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    巧妙利用隱含條件解題例析

    2018-01-18 10:08:40賴健祥
    關(guān)鍵詞:隱含條件解題初中數(shù)學(xué)

    賴健祥

    [摘 要]巧妙利用隱含條件解題,不僅能提高解題效率,而且能提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

    [關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);隱含條件;解題

    [中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058(2018)32-0020-02

    不少初中數(shù)學(xué)題題設(shè)條件都隱含在題目中.如果學(xué)生不注重分析,就無(wú)法找到求解問(wèn)題的關(guān)鍵.要實(shí)現(xiàn)對(duì)隱含條件的巧妙應(yīng)用,學(xué)生除了應(yīng)具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)功底,熟練掌握有關(guān)的概念、公式和性質(zhì)外,還要具備一定的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維,能夠靈活運(yùn)用各種圖形工具和分析方法.

    一、概念、公式中隱含條件的分析與應(yīng)用

    多數(shù)初中數(shù)學(xué)題目都含有或多或少的概念、公式類隱含條件,學(xué)生只有掌握對(duì)應(yīng)部分的知識(shí)內(nèi)容,才能找到正確的解題方法.

    [例1]分式(x2-4)/(x2+x-2)=0,求解x.

    這道題目中隱含條件是分母不為零.如果學(xué)生忽視這一條件,直接令x2-4=0,則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果[x=±2].正確的解法應(yīng)在x2-4=0且x2+x-2≠0的條件下,求解x的值.因此最終結(jié)果為單一解x=2.

    [例2]已知點(diǎn)M(x,y)滿足坐標(biāo)方程log1+xy+log1-xy=log1+xy-log1-xy,求解點(diǎn)M的軌跡方程.

    首先給出一個(gè)錯(cuò)誤解法:根據(jù)坐標(biāo)方程得到logy(1-x)+logy(1+x)=1,得到y(tǒng)=-x2+1.由此得出點(diǎn)M軌跡方程是以(0,1)為頂點(diǎn),以y軸為對(duì)稱軸且開(kāi)口方向向下的拋物線.得出這一錯(cuò)解的原因就是學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)定義的隱含條件,即(1)y>0;(2)1+x>0且1+x≠0;(3)1-x>0且1-x≠0.于是在解題過(guò)程中忽略了一個(gè)正確的解y=1.因此,正確的解題過(guò)程應(yīng)在得出y=-x2+1后,繼續(xù)分析其符合題意的部分,確定其軌跡為y=-x2+1和y=1,且x∈(-1,0)∪(0,1).

    從上述兩道例題中可以看出,概念公式隱含條件普遍存在,且容易被忽略,需要學(xué)生在解題過(guò)程中有更多的耐心和細(xì)心,根據(jù)題目已知條件完成計(jì)算后,再用隱含條件進(jìn)行檢驗(yàn),剔除不符合條件的解.

    二、性質(zhì)、定理隱含條件的分析與應(yīng)用

    在初中數(shù)學(xué)中,許多性質(zhì)定理和判定定理也經(jīng)常被作為隱含條件出現(xiàn)在題目中,由于一些性質(zhì)、定理較為相似,僅在個(gè)別使用條件下存在差異,學(xué)生即使意識(shí)到隱含條件的存在,也容易因相關(guān)性質(zhì)、定理不夠熟悉,而得出錯(cuò)誤的解.

    [例3]過(guò)點(diǎn)A(2,0)的直線與曲線y=x2相交于兩點(diǎn)P和Q,求解PQ中心點(diǎn)M的軌跡方程.

    在求解此類問(wèn)題時(shí),學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為過(guò)點(diǎn)A的直線斜率k一定存在,將其設(shè)為y=k(x-2),代入后得到x2+kx+2k=0.然后設(shè)點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)分為別(x1,y1)和(x2,y2),PQ中心點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),并有x=(x1+x2)/2=k/2,由此得出k=2x.由于點(diǎn)M在直線y=k(x-2)上,于是得出y=2x2-4x即為點(diǎn)M的軌跡方程.在此過(guò)程中忽略了一個(gè)重要的判定定理,即直線與曲線存在兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí),[Δ]=k2-8k>0.根據(jù)這一判定定理可得出k<0或k>8.在根據(jù)上述求解得到的k=2x,可以得出x<0或x>4.因此,正確的解是y=2x2-4x,x∈(-∞,0)∪(4,+∞).

