淺談電路分析中的特勒根定理

曹家琪 孫楊

摘要：本文主要通過(guò)對(duì)特勒根定理的簡(jiǎn)析及在題目中的使用方法的闡述，以表明其應(yīng)用的普遍性。

關(guān)鍵詞：特勒根定理;功率守恒;似功率守恒;互易定理

中圖分類號(hào)：TP311? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1009-3044（2018）31-0217-02

Discussion on the Tellegens Theorem in Circuit Analysis

CAO Jia-qi， SUN Yang

（Nanjing University of Posts and Telecommunications Bell Honors School， Nanjing 210023， China）

Abstract： This article mainly explains the Tellegens Theorem and its use in the questions， so as to show its universality.

Key words： Tellegens Theorem; Conservation of the Power;? Conservation of the Similarpower; Reciprocity Theorem.

特勒根定理是一個(gè)分析任何集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)普遍適用的有效定理，也是電路分析網(wǎng)絡(luò)定理中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，不僅在網(wǎng)絡(luò)理論的研究中有著廣泛的應(yīng)用，而且對(duì)電路設(shè)計(jì)的實(shí)踐和優(yōu)化也有著重要的意義。故本文將對(duì)特勒根定理進(jìn)行深入的討論，以便讀者更清晰地了解其中的有關(guān)內(nèi)容。

1 特勒根定理的兩種表現(xiàn)形式

1.1 特勒根第一定理

任意一個(gè)具有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)它的各支路電壓和電流分別為u_k和i_k，其中k = 1 ， 2 ， 3 … b，且各支路電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則有

上式中的每一項(xiàng)是同一支路電壓和電流的乘積，表示的是支路的吸收功率，因此特勒根第一定理表達(dá)的是功率守恒。

1.2 特勒根第二定理

上式中的每一項(xiàng)是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的支路電壓和另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)支路的電流的乘積，具有功率的量綱，稱之為似功率，因此特勒根第二定理表達(dá)的是似功率守恒。

1.3 說(shuō)明

①特勒根定理是基爾霍夫定律的結(jié)果，它具有和基爾霍夫定律本身一樣的普遍性，適用于任何性質(zhì)（線性、非線性、時(shí)不變、時(shí)變等）的電路。

②對(duì)于特勒根第二定理而言，不能用功率守恒來(lái)解釋，它僅表明在兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的電路中，一個(gè)電路的支路電壓和另一個(gè)電路的支路電流，或者是同一電路在不同時(shí)刻的相應(yīng)的支路電壓和支路電流所必須遵循的數(shù)學(xué)關(guān)系。雖具有功率的量綱，但并無(wú)具體的物理意義。

③無(wú)論是特勒根第一還是第二定理，其實(shí)質(zhì)均是功率守恒。

④運(yùn)用特勒根定理解題時(shí)，為方便將對(duì)應(yīng)支路的電壓和電流相乘或交叉相乘，應(yīng)將各個(gè)支路的電壓和電流依次排列，這樣也可以避免漏寫(xiě)和錯(cuò)位。同時(shí)應(yīng)該注意對(duì)應(yīng)的支路電壓和支路電流必須滿足關(guān)聯(lián)參考方向（否則公式中加負(fù)號(hào)）。

⑤注意運(yùn)用特勒根定理時(shí)對(duì)端口支路的處理。若端口開(kāi)路，則端口支路的電流為零;若端口短路，則端口支路的電壓為零。

2 特勒根定理的應(yīng)用

從這道題目的兩種解法可以看出，第二種解法明顯技巧性更強(qiáng)，但計(jì)算量就相對(duì)較小，而第一種解法的思考量小，但計(jì)算時(shí)要注意細(xì)節(jié)方面的處理，如電流與電壓的關(guān)聯(lián)與否，往往一個(gè)點(diǎn)判斷錯(cuò)誤計(jì)算結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)偏差。故在選取方法時(shí)要仔細(xì)斟酌，使用合適自己的方法。

而對(duì)于第一種直接使用特勒根定理的方法而言，可以先將各個(gè)端口的電流和電壓取為關(guān)聯(lián)參考方向，然后直接列寫(xiě)特勒根定理的表達(dá)式，即（*）式，可以不用從定理最初的表達(dá)式推至（*）式，同時(shí)，在將已知參數(shù)代入表達(dá)式的時(shí)候，若該參數(shù)與先前選定的電壓、電流的方向相同，則取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。

利用特勒根定理證明互易定理

注意到特勒根第二定理即似功率守恒定理，其所提供的兩個(gè)等式包含了兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的4b個(gè)變量，因此，如果直接應(yīng)用該定理求解網(wǎng)絡(luò)，則必須給出4b - 2 個(gè)網(wǎng)絡(luò)變量，否則網(wǎng)絡(luò)的解就不會(huì)唯一。這給定理的實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了困難，尤其是變量個(gè)數(shù)較多的情況下，方程的求解就更加復(fù)雜;但是，如果給定的網(wǎng)絡(luò)滿足某些特殊條件，應(yīng)用特勒根定理，往往可以得出一些有益的結(jié)論，如2.1的題解中的第二種方法所提到的互易定理。

3 結(jié)語(yǔ)

特勒根定理的應(yīng)用十分廣泛，適用于許多電路，無(wú)論其是否包含非線性元件、是否是穩(wěn)恒電路。而且對(duì)電流電壓做線性變換不影響特勒根定理的成立。

另外，在應(yīng)用特勒根定理解題時(shí)，如若題中所給網(wǎng)絡(luò)不為純電阻網(wǎng)絡(luò)，例如含有受控源等，則不能直接列寫(xiě)（*）式。原因?在于此時(shí)的網(wǎng)絡(luò)中的約束關(guān)系不再是簡(jiǎn)單的VCR關(guān)系，這也就導(dǎo)致了除已知支路外的網(wǎng)絡(luò)，即被封住的網(wǎng)絡(luò)中的支路電壓與對(duì)應(yīng)支路的電流的乘積之和與支路電流與對(duì)應(yīng)支路的電壓的乘積之和不再相等，則不能被約去，因此不能推至（*）式。

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