā)揮得淋漓盡致，不僅為人類的發(fā)展提供了理性的思維方式和工具，也為人類思想指引了方向。

數(shù)學(xué)理性是西方文明極其重要的特點(diǎn)，西方文明發(fā)展的各個(gè)時(shí)期、各個(gè)方面幾乎都受到數(shù)學(xué)理性的深刻影響。數(shù)學(xué)理性是數(shù)學(xué)科學(xué)的精髓，實(shí)質(zhì)上是人文精神的一種。具體來說，數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵可以從以下幾方面理解：

客觀的、理智的研究立場(chǎng)。自然科學(xué)研究的對(duì)象是不以人類意志為轉(zhuǎn)移的、獨(dú)立的客觀世界，因此我們要采取純客觀的、理智的態(tài)度，而不應(yīng)摻雜有任何主觀的、情感的成分。即使像數(shù)學(xué)這樣，其研究對(duì)象并非客觀世界中真實(shí)存在的，而是人類抽象思維的產(chǎn)物，但是在研究中，我們還是應(yīng)當(dāng)采取純客觀的立場(chǎng)，把它看成一種不依賴人類的獨(dú)立存在，并通過嚴(yán)格的邏輯分析去揭示其內(nèi)在性質(zhì)和關(guān)系。比如三角形的概念是人類的創(chuàng)造，但是研究其內(nèi)角和存在的規(guī)律時(shí)，依然要從客觀的角度去思考，并討論在不同幾何體系背景下的內(nèi)角和的差異。

精確的、定量的思維方式。數(shù)學(xué)理性的“數(shù)學(xué)味”就體現(xiàn)在它的“精確”“定量”上，而不應(yīng)是含糊的、直覺的。這既是科學(xué)研究的基本方法，也是科學(xué)研究的基本目標(biāo)，即揭示自然界中的數(shù)學(xué)規(guī)律。以“圓周率”為例，從《周髀算經(jīng)》中的“周三徑一”，到“徽率3.1416”，再到祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，再到1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明π是一個(gè)無理數(shù)……都體現(xiàn)出對(duì)人類對(duì)圓周長(zhǎng)與直徑關(guān)系精確、定量的追求。小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中安排的探索規(guī)律，也都是期望學(xué)生能從數(shù)量上發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律。

批判的、開放的理性精神。批判的精神讓我們時(shí)刻提醒自己不要淪為權(quán)威主義者，而要重視用可靠的論證來判斷真理，正如亞里士多德的名言所述“吾愛吾師，但吾更愛真理”；而開放的精神是對(duì)批判精神的重要補(bǔ)充，這就是要以真理為目標(biāo)，在探索真理的過程中，保持頭腦的開放性，不斷接納別人的想法，修正自己的觀點(diǎn)。美國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·波利亞稱前者是“理智上的勇氣”，稱后者為“理智上的誠(chéng)實(shí)”。

抽象的、超驗(yàn)的價(jià)值取向。自然科學(xué)研究的目的是為了超越直觀經(jīng)驗(yàn)，通過抽象思維達(dá)到對(duì)事物本質(zhì)普遍規(guī)律的認(rèn)識(shí)，只要保持這種抽象、超驗(yàn)的思維取向，才能將特殊轉(zhuǎn)化為一般，感性上升為理性，透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，將眼前的現(xiàn)實(shí)轉(zhuǎn)化為未來的永恒。

三、求解：數(shù)學(xué)理性的培養(yǎng)策略

學(xué)生數(shù)學(xué)理性的形成是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過程，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)理性的培養(yǎng)首先需要教師提高自身對(duì)數(shù)學(xué)理性的認(rèn)識(shí)和理解，進(jìn)而才能在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的培養(yǎng)。鄭毓信教授曾提到：人們正是經(jīng)由“理性思維”的學(xué)習(xí)與應(yīng)用逐步發(fā)展起了“理性精神”，也即由“思維方法”不知不覺地過渡到了“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”。也就是說，理性思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)理性精神形成的關(guān)鍵。

