線性代數(shù)教學(xué)中的理論聯(lián)系實(shí)際

譚小燕+馮玉玲

摘要：本文主要以向量組的線性組合、n維向量的內(nèi)積、夾角等內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用為基點(diǎn)，探討了理論聯(lián)系實(shí)際在線性代數(shù)教學(xué)中的必要性，以及如何開展理論聯(lián)系實(shí)際，從而彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)中的不足。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；理論聯(lián)系實(shí)際；課程

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）03-0238-02

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是主要處理線性關(guān)系問題的一門公共數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。隨著現(xiàn)代科技的迅猛發(fā)展，線性代數(shù)課程已經(jīng)在本科院校中的多種專業(yè)中普遍開設(shè)。線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的。但由于其課程內(nèi)容本身的抽象性，學(xué)生在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，對概念、定理、方法不能很好的理解和應(yīng)用，尤其在理論的實(shí)際應(yīng)用上更是感到迷茫，從而對其學(xué)習(xí)興趣不高。如何促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考，增加教學(xué)的吸引力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛一直以來都是教學(xué)中需要思考并解決的問題。為此，本文主要論述理論聯(lián)系實(shí)際在線性代數(shù)教學(xué)中的實(shí)踐和作用，以在現(xiàn)實(shí)生活科技中的直接應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)和提高學(xué)生學(xué)習(xí)中進(jìn)行理論實(shí)踐的能力。

一、理論聯(lián)系實(shí)際在線性代數(shù)教學(xué)中的必要性

1.當(dāng)前線性代數(shù)教學(xué)中的弊端。由于線性代數(shù)是從高中二元一次方程組、三元一次方程組到n元一次方程組求解以及從二元向量、三元向量到n元向量的一步步推廣，其中引入了很多新的數(shù)學(xué)工具：行列式、矩陣等。在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，無論學(xué)生來自哪個(gè)專業(yè)，教師講授的課程都基本上是以工具教學(xué)為主，教給學(xué)生大量的知識內(nèi)容，而很少提及這些數(shù)學(xué)工具在各個(gè)學(xué)生所在專業(yè)的應(yīng)用或是在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，更談不上線性代數(shù)中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。這就造成了學(xué)生學(xué)習(xí)的理論與實(shí)踐的脫節(jié)，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到這些知識如在云端，遙不可及，同時(shí)也造成了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中漸漸喪失主動(dòng)性和積極探索的信心，無法提高學(xué)習(xí)興趣。

2.理論聯(lián)系實(shí)際的優(yōu)點(diǎn)。雖然教師在教學(xué)中處于主導(dǎo)角色，但通過設(shè)計(jì)實(shí)際問題或聯(lián)系時(shí)事熱點(diǎn)問題，讓學(xué)生能主動(dòng)思考所學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用，與教師共同討論解決問題的對策，會(huì)從心理上引起學(xué)生極大的好奇心并滿足其解決問題的成就感。一方面可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性和積極主動(dòng)性，另一方面也可以促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維、廣泛交流、共同學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其優(yōu)秀的自學(xué)能力以及解決問題的能力。

二、線性代數(shù)教學(xué)中理論聯(lián)系實(shí)際的實(shí)例

下面我們就從學(xué)生們較難理解的向量組的線性組合、向量的內(nèi)積與夾角等內(nèi)容來說明如何理論聯(lián)系實(shí)際。

1.生活中的飲食健康與向量組的線性組合。俗話說“早上吃飽，中午吃好，晚上吃少，零食寥寥”，我們就從數(shù)學(xué)上給出一定的解釋。提出“如何既要吃得好，又要身材好？”這樣的問題，從上課開始就初步引起學(xué)生的興趣，給出具體的問題——營養(yǎng)食譜問題?，F(xiàn)在假設(shè)有一個(gè)營養(yǎng)食譜，分為早餐、中餐、晚餐和零食，在營養(yǎng)食譜中我們只看蛋白質(zhì)、脂肪、膳食纖維、維生素C，其中在一份早餐中含有蛋白質(zhì)10克、脂肪6克、膳食纖維12克、維生素C10毫克，一份中餐中含有蛋白質(zhì)15克、脂肪12克、膳食纖維4克、維生素20毫克，一份晚餐中含有蛋白質(zhì)9克、脂肪7克、膳食纖維2克、維生素20毫克，一份零食中含有蛋白質(zhì)6克、脂肪5克、膳食纖維2克、維生素0毫克，而為了保持身材，每天需要攝取的營養(yǎng)含量為蛋白質(zhì)75克、脂肪60克、膳食纖維40克、維生素100毫克，那么每頓應(yīng)該吃多少呢？帶著問題來學(xué)習(xí)“向量組的線性組合的內(nèi)容”。學(xué)習(xí)過理論，關(guān)鍵是如何應(yīng)用，這時(shí)再來解決開頭的營養(yǎng)食譜問題。對于這個(gè)食譜，早餐、中餐、晚餐和零食各應(yīng)該吃幾份？換言之，應(yīng)該怎樣組合早餐、中餐、晚餐和零食的營養(yǎng)才能達(dá)到我們希望的營養(yǎng)？首先將問題數(shù)學(xué)化。把早餐的營養(yǎng)含量抽象看成一個(gè)向量α1（10 6 12 10）T，把中餐、晚餐和零食的營養(yǎng)含量都看成一個(gè)向量：β（75 60 40 100），α2（15 12 4 20），α3（9 7 2 20），α4（6 5 2 0），那現(xiàn)在的問題就變成了α1、α2、α3、α4，怎樣組合才能得到β，也就是β能否寫成他們的線性組合呢？解方程：x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β。解方程組得到線性組合系數(shù)為：x1=2，x2=3，x3=1，x4=1。這也說明早餐吃2份，中餐吃3份，晚餐吃1份，零食吃1份，也正好符合了“早上吃好，中午吃飽，晚上吃少，零食寥寥”的飲食常識。

