矩形截面有限長(zhǎng)螺線管磁場(chǎng)的計(jì)算

梁麥林 薛 凱

(天津大學(xué)理學(xué)院物理系，天津 300354)

在教科書和文獻(xiàn)中[1-8]，對(duì)螺線管的磁場(chǎng)有較多的討論。對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)的密繞直螺線管，在忽略螺距影響的情況下，管內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的而管外的磁場(chǎng)為零[1-3]。但是，對(duì)于有限長(zhǎng)的螺線管，結(jié)論沒有無(wú)限長(zhǎng)螺線管那么簡(jiǎn)單[4-8]。當(dāng)截面是圓形時(shí)，可以得到軸線上的精確磁場(chǎng)[2]。有限長(zhǎng)的螺線管對(duì)稱性不高，不能用安培環(huán)路定律計(jì)算，需要利用畢奧-薩伐爾定律，借助疊加原理進(jìn)行計(jì)算，過(guò)程往往比較復(fù)雜。文獻(xiàn)[4]中對(duì)于有限長(zhǎng)螺線管的磁場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值分析，不過(guò)沒有給出一個(gè)明確的解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[5]討論了螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的求解方法，但沒有涉及螺線管外部的磁場(chǎng)性質(zhì)。在文獻(xiàn)[6]中，給出了磁場(chǎng)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，也許由于求和太過(guò)復(fù)雜，最后并沒有一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的解析表達(dá)式。在文獻(xiàn)[7]中，給出了磁場(chǎng)的積分表達(dá)式, 然后進(jìn)行了數(shù)值分析。而在文獻(xiàn)[8]中，借助矢勢(shì)，先給出了磁場(chǎng)表達(dá)式的一個(gè)積分形式，然后進(jìn)一步得到了磁場(chǎng)分布的級(jí)數(shù)表達(dá)式，最后討論了某些特殊位置的磁場(chǎng)，包括中軸線上、管壁兩側(cè)靠近管壁處、遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)等。縱觀這些研究，能夠給出普通解析函數(shù)形式的依然是中心對(duì)稱軸線上的磁場(chǎng)，其他位置的磁場(chǎng)都是積分形式或者級(jí)數(shù)形式。根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，如果螺線管的截面是圓形的，當(dāng)知道非對(duì)稱軸上一點(diǎn)的磁場(chǎng)時(shí)，其他位置的磁場(chǎng)也就應(yīng)該知道了，這可能也是為什么圓形截面螺線管非對(duì)稱軸上的磁場(chǎng)難以有一個(gè)簡(jiǎn)單解析表達(dá)式的原因。

對(duì)于非中心對(duì)稱軸上的磁場(chǎng)，如果能夠?qū)懗珊?jiǎn)單解析函數(shù)的形式，這樣的結(jié)果還是很有意義的。一方面可以比較容易地分析和理解磁場(chǎng)的性質(zhì)，另一方面也可以作為研究復(fù)雜問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。既然圓形截面時(shí)難以做到這一點(diǎn)，那么這里研究一種矩形截面的有限長(zhǎng)螺線管，看看離開非中心對(duì)稱軸上某些位置的磁場(chǎng)能不能寫成簡(jiǎn)單解析函數(shù)的形式。當(dāng)然要將所有地方的磁場(chǎng)都寫成簡(jiǎn)單的解析函數(shù)形式是不現(xiàn)實(shí)的。經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，矩形截面有限長(zhǎng)螺線管對(duì)稱面上的磁場(chǎng)，確實(shí)可以用普通函數(shù)表示成解析形式，而不用寫成積分形式或者級(jí)數(shù)形式。這里的普通函數(shù)解析表達(dá)式包括非中心對(duì)稱軸上的磁場(chǎng)。

計(jì)算有限長(zhǎng)螺線管磁場(chǎng)的方法如下：將螺線管的表面?zhèn)鲗?dǎo)電流看成是某種介質(zhì)的表面磁化電流，如果介質(zhì)的磁化電流與螺線管的表面?zhèn)鲗?dǎo)電流相等，那么介質(zhì)磁化電流的磁場(chǎng)就與螺線管的磁場(chǎng)相同。而對(duì)于介質(zhì)的磁化電流，磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)路積分是零，可以引入磁荷，這樣就可以采取類似于處理靜電場(chǎng)的方式處理靜磁場(chǎng)(參看文獻(xiàn)[2]中的389-401頁(yè))。接下來(lái)首先對(duì)磁荷方法計(jì)算磁場(chǎng)進(jìn)行描述，然后具體計(jì)算有限長(zhǎng)矩形截面螺線管的磁場(chǎng)，最后是總結(jié)。

