電路分析中網(wǎng)絡(luò)定理解題應(yīng)用的探究

孫楊 曹家琪

摘要：在電路分析的解題過(guò)程中，對(duì)于某些問(wèn)題如果我們不對(duì)它們進(jìn)行處理而是直接采用基爾霍夫定律進(jìn)行求解，會(huì)十分的煩瑣。采用網(wǎng)絡(luò)定理對(duì)電路進(jìn)行相應(yīng)簡(jiǎn)化，就可以減少計(jì)算量，避免出錯(cuò)。本文將對(duì)網(wǎng)絡(luò)定理在解題中的應(yīng)用進(jìn)行一些探究。

關(guān)鍵詞：疊加定理 替代定理 戴維南定理 諾頓定理 最大功率傳輸定理 特勒根定理 互易定理

中圖分類號(hào)：TP311? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1009-3044（2018）31-0245-03

1 疊加定理

1.1? 疊加定理的內(nèi)容

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中只有單個(gè)激勵(lì)作用時(shí)，相應(yīng)與激勵(lì)成正比，符合齊次性。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中有多個(gè)激勵(lì)同時(shí)作用時(shí)，總響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)分量的代數(shù)和，符合可加性。

1.2? 疊加定理應(yīng)用注意點(diǎn)

運(yùn)用疊加定理的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)是線性網(wǎng)絡(luò)，非線性網(wǎng)絡(luò)可以用疊加定理;

疊加定理不能用來(lái)計(jì)算功率和能量，因?yàn)樗鼈儾皇蔷€性的;

應(yīng)用疊加定理的易漏點(diǎn)是將獨(dú)立源置零，這個(gè)不能忘記;

受控源不同于獨(dú)立源，應(yīng)該保留下來(lái);

疊加計(jì)算響應(yīng)的時(shí)候應(yīng)該注意每個(gè)響應(yīng)的方向。

1.3? 疊加定理的具體應(yīng)用

在普通的線性網(wǎng)絡(luò)中，疊加定理的應(yīng)用十分的常見(jiàn)。我們將電路中的其他獨(dú)立源置零，然后分別計(jì)算，最后疊加。

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中也是如此。我們將那些頻率不同的正弦量分開(kāi)處理。分別求出它們獨(dú)立作用時(shí)的響應(yīng)，最后化為相量形式進(jìn)行疊加。

2 替代定理

2.1 替代定理的內(nèi)容

在具有任意唯一解的集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)已知某條支路k的支路電壓uk（或支路電流ik），且該支路k與網(wǎng)絡(luò)中的其他支路無(wú)耦合，如果該支路用一個(gè)電壓為uk的獨(dú)立電壓源（或電流為ik的獨(dú)立電流源）替代后所得的電路仍具有唯一解，則替代前后電路中支路電壓和電流保持不變。

替代定理的本質(zhì)直觀地理解，就是用電路中一個(gè)端口所具有的電量大小的元件或元件組合替代該端口連接的部分，替代后不改變端口的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因而也就不改變KCL和KVL方程。這就相當(dāng)于對(duì)于給定的一組線性或者非線性的解。而我們的替代只是相當(dāng)于用一個(gè)我們求出的解去替代方程中的那個(gè)未知數(shù)。替代后并不會(huì)改變?cè)匠痰慕Y(jié)構(gòu)。

2.2 替代定理應(yīng)用的注意點(diǎn)

替代定理的應(yīng)用范圍十分的廣泛，適用于任意集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是線性的還是非線性的，時(shí)變的還是非時(shí)變的。

要注意區(qū)分的是，“替代”與“等效替換”是兩個(gè)不同的概念。我們平常所說(shuō)的“替代”是用獨(dú)立電壓源或電流源將已知電壓或電流的支路替換掉 ，替代前后替代支路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)是不可以改變的。因?yàn)橐坏└淖?，替代支路的電壓和電流也將隨之發(fā)生變化;而等效變換是兩個(gè)具有相同端口伏安特性的電路間的相互轉(zhuǎn)換，與變換以外電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)無(wú)關(guān)，因此我們也常說(shuō)等效變換對(duì)外等效對(duì)內(nèi)不等效。

電壓源或者電流源不僅可以替代已知電壓或電流的支路 ，而且可以替代已知端口電壓或端口電流的二端網(wǎng)絡(luò)，這一點(diǎn)就更加拓寬了替代定理的應(yīng)用范圍。

2.3 替代定理的解題應(yīng)用

例1：線性時(shí)不變的電阻網(wǎng)絡(luò)如上圖所示。已知US=5cosωt V， RL=10Ω時(shí)，UL=2+2cosωt V， US=2 V， RL=5Ω時(shí)，UL=2V，則US=5 V， RL=20Ω時(shí)，負(fù)載電壓UL是多少？

