與拋物線有關(guān)的動點(diǎn)問題解法賞析

韓樂

摘 要：動點(diǎn)問題一直是中考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查起點(diǎn)較高，具有很大的挑戰(zhàn)性和思維價值，全面考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生的綜合運(yùn)用能力要求較高。主要介紹了構(gòu)成特殊圖形的動點(diǎn)問題幾種情況，希望對實(shí)際教學(xué)及中考復(fù)習(xí)有一定的幫助。

關(guān)鍵詞：動點(diǎn)；轉(zhuǎn)化；分類

動點(diǎn)問題是歷年來中考命題的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中感覺最難的題型，所謂“動點(diǎn)問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn)，它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類題目。這類問題的解法策略有：（1）“動中求靜，以靜制動”是解決動態(tài)幾何最有效的方法；（2）在“動”中找到最恰當(dāng)?shù)奈恢谩办o”下來是解決問題的起點(diǎn)；（3）在“靜”下來后，能抓住“靜”時的特征，尋找解決問題的突破口，是我們邁向成功的關(guān)鍵。

下面具體介紹幾種動點(diǎn)問題的解法以供大家參考。

一、點(diǎn)動構(gòu)成平行四邊形

這種題常常需要根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)“對角線互相平分”或平行四邊形判定定理中的“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式（或勾股定理）、中點(diǎn)公式、兩條直線平行的條件以及點(diǎn)在函數(shù)圖象上的含義來求解。

例1.如圖1所示，拋物線y=x2+x-4與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-x上的動點(diǎn)，試探討：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時，以P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

分析：這里有兩個動點(diǎn)，初步審題也許會感到無從下手，但仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)，這里有一個“不變量”O(jiān)B，其只可能有兩種身份：（1）平行四邊形的邊；（2）平行四邊形的對角線。設(shè)Q（m，-m），當(dāng)OB是平行四邊形的邊時，線段PQ也為平行四邊形的邊，且OB與PQ為對邊，所以O(shè)BPQ，所以P（m，-m+4）或P（m，-m-4）。由于P在拋物線上，所以P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，分別代入求解，注意排除Q與O重合的情況；當(dāng)OB為平行四邊形的對角線時，PQ也為平行四邊形的對角線，所以線段OB的中點(diǎn)也是線段PQ的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)公式可以利用線段OB的中點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)Q的坐標(biāo)來表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，同樣根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上這一條件也可求出相應(yīng)的m的值。

二、點(diǎn)動構(gòu)成梯形

這類題型通常根據(jù)梯形的定義（只有一組對邊平行）、直線平行（不平行）條件、直線傾斜程度（斜率）k以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)求法來解答。

例2.如圖2所示，拋物線y=x2-x與x軸交于A、O兩點(diǎn)，點(diǎn)D（3，-2）為拋物線上的定點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線上的動點(diǎn)，試探討：當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，以O(shè)、A、D、M為頂點(diǎn)的四邊形為

梯形？

分析：這里有三條定線段：OA、OD、AD，他們均可能作為梯形的底邊，因此討論的依據(jù)就是他們分別作為梯形的底邊時點(diǎn)M應(yīng)滿足的條件。以O(shè)D為梯形的底邊為例，當(dāng)OD為梯形的底邊時，線段AM也為梯形的底邊，所以O(shè)D∥AM，且AD不平行OM，從而kOD=kAM，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出直線AM的函數(shù)解析式，將其與拋物線的解析式聯(lián)立，求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，再檢驗(yàn)kAD是否等于kOM，如果kAD≠kOM，則所求出的點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足題意，否則舍去該種情形。其余兩種情況依此進(jìn)行，問題即可迎刃而解。

三、實(shí)際問題應(yīng)用

（2012年安徽中考）如圖3，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)=a（x-6）2+h。已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m。

（1）當(dāng)h=2.6時，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）

（2）當(dāng)h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；

（3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍。

我們只解答第（3）問，通過分析觀察，我們會發(fā)現(xiàn)這里的h實(shí)際上指的就是排球在運(yùn)動過程中所能達(dá)到的最大高度，隨著h的變化，排球的運(yùn)動軌跡（拋物線的位置）也在隨之不斷發(fā)生變化，這樣就給我們的解題帶來了一定的難度。但是只要我們認(rèn)真分析就會發(fā)現(xiàn)，這里恰好有兩個相對靜止?fàn)顟B(tài)：①排球恰好過網(wǎng)；②排球恰好不過界（落地時恰好落在邊界線上）。排球恰好過網(wǎng)，則當(dāng)排球到達(dá)球網(wǎng)正上方時，排球的高度要比球網(wǎng)高，即×9+h>2.43；而要恰不過界，則排球的落地點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離要不比18米大或當(dāng)x=18時y小于或等于0。即即×144+h≤0，二者結(jié)合得h≥。

動點(diǎn)問題作為中考考點(diǎn)已經(jīng)成為必然趨勢，問題的背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別需要注意關(guān)注圖形的特殊性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置關(guān)系）。在復(fù)習(xí)過程中，我們應(yīng)做好這方面的復(fù)習(xí)工作。

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