2.手機(jī)客戶端新聞分類與向量的內(nèi)積、夾角。由于有直觀表示，二維向量、三維向量的內(nèi)積、夾角容易理解，對于n維向量的內(nèi)積、夾角，雖然是二維、三維的直接推廣，由于不再有直觀表示，學(xué)生在記憶這些知識時(shí)顯得有些機(jī)械。但結(jié)合生活中的實(shí)例或各專業(yè)中的背景，這將是一目了然的知識。下面我們就從手機(jī)的新聞客戶端說起。從學(xué)生常用的手機(jī)軟件提出問題，也可直接引起學(xué)生的興趣。大家每天都會(huì)用手機(jī)或電腦來看新聞，無論是搜狐客戶端還是新浪客戶端，在主頁上新聞都分成了很多類，有頭條、娛樂、生活、財(cái)經(jīng)、軍事等，在資訊大爆炸的今天，幾乎每件事都是新聞。面對鋪天蓋地的新聞，新聞工作者或者新聞客戶端是怎么分類的呢？全靠人工分類顯然不可能完成的，那么電腦怎么自動(dòng)分類呢？在課前拋出這樣的問題，讓學(xué)生帶著問題去尋找答案。等學(xué)習(xí)過向量的內(nèi)積、夾角等概念后就來解決開頭所提的新聞分類問題。

首先，問題數(shù)學(xué)化。新聞是傳遞信息的，而詞是信息的載體。世界各國無論是哪門語言的“語文課”，教師教授寫作時(shí)都會(huì)強(qiáng)調(diào)特定的主題要用特定的描述詞。幾千年來，人類已經(jīng)形成了這樣的寫作習(xí)慣，因此同一類新聞一定是某些主題詞用的較多，另一些詞用的較少。比如金融類的新聞，這些詞出現(xiàn)的頻率就很高，像“包子、宇宙”就出現(xiàn)的較少；像軍事類娛樂類的新聞，都會(huì)有一些頻率較高的特定詞匯。那么如何根據(jù)詞來判斷新聞是否是一類呢？對每個(gè)詞進(jìn)行編號，同時(shí)每個(gè)詞就會(huì)有一個(gè)出現(xiàn)頻率比值，也就是說每個(gè)詞都對應(yīng)了一個(gè)數(shù)，這樣的話一個(gè)新聞根據(jù)這些詞的數(shù)值就對應(yīng)了一串?dāng)?shù)字。

其次，用所學(xué)知識解決問題。把新聞所對應(yīng)的一串?dāng)?shù)字看成一個(gè)向量，那么每個(gè)新聞都對應(yīng)了一個(gè)向量，現(xiàn)在的問題就轉(zhuǎn)化成了如何來度量兩個(gè)向量距離的遠(yuǎn)近。從直觀上很容易看到，夾角越小，距離越近，夾角越大，距離越遠(yuǎn)，所以只需要算下兩個(gè)向量的夾角，這樣就解決了這個(gè)問題。同時(shí)，這樣的方法也可以用來判斷兩個(gè)物種的基因的遠(yuǎn)近。對這個(gè)問題，也可以結(jié)合學(xué)生不同的專業(yè)背景，例如，若是生物專業(yè)就從物種的分類提問題，等等。

三、結(jié)語

興趣是最好的老師。如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，一直以來都是課程設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。一方面，知識是死的，需要用公式和數(shù)字去表達(dá)；另一方面，知識是活的，都是來源于生活。在生活、科技背景下，到處都體現(xiàn)著知識所蘊(yùn)含的思想。因此，在教學(xué)過程中，適時(shí)地應(yīng)用理論聯(lián)系實(shí)際，既可以引導(dǎo)學(xué)生抱著興趣從實(shí)際出發(fā)，來學(xué)習(xí)理論，又能引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用理論知識，培養(yǎng)學(xué)生思考問題、解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].第6版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]吳軍.數(shù)學(xué)之美[M].第2版.北京：人民郵電出版社，2014.endprint