1 用磁荷方法計(jì)算恒定電流的磁場(chǎng)

把傳導(dǎo)電流看成是某種磁介質(zhì)的磁化電流，就可以用磁荷方法計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度H。另一方面，讓磁化電流等于相應(yīng)的傳導(dǎo)電流，進(jìn)而可以確定磁化強(qiáng)度M，最后得到磁感應(yīng)強(qiáng)度

B=μ0(H+M)

(1)

對(duì)于一個(gè)密繞螺線管，單位長(zhǎng)度的匝數(shù)設(shè)為n，導(dǎo)線中的電流設(shè)為IC, 單位長(zhǎng)度的面電流密度就是αC=nIC。考慮一個(gè)磁介質(zhì)，其形狀尺寸等與螺線管一樣，磁介質(zhì)內(nèi)部沒有磁化電流，磁化面電流密度就是αM=αC=nIC。這樣磁介質(zhì)的磁場(chǎng)就會(huì)與螺線管的磁場(chǎng)完全相同。

為了給出螺線管的磁場(chǎng)，我們假設(shè)磁介質(zhì)是柱體，其軸線是z坐標(biāo)軸，介質(zhì)的磁化強(qiáng)度如下

(2)

式中，ez是軸線方向的單位矢量；Mi是介質(zhì)內(nèi)部的磁化強(qiáng)度；Me是介質(zhì)外部的磁化強(qiáng)度。對(duì)于磁介質(zhì)，這里沒有傳導(dǎo)電流，磁場(chǎng)強(qiáng)度H滿足

(3)

式中

μ0M)·dS

(4)

就是磁荷。從式 (2)以及式(4)的定義我們知道，介質(zhì)的內(nèi)部沒有磁荷，磁荷只分布在介質(zhì)的兩端。介質(zhì)兩端的磁荷面密度是

±σm=±μ0M=±μ0nIC

(5)

磁荷分布在介質(zhì)兩端的平行面上，這些磁荷決定了磁場(chǎng)強(qiáng)度H。螺線管的磁場(chǎng)強(qiáng)度類似于一個(gè)極化柱形電介質(zhì)的電場(chǎng)。如果沒有自由電荷，電場(chǎng)強(qiáng)度滿足以下方程

(6)

式中

·dS

(7)

真空磁導(dǎo)率和磁荷(μ0,qm)與真空介電常量和束縛電荷(ε0,qp)互換, 磁場(chǎng)強(qiáng)度H就會(huì)與電場(chǎng)強(qiáng)度互換。因此，螺線管中磁場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算相當(dāng)于平行板電容器電場(chǎng)的計(jì)算。將式(2)代入式(1), 磁感應(yīng)強(qiáng)度變成

(8)

螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)有兩部份，一部分是一個(gè)常數(shù)，另一部分是與磁場(chǎng)強(qiáng)度H有關(guān)的項(xiàng)，是由磁荷引起的磁場(chǎng)。螺線管外部的磁場(chǎng)完全由磁荷產(chǎn)生，體現(xiàn)在磁場(chǎng)強(qiáng)度H上。換句話說(shuō)，磁荷產(chǎn)生螺線管外部的磁場(chǎng)和螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的非均勻部分。

2 矩形截面螺線管的磁場(chǎng)

圖1 螺線管的矩形截面

(9)

做如下的變量代換

φ

(12)

z分量的磁場(chǎng)強(qiáng)度式(10)變成

(13)

進(jìn)一步利用積分公式

(atanhφ)+C

(14)

這里a是一個(gè)常數(shù)，C是積分常數(shù)，我們最后得到z分量的磁場(chǎng)強(qiáng)度

(15)

我們來(lái)分析一下這個(gè)結(jié)果: (1)靠近端點(diǎn)處，即-a

圖2 函數(shù)U(z)的曲線，其中的參量是a=1.0，b=2.0 (a) x0=a/8； (b) x0=-a/2,-a/8,-a/32分別對(duì)應(yīng)實(shí)線、短劃線、長(zhǎng)劃線

從式(15)可以看出，因子U(z)的性質(zhì)代表了磁場(chǎng)強(qiáng)度的性質(zhì)。函數(shù)U(z)曲線如圖2所示。圖2(a)中,x0=a/8, 磁場(chǎng)強(qiáng)度先增加后減小。圖2(b)中,x0=-a/2,-a/8,-a/32分別對(duì)應(yīng)實(shí)線、短劃線、長(zhǎng)劃線。參數(shù)x0=-a/2對(duì)應(yīng)矩形截面的對(duì)稱軸。圖2(b) 表明，離開對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，磁場(chǎng)強(qiáng)度越小。