第一，重視數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)抽象就是從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度抽取事物的本質(zhì)特征，從而提煉數(shù)學(xué)概念、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，創(chuàng)立數(shù)學(xué)理論的方法。在教學(xué)中重視數(shù)學(xué)抽象，意味著幫助學(xué)生從客觀的角度來看待研究對(duì)象，從而在定量、精確等角度把握事物的本質(zhì)特征。

例如，在教學(xué)中可以向?qū)W生講解著名的“哥尼斯堡七橋問題”，讓學(xué)生明白，歐拉正是通過逐步抽象的思想和方法將“哥尼斯堡七橋問題”轉(zhuǎn)化為“一筆畫問題”，使問題得到迅速、完美的解決。

再如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，如何讓第一次接觸分?jǐn)?shù)的學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的含義？我通過創(chuàng)設(shè)“豬八戒吃餅”的故事情境，讓學(xué)生面對(duì)圖形（圖中涂色部分），思考：“豬八戒要的一小塊兒到底有多大呢？怎么用一句話或一個(gè)數(shù)來表示？”學(xué)生進(jìn)行想象與創(chuàng)造，隨后在大量原生態(tài)的作品中選擇有代表性的四幅進(jìn)行對(duì)比：“這些作品，哪些是相同的？哪些是不同的？”最后達(dá)成“這些作品中都有4，都有1”“4就是一共分成了4份，1是豬八戒要的其中的一份”的共識(shí)。這樣的抽象，淡化了形式，扣住了本質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)有了實(shí)質(zhì)性的理解。

第二，注重?cái)?shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。

當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)特別倡導(dǎo)讓學(xué)生采用“觀察和實(shí)驗(yàn)”的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，但是如果學(xué)生始終停留在“實(shí)驗(yàn)和歸納”的水平上是不夠的，不能真正獲得數(shù)學(xué)理性。因?yàn)閿?shù)學(xué)理性強(qiáng)調(diào)有條理、有依據(jù)地探究問題和解決問題，因此教學(xué)中需要重視“驗(yàn)證和推理”。

例如，在研究“平行四邊形面積計(jì)算”時(shí)，可以直接以“大問題”切入：“我們已經(jīng)學(xué)過了長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，請(qǐng)大膽猜測(cè)一下，平行四邊形面積的計(jì)算公式是什么呢？”學(xué)生面臨這一問題，可能會(huì)受長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的影響，提出“用底乘鄰邊”的猜想。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用“畫小方格數(shù)”“割補(bǔ)轉(zhuǎn)化”“反證”等多種方法來驗(yàn)證這種猜想的正確性，從而培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。

又如，在探索長(zhǎng)方體特征的時(shí)候，不能僅僅通過分類計(jì)數(shù)發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的棱數(shù)，還要積極引導(dǎo)學(xué)生通過面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)推出棱數(shù)，并用算式表達(dá)為6×4÷2=12和8×3÷2=12。只有在教學(xué)中重視驗(yàn)證和推理，才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理性。

第三，注重發(fā)現(xiàn)問題、質(zhì)疑批判意識(shí)的培養(yǎng)。

“問題是學(xué)習(xí)的心臟”，我們要特別留意并珍視那些可能瞬息即逝的“問題”，而那些“旁逸斜出”的“問題”往往就是理性思維的“發(fā)端”。在學(xué)習(xí)“七巧板”這一內(nèi)容時(shí)，一位學(xué)生擺弄著學(xué)具，滿臉疑惑地問我：“老師，不是說隨便怎么擺這七塊，總面積都是不變的嗎？我的第二種擺法怎么會(huì)多出這么一部分呢？”這一問題讓我困惑了很多天，到現(xiàn)在還沒有找到一個(gè)貼切的答案。我鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間大膽猜想、小心求證、不懈求解，一時(shí)間，因批判、質(zhì)疑所帶來的一股“探究熱”“問題熱”，極大地驅(qū)動(dòng)了思維的積極性，提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、質(zhì)疑批判的思維品質(zhì)。

