一類變分問題在中學(xué)物理課外教學(xué)中的嘗試

蔡子星

(北京質(zhì)心教育科技有限公司，北京 100088)

變分法為理論力學(xué)中的歐拉-拉格朗日方程提供了基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)形式，是現(xiàn)代物理學(xué)的常用的數(shù)學(xué)工具。其理論本身因應(yīng)用廣泛、形式簡約，被作為本科生必修內(nèi)容。由于理解變分法本身并不涉及復(fù)雜的微積分運算，同時理解變分法對清晰地認知一大類問題的物理圖像很有幫助，因此在中學(xué)生物理競賽大綱添加了微積分的要求以及大學(xué)先修課不斷普及的情況下，將變分內(nèi)容作為對部分有特長的學(xué)有余力的中學(xué)生的補充課外教學(xué)材料引入教學(xué)實踐，成了一種可能的嘗試。

拋開變分問題嚴(yán)格的定義不談，狹義的變分問題可以這樣形象的理解(嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義可以參考文獻[1])。令

其中，y(x)是定義在[x1,x2]上的可導(dǎo)函數(shù)；I(y)是從滿足定義的函數(shù)y(x)到實數(shù)域上的映射。當(dāng)y取到y(tǒng)(x)和其靠近的函數(shù)y(x)+δy(x)的時候，I的值變化δI相比δy是一個“高階小量”，我們就記δI=0，表明y(x)是I的一個極值點。

一類物理問題都可以用變分進行表述，比如連續(xù)體靜力平衡時勢能取極值，邊界固定的肥皂泡會形成面積最小形態(tài)，幾何光學(xué)中光走光程極值路徑，在固定的勢場下一個經(jīng)典粒子的真實路徑會使得作用量取極值。本文就針對這個例子進行討論，并給出解答和指出這幾個模型中一些細節(jié)上的差異。在教學(xué)實踐中，針對這幾個問題，從建立模型，尋找對稱性，尋找約束條件，類似遷移等幾個方向啟發(fā)學(xué)生思維。

1 建立模型和解答

問題一將一根長度為L，單位長度質(zhì)量為λ的柔軟的不可伸長的鏈條，在勻強重力場g中，兩個端點分別掛在坐標(biāo)為(x1,y1)和(x2,y2)的點上，求平衡時繩子的形態(tài)y(x)。

(1)

滿足δI=0，y(x1)=y1;y(x2)=y2。這個問題被稱為懸鏈線問題。在許多理論力學(xué)書上都有討論[2]。

問題二在空間中有兩個圓環(huán)，都平行于y-z平面，圓心的x坐標(biāo)分別為x1，x2，半徑分別為y1，y2。在兩個圓環(huán)之間有一層肥皂膜，在兩個圓環(huán)處開口，內(nèi)外聯(lián)通。求平衡時肥皂膜的形狀。

這4個問題的都可以歸結(jié)為解式(1)。代入歐拉-拉格朗日方程

得到

這個微分方程可以直接求解，得到

(2)

其中A,b是由初始條件確定的兩個待定常數(shù)。然而實際上不同中學(xué)生對微分方程的掌握程度有所不同，通過問題四的求解可以降低對微分方程要求。對于問題四，x方向動量守恒，在y方向受力為

α2y

由牛頓第二定律

α2y

這個方程的解是熟知的，為

y(t)=Aev0α t+Be-v0α t

在x方向上x(t)=vx0t，消去時間后得到軌道方程為

通過初始條件

vx0=v0αy1cosα

其中α是初態(tài)粒子運動方向和x軸夾角，以及y′(x1)=tanα，可以將軌道方程化成式(2)的形式。這樣問題一到問題四都可以通過簡單的運算得到。

2 對稱性的應(yīng)用

問題四之所以比較簡單，原因在于使用了體系在x方向上的平移不變性，即x方向動量守恒。這個對稱性在式(1)中的表現(xiàn)在于F(x,y,y′)不顯含F(xiàn)(x)，這樣代入哈密頓方程有

(3)

(4)

F(s)-F(0)=λgds(y(0)-y(s))

(5)

對從0到s這一段繩子水平方向受力平衡得到

F(s)cosα=F(0)

(6)

對于問題二可以對從x1到x之間的那一段液體沿x方向的受力平衡得到

2×2πycosα=C

對于問題三就更加顯然，連續(xù)利用折射定律得到

n(y)cosα=C

即與式(3)等效。從這些例子我們可以看出，這些對稱性歸根結(jié)底來源于平移不變性，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的對稱性也是重要的教學(xué)目的之一。

3 問題的推廣和約束條件的影響

如果仔細考慮這4個問題，可以發(fā)現(xiàn)問題一實際上和其他3個問題不同，因為在第一個問題中有約束條件繩長不變

和原來的方程相比只需要讓y變成y+λ就得到解，也就是只是在y方向平移，對求解過程沒有太大影響。

θ

對應(yīng)的哈密頓方程為

整理得到

于是軌跡方程為ρ=Ae±κ θ，其中A,κ是由初始條件確定的常數(shù)。然而這個解對問題一是無效的。例如拉格朗日乘子法得到

整理得到

解得

作為對學(xué)生的訓(xùn)練，一方面可以啟發(fā)學(xué)生從平移不變性推廣到旋轉(zhuǎn)不變性，對問題一使用虛功原理和力矩平衡得到方程，對問題三利用正弦定理和折射定律得到方程，對問題四用角動量守恒加比奈方程得到方程。另一方面可以啟發(fā)學(xué)生看到約束條件對結(jié)果的影響。

4 結(jié)語

上面我們研究了力學(xué)、光學(xué)中的4個有趣的問題。這些貌似無關(guān)的問題，經(jīng)由變分原理可以統(tǒng)一起來。我們從問題的建模，對稱性分析和約束條件的引入3個層面展示了變分原理在這些問題中的應(yīng)用。內(nèi)容上我們還設(shè)置了啟發(fā)引導(dǎo)的環(huán)節(jié)，這樣可以更好的提高學(xué)生的分析和思維能力。相信將這一物理學(xué)中的簡單而深刻的原理通過有趣的實例介紹給中學(xué)生，可以讓學(xué)生更早的接觸一些物理思維方面的高級內(nèi)容，同時這一原理的美妙和威力也會給學(xué)生留下深刻印象，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和鉆研精神。

[1] 老大中.變分法基礎(chǔ)[M]. 3版.北京：國防工業(yè)出版社，2015.

[2] 金尚年，馬永利.理論力學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社，2002.

[3] 玻恩M，沃耳夫E.光學(xué)原理[M].7版.楊葭蓀,等,譯.北京：電子工業(yè)出版社，2009.