    由此可以看出,在解題過(guò)程中,學(xué)生如果忽略了性質(zhì)、定理,會(huì)導(dǎo)致求解過(guò)程中的條件判斷失誤,進(jìn)而導(dǎo)致最終求解結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此,在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生應(yīng)將各類性質(zhì)和判定定理了然于心,根據(jù)題目條件進(jìn)行靈活運(yùn)用.

    三、題設(shè)制約隱含條件的分析與應(yīng)用

    題設(shè)制約隱含條件是指在題目所給條件中,如果A條件成立,則B條件也必須成立;或A條件成立則B條件必須不成立的情況.其中A條件為題目已知條件,而B(niǎo)條件則為需要學(xué)生自己分析出來(lái)的隱含條件.如果學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)隱含的B條件,則會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)多解或漏解的情況.

    [例4]已知sinα=[5]/5,sinβ=[10]/10,且α和β均為銳角,求解α+β.

    在這道題目中,部分學(xué)生的錯(cuò)誤解法如下:根據(jù)題目已知條件sinα=[5]/5和α為銳角,得出cosα=[1-sin2α]=2[5]/5.再根據(jù)題目已知條件sin β=[10]/10和β為銳角,得出cos β=[1-sin2β]=3[10]/10.由此得出sin(α+β)=([5]/5)·(3[10]/10)+(2[5]/5)·([10]/10)=[2]/2.由于α和β均為銳角,因此0<α+β<π,最終得到α+β=π/4或α+β=3π/4.

    在上述解法中,sinα=[5]/5<[2]/2,而且α是銳角,因此,0<α<π/4.同理,sinβ=[10]/10<[2]/2,而且β是銳角,因此,0<β<π/4,所以實(shí)際上α+β的取值范圍是0<α+β<π/2,這就是被學(xué)生忽略的“B條件”.這道題最終的結(jié)果只有一個(gè),即α+β=π/4.

    四、幾何圖形隱含條件的分析與應(yīng)用

    幾何圖形隱含條件也是一種常見(jiàn)形式.初中數(shù)學(xué)題目的抽象程度較高,需要學(xué)生掌握?qǐng)D形分析方法.許多隱含在幾何圖形中的隱含條件,學(xué)生只依靠題目分析難以發(fā)現(xiàn),需要畫(huà)出具體圖形,通過(guò)作輔助線等方式才能找到.

    [例5]等腰三角形ABC周長(zhǎng)為8 cm,腰長(zhǎng)為x cm,底邊為y cm,試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,確定其函數(shù)圖像.

    在求解這道題目時(shí),根據(jù)題目已知條件,學(xué)生可以較為容易地列出關(guān)系式2x+y=8,進(jìn)而通過(guò)變化得出y=-2x+8.由此得出的函數(shù)是斜率為-2,與y軸相交于8的直線AB.但實(shí)際上還要考慮兩個(gè)重要的性質(zhì)定理,即三角形任意鄰邊之和大于第三邊,且三角形邊長(zhǎng)為正值.因此,x的取值范圍為2

    利用幾何圖形特征進(jìn)行求解是初中數(shù)學(xué)的一種重要解題方法,此法不僅可以降低題目求解難度,還可以引起學(xué)生對(duì)隱含條件的注意,從而通過(guò)對(duì)比幾何圖形進(jìn)行檢驗(yàn)和檢算,發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤問(wèn)題,得出正確解法.

    通過(guò)對(duì)上述幾種題目隱含條件分析和應(yīng)用方法的研究,我們可以看出,隱含條件在初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中普遍存在,而且很容易導(dǎo)致學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)問(wèn)題.對(duì)題目的隱含條件進(jìn)行靈活運(yùn)用,則可以快速求解出正確答案.因此,在平時(shí)的學(xué)習(xí)和練習(xí)過(guò)程中,學(xué)生必須加強(qiáng)對(duì)不同隱含條件出現(xiàn)形式的重視,在扎實(shí)掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的前提下,采用正確的分析方法進(jìn)行求解.

    通過(guò)對(duì)隱含條件具體出現(xiàn)形式、常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法以及正確的分析和應(yīng)用方法進(jìn)行介紹,可以幫助學(xué)生更好地掌握隱含條件的利用方法,從而提高解題效率和準(zhǔn)確率.

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 任捷.試論初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的應(yīng)用[J].學(xué)周刊,2017(14):190-191.

    [2] 范玉蓮.數(shù)學(xué)題中隱含條件的挖掘和應(yīng)用[J].晉中師范高等??茖W(xué)校學(xué)報(bào),2003(3):86-87.

    [3] 包素華.數(shù)學(xué)分析解題中隱含條件的應(yīng)用[J].衡水師專學(xué)報(bào),1999(4):74-77.

    (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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