模擬移動(dòng)床色譜模型的顯式差分法求解

李守江，魏伯峰，叢景香，王紹艷

（遼寧科技大學(xué) 化學(xué)工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

模擬移動(dòng)床（Simulated moving bed，SMB）色譜是由色譜柱串聯(lián)起來的分離系統(tǒng)，它結(jié)合了模擬移動(dòng)床技術(shù)和色譜分離技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，具有分離能力強(qiáng)、分離效率高、易連續(xù)化生產(chǎn)的特點(diǎn)，是食品、生物和化工領(lǐng)域的重要分離工具［1-5］。模擬移動(dòng)床是連續(xù)運(yùn)行的分離裝置，實(shí)際分離過程中不合理操作參數(shù)的影響都會(huì)在連續(xù)運(yùn)行中放大并使分離效果變差，為了達(dá)到更好的分離效果，SMB系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化以及過程的調(diào)節(jié)一般都需要模型指導(dǎo)。由于SMB色譜分離模型本身的復(fù)雜性，很難解析求解，常通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)算法對其數(shù)值求解。吳獻(xiàn)東等［6］、Zúniga等［7］通過求解真實(shí)移動(dòng)床（TMB）獲得模擬移動(dòng)床（SMB）的數(shù)值解，危鳳等［8］采用線上求解法，將色譜分離模型沿空間方向離散轉(zhuǎn)換成為常微分方程組進(jìn)行求解。Chen等［9］、Jiao等［10］采用有限元法求解色譜模型。姚傳義等［11］采用時(shí)空守恒元解元方法對色譜分離模型離散求解。Zhang等［12］采用有限體積法求解色譜模型。葉忠建等［13］采用隱式有限差分法對線性SMB色譜模型進(jìn)行了求解，并進(jìn)行了仿真計(jì)算。另外，一些專業(yè)仿真模擬軟件如 gPROMS［14］、Aspen Chromatography［15］等也可用于對模型求解。

本文旨在采用顯式有限差分法對線性和非線性SMB色譜模型求解，并建立相關(guān)的迭代求解差分方程。在VB軟件上編程計(jì)算，可獲得SMB色譜模型的洗脫曲線。以SMB拆分奧美拉唑?qū)τ丑w的實(shí)驗(yàn)為例對SMB模型求解結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。另外，介紹了通過優(yōu)化柱子在各區(qū)帶分布提高產(chǎn)品分離純度的方法。

1 模擬移動(dòng)床色譜分離原理及模型

1.1 SMB結(jié)構(gòu)與分離原理

SMB是多個(gè)色譜柱的串聯(lián)系統(tǒng)，具有多進(jìn)、多出的特點(diǎn)，通過周期性的開、關(guān)相應(yīng)的進(jìn)出口閥門來改變進(jìn)、出口的位置，從而實(shí)現(xiàn)固定相與流動(dòng)相的相對運(yùn)行，達(dá)到分離的目的。如圖1所示。由于進(jìn)口與出口兩側(cè)柱中流速不同，若將流速相同的區(qū)域看成一個(gè)帶。則SMB體系可劃分如下：

I帶：洗脫帶，將慢組分解吸。

II帶：精餾帶，在未進(jìn)樣的條件下，用流動(dòng)相沖洗，使快、慢組分進(jìn)一步分離。

III帶：吸附帶，將從進(jìn)樣口中進(jìn)來的原料吸附，使慢組分不致流出。

IV帶：二精帶，吸附快組分，回收流動(dòng)相。

圖1 SMB示意圖Fig.1 SMB diagram

若SMB中固定相的運(yùn)動(dòng)速度為us，流動(dòng)相流動(dòng)速度為v，則組分i隨流動(dòng)相運(yùn)動(dòng)的通量密度為Civ，其隨固定相運(yùn)動(dòng)的通量密度為Fusqi，如使不同組分能夠分離，則快組分FusqB＜CBv，慢組分Fuq＞Cv，即。 v，u均與SMBsAAs進(jìn)、出口閥門周期性切換的時(shí)間長短有關(guān)，其中v=u-us，u

1.2 SMB分離模型

SMB分離模型包含兩部分，一部分是單柱模型，它是待分離組分在單個(gè)色譜柱內(nèi)的分離情況；另一部分是節(jié)點(diǎn)模型，它反映了SMB各個(gè)區(qū)帶之間的連接關(guān)系。

單柱色譜模型中，平衡擴(kuò)散模型應(yīng)用非常廣泛，其模型如下

其中：i為目標(biāo)組分；k為色譜柱號(hào)；U為線速度；F為相比；D為擴(kuò)散系數(shù)；Ci為組分i在流動(dòng)相中的濃度；q*i為平衡時(shí)組分i在固定相中的濃度；ψ(t)為進(jìn)樣曲線；L為色譜柱長度。

節(jié)點(diǎn)模型為：

2 SMB色譜模型求解

對SMB色譜模型求解可分為直接求解法［13］和間接求解法［16-17］。直接求解法一般采用高精度的差分格式直接對平衡擴(kuò)散速率模型進(jìn)行數(shù)值求解，間接求解法往往通過求解理想色譜模型所帶來的耗散項(xiàng)（誤差項(xiàng)）模擬擴(kuò)散項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)對平衡擴(kuò)散速率模型的求解過程。在非線性體系下，模型易出現(xiàn)間斷解，而高階精度差分格式在間斷點(diǎn)處往往存在著偽震蕩［18］。一階精度的差分格式雖然結(jié)構(gòu)簡單但具有很好的抑制偽震蕩的效果，并且通過間接求解使其誤差項(xiàng)與平衡擴(kuò)散模型中擴(kuò)散項(xiàng)相等的方式可以較大幅度提高計(jì)算結(jié)果的精確性。因此，本文采用間接求解法對SMB色譜模型求解。

