綜述金融風(fēng)險(xiǎn)度量Expectile回歸方法

摘 要：Expectile（期望分位數(shù)）回歸方法是金融風(fēng)險(xiǎn)度量研究中一類(lèi)非常重要的方法，它平行于分位數(shù)回歸方法，有著獨(dú)特的優(yōu)越性。這里主要對(duì)期望分位數(shù)回歸方法進(jìn)行闡述，重點(diǎn)論述其在金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量中的應(yīng)用研究進(jìn)展。

關(guān)鍵詞：Expectile回歸；風(fēng)險(xiǎn)度量；GEVaR方法

在金融風(fēng)險(xiǎn)管理的研究中，Expectile回歸方法是度量金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的一類(lèi)重要方法。作為分位數(shù)回歸方法的一個(gè)推廣，利用Expectile估計(jì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量有著很大的優(yōu)勢(shì)。分位數(shù)回歸方法以其不局限于分布假設(shè)且具有穩(wěn)健性等特點(diǎn)，在金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理中有著廣泛的應(yīng)用。但是分位數(shù)回歸方法也有一些缺陷，由分位數(shù)本身的性質(zhì)決定了樣本數(shù)據(jù)中的異常值不會(huì)對(duì)回歸造成多大影響，即對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)不敏感，而金融市場(chǎng)的一個(gè)特點(diǎn)就是不確定性，當(dāng)極端事件發(fā)生時(shí)分位數(shù)回歸方法就不再具有優(yōu)越性。同時(shí)，在度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，基于分位數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)度量QVaR只給出了損失的分位數(shù)，并沒(méi)有給出具體的損失值，所以兩個(gè)不同的分布可能會(huì)有相同的分位數(shù)，而金融風(fēng)險(xiǎn)中更多關(guān)注的是超過(guò)分位數(shù)部分的損失情況。針對(duì)分位數(shù)回歸方法的這些缺陷，通過(guò)Expectile回歸方法則得到了很好的解決。

理論基礎(chǔ)

分位數(shù)回歸是Koenker等[1]提出的最小化加權(quán)絕對(duì)離差的方法，研究表明分位數(shù)回歸只與變量在尾部的概率有關(guān)而與變量取值無(wú)關(guān)。Expectile回歸則是由Newey等[2]提出，考慮損失函數(shù)

可知不僅與變量尾部的概率有關(guān)而且與變量具體的值有關(guān)系。

金融風(fēng)險(xiǎn)度量Expectile回歸方法研究進(jìn)展

利用Expectile估計(jì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量的理論基礎(chǔ)是Quantile與Expectile之間有對(duì)應(yīng)的關(guān)系，Efron[3]指出Expectile可以用來(lái)估計(jì)Quantile，Jones[4]也驗(yàn)證了兩者的關(guān)系。Taylor[5]使用基于Expectile的條件自回歸期望分位數(shù)（CARE）模型計(jì)算了股票指數(shù)的VaR和ES值。CARE模型是在Engle等[6]的CAViaR模型基礎(chǔ)上變換得到的，兩者類(lèi)似但又不完全相同，區(qū)別主要在于模型的估計(jì)方法上。二者的參數(shù)估計(jì)方法都屬于半?yún)?shù)法，但CAViaR基于Koenker等[1]提出的分位數(shù)回歸，Taylor[5]指出CAViaR模型的缺點(diǎn)是直接用分位數(shù)建模，因而不能用于計(jì)算ES，CARE模型則基于Expectile建模。Kuan等[7]比較了基于Expectile的VaR（EVaR）和基于分位數(shù)的QVaR之間的敏感性，并使用不同于Taylor[5]的CARE模型計(jì)算了股票指數(shù)的EVaR，研究中用樣本內(nèi)數(shù)據(jù)估計(jì)模型，再結(jié)合樣本外數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。但CARE模型也有一些缺陷，如Taylor[5]的CARE模型結(jié)構(gòu)與Engle等[6]的CAViaR模型基本相同，且沒(méi)有定義基于Expectile的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度和進(jìn)行動(dòng)態(tài)的模型檢驗(yàn)，而Kuan等[7]的CARE模型雖然更好地捕捉了收益率的非對(duì)稱信息，但是在描述尾部Expectile的動(dòng)態(tài)特征上沒(méi)有考慮到風(fēng)險(xiǎn)因素的交互作用和動(dòng)態(tài)效應(yīng)。

蘇辛等人[8]引入了門(mén)限GARCH模型對(duì)CARE模型進(jìn)行了改進(jìn)，更好地捕捉了Expectile的非線性自回歸特征，并將模型用于基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)中，結(jié)果表明基于Expectile的VaR和ES能夠更好地度量尾部風(fēng)險(xiǎn)。Xie等[9]提出了非參數(shù)變系數(shù)法計(jì)算EVaR，引入滯后相依性的協(xié)變量進(jìn)行建模，在ALS法估計(jì)系數(shù)時(shí)結(jié)合局部線性平滑方法，利用一步加權(quán)局部最小二乘法計(jì)算估計(jì)量明顯縮短了計(jì)算時(shí)間，并得到了很好的模擬結(jié)果。Fabio等[10]在Expectile已有性質(zhì)的基礎(chǔ)上探討其金融意義，結(jié)論表明Expectile可以很好地替代VaR和ES。Ehm等[11]研究了關(guān)于Expectiles的預(yù)測(cè)問(wèn)題。Holzmann等[12]討論了Expectile的漸進(jìn)分布。Zwingmann等[13]考察了Quantile和Expectile的弱收斂性。苑慧玲等[14]在期望和正態(tài)分布理論的基礎(chǔ)上提出了GVaR，并證明其一致性，在特殊情形下給出GVaR的函數(shù)表達(dá)式，研究表明GVaR可以作為VaR的替代。

