巧用物理方法解決幾何問題

摘 要：高考在物理學(xué)科中要求學(xué)生具備“五大能力”，其中“運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題”這一項(xiàng)要求，對(duì)學(xué)生的理科素養(yǎng)提出了更高層次的要求，因此我們?cè)趯W(xué)生的日常應(yīng)考訓(xùn)練中，經(jīng)常教育學(xué)生要能夠?qū)⒉糠治锢韱栴}轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如電學(xué)中電流輸出功率與內(nèi)外電阻的函數(shù)極值關(guān)系；數(shù)學(xué)中的圖象法、極值法、解析函數(shù)等幾種常見的數(shù)學(xué)方法。特別是用圖象和函數(shù)的思想，研究和解決物理問題，可使問題變得簡(jiǎn)明、直觀。數(shù)學(xué)在物理學(xué)科上的應(yīng)用常常起到有力的輔助作用。然而，在有些問題中，物理知識(shí)的合理應(yīng)用也可以巧妙地解決數(shù)學(xué)問題。本文就在處理物理題目中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)幾何問題，通過構(gòu)建物理模型，成功地將該問題予以解決。

關(guān)鍵詞：高中物理；物理方法；幾何問題；物理與數(shù)學(xué)

【例】 如圖1所示，一質(zhì)量為m的小球套在光滑豎直桿上，輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與該小球相連?，F(xiàn)將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，沿豎直桿運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，已知OA長度小于OB長度，彈簧處于OA、OB兩位置時(shí)彈力大小相等。在小球由A到B的過程中（ ）

A. 加速度等于重力加速度g的位置有兩個(gè)

B. 彈簧彈力的功率為零的位置有兩個(gè)

C. 彈簧彈力對(duì)小球所做的正功等于小球克服彈簧彈力所做的功

D. 彈簧彈力做正功過程中小球運(yùn)動(dòng)的距離等于小球克服彈簧彈力做功過程中小球運(yùn)動(dòng)的距離

這是一道功能關(guān)系的綜合題目，難度屬于中等偏上，每一個(gè)選項(xiàng)都值得我們深思。

首先挖掘題目中的關(guān)鍵信息：“OA長度小于OB長度，彈簧處于OA、OB兩位置時(shí)彈力大小相等”告訴我們處于OA的彈簧一定處于壓縮狀態(tài)，處于OB的彈簧處于拉伸狀態(tài)。這樣，我們很容易在AB之間將彈簧所處的幾個(gè)特殊位置確定出來，如圖2所示（為了能清晰表示彈簧處于不同狀態(tài)的位置，我們將圖中的彈簧都用直線代替，如線段OA表示處于OA狀態(tài)的彈簧）：

OA是小球釋放時(shí)彈簧的壓縮狀態(tài)；

OC是彈簧壓縮最短的位置，此時(shí)彈簧水平；

OD與OA關(guān)于OC對(duì)稱，即彈簧處于OD位置的壓縮量與OA相同；

OE是彈簧處于原長的位置；

OB是彈簧處于壓縮的狀態(tài)，形變量與OA相同。

由以上分析可知，加速度等于重力加速度g的位置有兩個(gè)，即水平位置OC和原長位置OE，故A對(duì)；彈簧彈力功率為零的位置有三個(gè)，即OA、OC和原長OE位置，故B錯(cuò)誤；彈簧對(duì)物體做正功，彈簧彈性勢(shì)能減少，彈簧對(duì)物體做負(fù)功，彈簧彈性勢(shì)能增加，彈簧處于OA和OB兩位置（即初末位置）時(shí)，形變量相同，故彈簧彈性勢(shì)能相同，即彈簧在該過程中對(duì)物體所做的正功和負(fù)功在數(shù)值上相等，故C對(duì)。

D選項(xiàng)涉及做功時(shí)的距離，故需要分段看。對(duì)小球下落過程分析很容易判斷出：

WAC<0 WCD>0 WAC=-WCD WDE>0 WEB<0

即AC段負(fù)功與CD段正功數(shù)量相等，故要比較AB段做正負(fù)功所走距離大小，只需要比較做正功的DE段與做負(fù)功的EB段長度大小。由于OD與OA關(guān)于OC對(duì)稱，故OD位置的壓縮量與OB位置的拉伸量一定相等，因此有如下的幾何線段關(guān)系：

OB-OE=OE-OD

我們可以將該問題抽化成如圖3的幾何模型：

已知在三角形ODB中，OB-OE=OE-OD，比較DE與EB的大小關(guān)系。

在這個(gè)幾何問題中，我們可以借助平面幾何關(guān)系或代數(shù)中的向量知識(shí)予以化解，但過程都比較繁瑣，對(duì)于學(xué)生來說不容易思考。這時(shí)我們可以通過一個(gè)很簡(jiǎn)單的物理模型將該幾何問題巧妙解答。過程如下：

如圖4所示，一根輕繩跨過光滑的定滑輪，左端連接著水平面上可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體M，右端吊著物體m。外力F作用在M上，使M沿著水平面勻速向右運(yùn)動(dòng)。設(shè)E點(diǎn)和D點(diǎn)是M運(yùn)動(dòng)過程中的兩個(gè)位置，且滿足tBE=tED，E′和D′是物體m對(duì)應(yīng)的兩個(gè)位置。由關(guān)聯(lián)速度知識(shí)可知，物體m的速度可以表示為vcosα，其中α角為滑輪左側(cè)繩子與水平面的夾角。因?yàn)棣两堑牟粩嘣黾樱梢灾涝贛向右勻速直線運(yùn)動(dòng)過程中，m在做減速運(yùn)動(dòng)。故對(duì)于m的運(yùn)動(dòng)過程可以得出：XB′E′>XE′D′

即線段關(guān)系：OB-OE>OE-OD

故在△ODE中，當(dāng)DE=EB時(shí)，線段滿足OB-OE>OE-OD；推理可得，當(dāng)OB-OE=OE-OD時(shí)，E點(diǎn)必定向靠近B點(diǎn)方向移動(dòng)少許，此時(shí)DE>EB。

回到例題中的D選項(xiàng)，借助于剛才模型中得到的結(jié)論可知，“彈力做正功過程中小球運(yùn)動(dòng)的距離大于小球克服彈簧彈力做功過程中小球運(yùn)動(dòng)的距離”，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。

構(gòu)建物理模型巧妙解決幾何問題、數(shù)學(xué)問題，這是一個(gè)嶄新的思路。老師和同學(xué)們平時(shí)在做題過程中，只要勤于思考、善于發(fā)現(xiàn)，一定還可以發(fā)現(xiàn)更多的成功案例，從而更進(jìn)一步加強(qiáng)物理學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科的緊密協(xié)作，綜合提升高中學(xué)生的理科素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]張國明.巧用數(shù)學(xué)知識(shí)，妙解物理極值問題[J].中國校外教育中旬刊.

作者簡(jiǎn)介：

栗高龍，河北省張家口市，河北省張家口市宣化第一中學(xué)。endprint