例談高考中常見的橢圓題型

王文忠??

摘 要：解析幾何在江蘇數(shù)學(xué)高考中占21分左右，解答題常常以直線與橢圓的問題出現(xiàn)。直線與橢圓題型多樣、綜合性強(qiáng)、解題方法靈活、運(yùn)算量大，能夠較好地考查學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的程度，也能夠考查出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、運(yùn)算能力，要求學(xué)生具備較扎實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)及較強(qiáng)綜合能力。本文將重點(diǎn)分析下直線與橢圓中常見題型，使學(xué)生更好地掌握解析幾何中常見的題型。

關(guān)鍵詞：橢圓；高考；常見題型

圓錐曲線是高中解析幾何的核心內(nèi)容及研究對(duì)象，代數(shù)方法解決幾何問題是解析幾何最基本的思想，學(xué)生通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想及解決實(shí)際問題和運(yùn)算的能力，養(yǎng)成良好的解題心態(tài)。圓錐曲線的考查在歷年高考中常以橢圓為主，橢圓的考查常常涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，而直線與橢圓的位置關(guān)系似乎是必考內(nèi)容，因?yàn)橹本€與橢圓的關(guān)系能夠考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、解題技巧、運(yùn)算能力，橢圓知識(shí)的考查大致上能分為以下幾種情況。

一、 橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中橢圓的性質(zhì)主要包括：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、共同性質(zhì)等，考查橢圓基本性質(zhì)就是各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系，尤其是基本量a，b，c，e之間的關(guān)系，這類題一般屬于容易題，主要是構(gòu)造基本量之間的等量關(guān)系或不等關(guān)系。

例1 （2017·浙江卷）橢圓 x29+y24=1的離心率是（ ）

A. 133

B. 53

C. 23

D. 59

二、 求曲線方程或軌跡問題

求曲線方程或軌跡方程是解析幾何中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，求曲線方程通常先確定曲線的類型（定型）是圓、橢圓、雙曲線還是拋物線，再確定曲線的位置（定位）——圓錐曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上或拋物線的開口方向性，再確定基本量的取值（定量），最后寫出曲線的方程。求軌跡方程則需要挖掘已知條件，將動(dòng)點(diǎn)滿足的規(guī)律（一般是等量關(guān)系）找出來，并將規(guī)律用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示成等式再化簡(jiǎn)整理即可。

橢圓解答題中出現(xiàn)頻率最高的是求橢圓方程，而且常常放在大題第一小題，常常根據(jù)曲線具有性質(zhì)來求解曲線方程，或者是根據(jù)已知條件找出平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律或滿足的條件求軌跡方程。求軌跡方程主要還有以下幾種題目類型：兩曲線交點(diǎn)、弦中點(diǎn)、焦點(diǎn)弦、切線等為條件求軌跡方程。

例2 （2017·山東卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，焦距為2。

（1）求橢圓E的方程。

例3 （2015·廣東卷）已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求圓C1的圓心坐標(biāo)；（2）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程。

例4 （2017·新課標(biāo)Ⅱ卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：x22+y2=1上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足NP=2NM，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程。

三、 有關(guān)定值與定點(diǎn)問題

定值與定點(diǎn)問題主要是從橢圓的一些性質(zhì)得出的，常涉及直線與橢圓、兩直線、點(diǎn)與橢圓的位置等關(guān)系。根據(jù)社會(huì)對(duì)人才的需要，高考越來越重視考查考生的綜合能力，而橢圓的定點(diǎn)、定值問題能有效地考查考生的綜合能力，因?yàn)檫@類試題解法多樣、注重整體的解題思路、需要良好的解決問題的心態(tài)等特點(diǎn)。結(jié)合近幾年高考試題，定點(diǎn)或定值問題常以以下四種形式呈現(xiàn)：有關(guān)角或直線的斜率是定值、多個(gè)量的運(yùn)算結(jié)果是定值、曲線過定點(diǎn)或點(diǎn)在曲線上、直線過某定點(diǎn)或點(diǎn)在某定直線上。

例5 （2017·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點(diǎn)在橢圓C上。

（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn)。

在歷年各地的高考數(shù)學(xué)試卷中，橢圓題目分值一直保持穩(wěn)定，題型多樣，方法靈活，綜合性強(qiáng)，一般作為把關(guān)題或壓軸題。第一小題常?？疾闄E圓的基本性質(zhì)或求方程，屬于容易題，而第二小題則時(shí)?？疾樽钪祷蚨c(diǎn)定值問題，一般與函數(shù)、不等式、向量、三角函數(shù)等相結(jié)合，呈現(xiàn)出考查方法靈活多樣，運(yùn)算量大，靈活考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法綜合解決問題的能力，所以常為命題者所青睞，故而在平時(shí)的教學(xué)和訓(xùn)練中多多體會(huì)橢圓題中的數(shù)形結(jié)合，以代數(shù)方法來解決幾何問題，通過解橢圓題來提升自身的運(yùn)算能力和規(guī)范的解題習(xí)慣。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

王文忠，江蘇省泰州市，泰州市第三高級(jí)中學(xué)。endprint