然而VaR也有一些缺陷，如VaR不是一致的風(fēng)險(xiǎn)度量，ES作為VaR的有益補(bǔ)充具有次可加性，是一致性度量。在Kaun等[7]的研究中也發(fā)現(xiàn)ES比VaR對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)更敏感，故在Kuan等的基礎(chǔ)上，喬霞等[15]提出了與ES敏感性相當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)度量GEVaR，估計(jì)方法類(lèi)似于EVaR，他們將ALS法的損失函數(shù)由2次冪改為2.5次冪，結(jié)合蒙特卡洛方法驗(yàn)證極端事件下GEVaR的敏感性，同時(shí)計(jì)算GEVaR、ES和EVaR三種風(fēng)險(xiǎn)度量的導(dǎo)數(shù)，結(jié)果表明在某些情況下GEVaR可以替代ES度量風(fēng)險(xiǎn)，且敏感性要優(yōu)于EVaR，最后給出了2.5次冪時(shí)Expectile和Quantile在不同分布下的對(duì)應(yīng)關(guān)系。Daouia等[16]利用尾部Expectile方法估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)度量VaR和ES，第一步先在樣本數(shù)據(jù)中估計(jì)出基于Expectile的VaR和ES的值，再將上一步得到的估計(jì)結(jié)果應(yīng)用于尾部極值分布進(jìn)行估計(jì)，確立了第一步估計(jì)結(jié)果和極值估計(jì)的極限分布。Bayer等在風(fēng)險(xiǎn)度量的回顧測(cè)試研究中基于回歸結(jié)構(gòu)提出二變量ESR回顧測(cè)試法，他們將條件ES看作線性函數(shù)，以收益率為因變量，ES預(yù)測(cè)結(jié)果作為解釋變量進(jìn)行回歸分析，并通過(guò)相關(guān)檢驗(yàn)得出結(jié)論，為監(jiān)管部門(mén)檢驗(yàn)ES預(yù)測(cè)效果提供了有效的依據(jù)。

結(jié)語(yǔ)

Expectile回歸思想的提出至今已有30年，經(jīng)過(guò)30來(lái)年的發(fā)展，Expectile回歸理論已經(jīng)逐漸趨于成熟，并廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域中，它不限潛在于分布且對(duì)尾部極端值更敏感的優(yōu)點(diǎn)，成為了金融風(fēng)險(xiǎn)度量方法中分位數(shù)回歸方法的有益補(bǔ)充，國(guó)內(nèi)在Expectile回歸方面的研究還比較滯后，本文的目的在于對(duì)Expectile回歸方法在金融風(fēng)險(xiǎn)度量中的研究進(jìn)展做以簡(jiǎn)單的論述。

基金項(xiàng)目：四川理工學(xué)院研究生創(chuàng)新基金（項(xiàng)目編號(hào)：y2016026）

（作者單位：四川理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

【參考文獻(xiàn)】

[1] Koenker R W， Bassett G W. Regression Quantiles[J]. Econometrica，1978， 46（01）.

[2] Newey W K， Powell J L. Asymmetric Least Squares Estimation and Testing[J]. Econometrica， 1987， 55（04） .

[3] Efron B. Regreession percentile using asymmetric squared error loss[J]. Stat. Sinica.， 1991， 1（01） .

[4] Jones M C. Expectiles and M-Quantiles are Quantiles[J]. Statist. Probab Lett.， 1994， 20（02） .

[5] Taylor J W. Estimating value at risk and expected shortfall using Expectiles[J]. J. Financ. Econ. ， 2008， 6（02） .

[6] Manganelli S， Engle R F. CaViaR：conditional autoregressive value at risk ba regression Quantiles[J]. Journal of Business and Economic Statistics， 2004， 22（04） .

[7] Kuan C M， Yeh J H， Hsu Y C. Assessing value at risk with CARE， the conditional autoregressive Expectile models[J]. J. Econ. ， 2009， 150（02） .

[8] 蘇辛， 周勇. 條件自回歸Expectile模型及其在基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)中的應(yīng)用[J]. 中國(guó)管科學(xué)， 2013， 21（06） .

[9] Xie S， Zhou Y， Wan A T K. A varying-coefficient Expectile model for estimating Value at Risk[J]. Journal of Business & Economic Statistics， 2014， 32（04） .

[10] Fabio B.， Elena D B.Risk management with Expectiles[J]. Eur. J. Financ.， 2017， 23（06） .

[11] Ehm W， Gneiting T， Jordan A， et al. Of Quantiles and Expectiles： consistent scoring functions， Choquet representations and forecast rankings[J]. J. Roy. Stat. Soc. B. ， 2016， 78（03） .

[12] Holzmann H， Klar B. Expectile asymptotics[J]. Electronic Journal of Statistics， 2016， 10（02） .

[13] Zwingmann T， Holzmann H. Weak convergence of Quantile and Expectile processes under general assumptions[J]. arXiv preprint arXiv：1706.04668， 2017.

[14] 苑慧玲， 穆燕， 周勇. 一種新的風(fēng)險(xiǎn)度量方法-GVaR[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2017， 40（06）.

[15] 喬霞， 藺富明. 一種計(jì)算在險(xiǎn)價(jià)值的新方法[J]. 四川理工學(xué)報(bào)（自科版）， 2017， 30（06）.

[16] Daouia A， Girard S， Stupfler G. Estimation of tail risk based on extreme Expectiles[J]. J. Roy. Stat. Soc. B， 2018， 80（02）.