其中：τ、h為時(shí)間和空間步長；m表示空間離散點(diǎn)，m=1,2,…,L/h；n為時(shí)間離散點(diǎn)，n=1,2,…。

將式（11）和式（12）代入式（10）中化簡可得

結(jié)合初始、邊界條件和節(jié)點(diǎn)模型，對式（13）進(jìn)行迭代計(jì)算可得SMB色譜模型的洗脫曲線。

3 SMB實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該方法對SMB求解的可靠性，以奧美拉唑?qū)τ丑w的SMB分離進(jìn)行驗(yàn)證。相關(guān)參數(shù)來自文獻(xiàn)［8］，實(shí)驗(yàn)操作參數(shù)見表1，對SMB計(jì)算時(shí)進(jìn)行了100次切換，模擬結(jié)果見表2，其實(shí)驗(yàn)2的累積模擬洗脫曲線如圖2所示。模擬計(jì)算時(shí)純度定義如下：

強(qiáng)組分A在E口純度

弱組分B在R口純度

其中，Ts為切換時(shí)間；Ci為組分i在洗脫曲線上的濃度。

表1SMB操作參數(shù)Tab.1 SMB operating parameters

表2SMB實(shí)驗(yàn)與模擬結(jié)果比較，%Tab.2 Comparison of experimental and simulated results，%

由表2可知，模擬計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了本方法的可靠性。

4 提高分離純度的操作方法

從表2中的分離實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，目標(biāo)組分在E口處的分離純度較差，若提高其分離純度，常用方法有：調(diào)節(jié)操作參數(shù)；優(yōu)化色譜柱在各區(qū)帶的分布方式；采用新型的SMB分離工藝。這里對后兩種方法進(jìn)行簡要討論。

4.1 增加II帶、III帶色譜柱個(gè)數(shù)

在SMB分離過程中，II帶和III帶是SMB分離的主體，通過增加II帶和III帶柱子的個(gè)數(shù)可以提高SMB的分離效果。上述奧美拉唑?qū)τ丑w分離實(shí)驗(yàn)中，其SMB柱分布模式為2-2-2-2。若把I帶的一個(gè)柱子調(diào)整到II帶中，其柱分布變?yōu)?-3-2-2；若再把IV中的一個(gè)柱子調(diào)整到III帶，其柱分布為1-3-3-1。保持其他參數(shù)不變，對調(diào)整后的SMB分離結(jié)果進(jìn)行模擬計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表3。

圖2 E口和R口洗脫曲線Fig.2 Elution curve of Extract and Raffinate

表3 SMB傳統(tǒng)工藝與Varicol工藝模擬結(jié)果，%Tab.3 Calculation results of traditional process and Varicol process，%

由表3可知，通過增加II帶的柱子個(gè)數(shù)，E口純度有所提高；增加III帶柱子個(gè)數(shù)可以使R口純度提高。不過該方法有一定的局限性，若I帶和IV帶無多余的柱子，又因操作壓力等原因不宜再增加柱子時(shí)，該方法則無法使用。此時(shí)，可以通過新型的SMB分離工藝提高分離純度。

4.2 Varicol工藝

Varicol即可變柱數(shù)的SMB，是一種新型的SMB分離技術(shù)，它通過不同步切換改變各帶柱數(shù)提高分離效率。在Varicol工藝中，每個(gè)帶中平均柱數(shù)可以不是整數(shù)，也可以小于1，與傳統(tǒng)工藝相比，Varicol工藝可以更好的優(yōu)化柱數(shù)在各區(qū)帶的分布。

若提高E口產(chǎn)品純度，可以在一個(gè)切換周期的前一半時(shí)間內(nèi)，柱子分布為2-2-2-2，在后一半時(shí)間內(nèi)為2-3-1-2，則在一個(gè)切換周期內(nèi)其各帶平均柱數(shù)為2-2.5-1.5-2。按此分離模式結(jié)合式（13）進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果見表3。

由表3可知，Varicol工藝在總柱數(shù)不變的情況下，可以通過增加II帶的平均柱子數(shù)提高E口的分離純度，此時(shí)由于III帶平均柱數(shù)的減少而導(dǎo)致R口純度有所降低。由表3的后兩列可知，E口的分離純度方面，Varicol工藝中稍好于傳統(tǒng)的SMB分離工藝，但Varicol工藝II帶的平均柱子數(shù)只有2.5根，而傳統(tǒng)的SMB則擁有3根II帶柱子數(shù)。因此Varicol工藝能夠更好地利用固定相進(jìn)行分離，具有更高的分離效率。

5 結(jié)論

（1）采用顯式有限差分法建立了SMB色譜模型迭代求解的差分方程；獲得了SMB色譜模型的洗脫曲線。

（2）對奧美拉唑?qū)τ丑w的SMB分離實(shí)驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了本方法的有效性，可以將其與數(shù)學(xué)優(yōu)化算法結(jié)合對SMB分離操作進(jìn)行仿真優(yōu)化。

（3）通過增加II帶和III帶的色譜柱數(shù)目能夠相應(yīng)的提高E口和R口的分離純度；與傳統(tǒng)SMB相比，Varicol SMB工藝能夠充分利用固定相進(jìn)行分離，具有更好的分離效果。

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