磁場(chǎng)強(qiáng)度的x分量是

(16)

在垂直于矩形截面的對(duì)稱軸上，或者當(dāng)x0=-a/2時(shí), 磁場(chǎng)強(qiáng)度的x分量等于零即Hx=0。在極限z→∞的情況下,Hx∝1/z3，這要比磁場(chǎng)強(qiáng)度的z分量減小得快，從而在無(wú)限遠(yuǎn)處磁場(chǎng)強(qiáng)度只剩下z分量。參量x0和坐標(biāo)z變化給出矩形截面對(duì)稱面z-x上的磁場(chǎng)強(qiáng)度。

磁場(chǎng)強(qiáng)度式(15)、式(16)是在z=0處的帶電矩形面的磁場(chǎng)強(qiáng)度。將z換成z±L/2會(huì)給出 矩形面在z=?L/2處的磁場(chǎng)強(qiáng)度?？紤]這樣一種情況：在z=-L/2處有一個(gè)帶正磁荷的矩形面，而在z=L/2處有一個(gè)帶負(fù)磁荷的矩形面, 則該系統(tǒng)的總磁場(chǎng)強(qiáng)度分量是

對(duì)于放置在z=-L/2與z=L/2之間的有限長(zhǎng)螺線管, 根據(jù)式(8)，螺線管外的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量將是Bz=μ0Hz和Bx=μ0Hx，螺線管內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度的非均勻分布部分也是同樣的表達(dá)式。從前邊對(duì)于式(15)和(16)的討論，我們知道，當(dāng)自變量z→∞，因子U(z)和W(z)都會(huì)趨于零。因此，當(dāng)L→∞時(shí)，式(17)、式(18)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度都會(huì)趨于零，也就是說(shuō)螺線管外部的磁場(chǎng)和內(nèi)部磁場(chǎng)的非均勻部分都會(huì)趨于零，這正是預(yù)期的結(jié)果。這里用普通的解析函數(shù)表達(dá)式得到了這樣的結(jié)果。

圖3中畫出了磁場(chǎng)強(qiáng)度中的因子U(z+L/2)-U(z-L/2)≡G(z)隨著坐標(biāo)z變化的情況。螺線管處在z=-2到z=2之間。圖3(a)表示的是螺線管外部的一條線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度，而圖3(b) 給出的是穿過(guò)螺線管內(nèi)部的一條線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度。在z=±2即螺線管的兩端, 磁場(chǎng)強(qiáng)度改變方向。在z=0處即螺線管的中間部分，磁場(chǎng)強(qiáng)度要小于兩端的大小。如果螺線管的長(zhǎng)度是無(wú)限長(zhǎng)，那么兩端的磁荷在有限遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度就是零，就像式(15,16)處分析的那樣，磁場(chǎng)就變成無(wú)限長(zhǎng)螺線管的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度在外部是零，內(nèi)部是均勻的。

圖3 磁場(chǎng)強(qiáng)度中的因子G(z)隨著坐標(biāo)z的變化情況相應(yīng)的參數(shù)是a=1.5，b=1.0和(a)x0=a/8；(b)x0=-a/8。有限長(zhǎng)螺線管處在z=-2到z=2之間，在z=±2即螺線管的兩端, 磁場(chǎng)強(qiáng)度改變方向

3 結(jié)語(yǔ)

計(jì)算了矩形截面有限長(zhǎng)螺線管在對(duì)稱面上的磁場(chǎng)，直接計(jì)算給出了簡(jiǎn)單的解析表達(dá)式，并對(duì)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了分析。將螺線管的磁場(chǎng)看成是具有同樣幾何形狀的磁化介質(zhì)的磁場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)有限長(zhǎng)螺線管的磁場(chǎng)可以分為兩部分的疊加， 一部分是常數(shù)部分，這部分只在螺線管的內(nèi)部，另一部分是非均勻部分。隨著螺線管的變長(zhǎng)，非均勻部分不斷減小，最終消失，只剩下螺線管內(nèi)部的常數(shù)部分。由于矩形螺線管的磁場(chǎng)可以解析計(jì)算，將幾個(gè)矩形螺線管疊加即可得到很多不很規(guī)則截面的螺線管，它們的磁場(chǎng)因而也是可以解析表達(dá)的。

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