根據(jù)例2電路和已知條件，直接運(yùn)用電路知識(shí)難以求解.不妨將電阻RL用電流大小為iL=UL/RL的電流源替代，如圖6（b）.根據(jù)疊加原理，可以將RL上的電壓UL用電壓源US、網(wǎng)絡(luò)N和電流源iL三者單獨(dú)作用再疊加來(lái)表示。于是我們可以設(shè)UL=AUS+BUN+CiL。因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)N未知，但它實(shí)際上已經(jīng)包含如我們的方程中了， 所以可以把它看作一個(gè)參數(shù)。不妨設(shè)UL=1，則我們可以得到下面這個(gè)方程組：

在我們求解含有動(dòng)態(tài)元件的電路的時(shí)候。求出了動(dòng)態(tài)元件的在0時(shí)刻的響應(yīng)，我們也是用一個(gè)獨(dú)立電壓源或電流源替代這個(gè)動(dòng)態(tài)元件，進(jìn)而求下面的響應(yīng)。

3 戴維南定理

3.1 戴維南定理的內(nèi)容

當(dāng)我們求出一個(gè)有源線性二段網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓和等效電阻后，我們就可以用一個(gè)與之相等的電壓源和電阻替換掉這個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)。

在上一小節(jié)也提到過(guò)，戴維南定理是采用了等效的方法，與替代定理并不相同，要注意區(qū)分。

3.2 戴維南定理的應(yīng)用

例2：如下圖所示的電路。若負(fù)載RL可以任意改變，問(wèn)負(fù)載為何值時(shí)，功率最大？最大功率是多少？

在這道題目中，不含受控源。如果含有受控源，我們可以采取加壓求流法或者開(kāi)路短路法求得等效電阻。

當(dāng)我們求得了開(kāi)路電壓和等效電阻之后，根據(jù)最大功率傳輸定理，我們可以知道在外電阻的阻值等于等效電阻的時(shí)候，功率可以取得最大值。

由于諾頓定理和戴維南定理十分類似，且在目前的解題過(guò)程中應(yīng)用不如戴維南定理廣泛，于是我們就略過(guò)不講。

4 特勒根定理與互易定理

4.1 特勒根定理的內(nèi)容

特勒根定理具有兩種形式：功率守恒與似功率守恒。

4.1.1 功率守恒

對(duì)于任一集總參數(shù)電路，所有支路在任一瞬間吸收功率的代數(shù)和為0。

前提條件：支路電壓 vk 滿足由該電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定的KV L約束 ，支路電流 ik滿足由該電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定的 KCL約束，同時(shí)，支路電壓與支路電流還要滿足該支路 k的支路方程。

4.1.2 似功率守恒

對(duì)于兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)。該所有支路電壓乘以對(duì)應(yīng)支路的電流的代數(shù)和為0。

在這個(gè)形式中，電壓乘以電流不再具有功率的物理意義。但卻具有功率的物理量綱。于是我們把這個(gè)形式成為似功率守恒。

其實(shí)特勒根定理本身在解決題目上的應(yīng)用不是特別的廣泛。因?yàn)樯婕暗淖兞亢芏?，比較繁瑣。但是，由特勒根定理的第二形式（似功率守恒）我們可以推導(dǎo)出是個(gè)使用起來(lái)十分方便的定理，即互易定理。

4.2 互易定理

這張圖是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)。由特勒根定理的似功率守恒，我們可以得到：

下面我們就用特勒根定理和互易定理來(lái)解幾道題目。

例3：

如上圖所示線性無(wú)源網(wǎng)絡(luò)N，當(dāng)輸入端口是一個(gè)5A的電流源，輸入端口的電壓是10V時(shí)，另一端的響應(yīng)是1A的短路電流。當(dāng)輸入端口接一個(gè)5V的電壓源，輸出端口是一個(gè)阻值為4Ω的電阻時(shí)，求電阻上的電壓是多少？當(dāng)圖b中輸入端的電壓源變?yōu)?5V時(shí)，電阻上的電壓又是多少？

首先我們觀察這個(gè)電路，發(fā)現(xiàn)并不符合使用互易定理的三種形式，但是這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)又具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，于是我們決定采用特勒根定理。

題目條件如圖中所示，根據(jù)圖a中的條件，求出圖b中的I_ab。

首先我們來(lái)分析這道題目。我們需要求得圖b中含有兩個(gè)獨(dú)立源，但是互易定理只適用于含有一個(gè)獨(dú)立源的電路中，所以我們采用疊加定理即可。于是 ，我們就將圖b分解為了圖c和圖d。

以上的兩道題目是用特勒根定理和互易定理來(lái)解決含有兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的題目。對(duì)于部分含有一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的題目，我們也可以通過(guò)互易定理，交換獨(dú)立源和響應(yīng)的位置，改變電路的結(jié)構(gòu)，將電路化解為可以應(yīng)用特殊規(guī)律的形式，比如可以利用電橋平衡或者星形電路轉(zhuǎn)化為三角電路等，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。

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