第四，注重追根溯源、開拓超越精神的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)有著強(qiáng)大的教化功能，有著較濃的“善”的品質(zhì)，比如數(shù)學(xué)探索過程中的執(zhí)著與堅(jiān)韌，比如論證過程中的務(wù)實(shí)與謹(jǐn)嚴(yán)，比如數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的開拓與超越，乃至耐心、責(zé)任感、敬業(yè)品質(zhì)、民主精神等。

劉德武老師在教學(xué)“用字母表示數(shù)”這一內(nèi)容時(shí)，圍繞“在乘法中，乘號(hào)如何簡(jiǎn)寫、省略”這一難點(diǎn)的教學(xué)，令人拍案叫絕。他模擬了一個(gè)數(shù)學(xué)癡迷者探索追求的感人故事，通過主人公三次向世界數(shù)學(xué)家大會(huì)寫信，陳述自己“把‘×'號(hào)逐漸縮小寫成‘·'，以示與‘X'相區(qū)別——為免于與小數(shù)點(diǎn)相混淆，那就干脆不要了——符號(hào)不寫會(huì)混淆，那就在前面加一個(gè)前提條件”的階段“研究成果”。故事形象有趣，亦莊亦諧，驅(qū)人奮進(jìn)。讓學(xué)生不斷經(jīng)歷著矛盾沖突時(shí)的“心潮激蕩”和問題解決時(shí)的“峰回路轉(zhuǎn)”，在其腦海中勾勒出一位執(zhí)著的數(shù)學(xué)癡迷者：在厚厚的稿紙前，時(shí)而冥思苦想，時(shí)而奮筆疾書的久遠(yuǎn)的歷史畫卷。讓學(xué)生從中“經(jīng)歷”數(shù)學(xué)思想的邏輯重演，體驗(yàn)這位探索者每一次創(chuàng)造的快慰，等待中的期盼，受拒后的苦悶，成功時(shí)的欣慰，從而催生出一種不畏失敗、越挫越堅(jiān)的高尚的人文情懷。

第五，注重實(shí)事求是、服膺真理精神的培養(yǎng)。

“我思故我在”是笛卡爾全部認(rèn)識(shí)論哲學(xué)的起點(diǎn)，也是他“普遍懷疑”的終點(diǎn)。笛卡爾主張用理性來審查一切，他認(rèn)為，獲得真理的唯一正確途徑就是通過懷疑一切來排除那些可疑的命題，而后發(fā)現(xiàn)那唯一不可懷疑的第一原理，再從它推演出其他一切真理。聽過一節(jié)課“三角形的內(nèi)角和”，學(xué)生們撕下三角形紙片的三個(gè)角拼在一起，用量角器量，都說180度。一個(gè)男生說：“不對(duì)啊，我的就是182度！量了兩遍……”教師不置可否，面對(duì)全班大聲地說：“通過剛才的驗(yàn)證，我們知道了——”學(xué)生齊答：“三角形的內(nèi)角和是180度”?！傲?，根本就不好……”男生嘀咕著。課后，教師解釋這個(gè)男生很另類。令人心痛，“另類”的背后恰恰是理性精神、可貴的數(shù)學(xué)品格！那些稍縱即逝的時(shí)機(jī)，正是我們涵養(yǎng)學(xué)生理性思維的契機(jī)。

杜威曾經(jīng)指出：“在教學(xué)中，以外在的成果為標(biāo)準(zhǔn)的做法，表現(xiàn)在人們只重視“答案正確”，從而使教師無法集中注意力去培養(yǎng)學(xué)生的理性思維；而在學(xué)生的操行方面，僅僅要求學(xué)生遵守校訓(xùn)、校規(guī)，而忽略了學(xué)生積極探索和深思習(xí)慣的養(yǎng)成，這都不利于學(xué)生反思思維習(xí)慣的養(yǎng)成?！币蚨趯?shí)踐層面，我們一定要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的習(xí)慣，養(yǎng)成不怕困難、百折不撓的精神，培養(yǎng)學(xué)生服膺真理、實(shí)事求是、言必有據(jù)、一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、崇尚科學(xué)的理性精神，以此引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)來修行、立言、做人，這才是教育的應(yīng)有之義、原本之意！