大學生方程式賽車后輪轉向梯形優(yōu)化及仿真

張祥勃，何耀華

（1.武漢理工大學 汽車工程學院，武漢 430070；2.現(xiàn)代汽車零部件技術湖北省重點實驗室，武漢 430070）

大學生方程式汽車大賽（FSAE）由各國的汽車工程師協(xié)會舉辦，參賽成員為本科生和研究生，其中中國大學生電動方程式可以允許博士生參加，但不得超過3人。大賽的理念是讓學生團隊模擬一家制造公司開發(fā)一種小型方程式賽車。開發(fā)的原型賽車是為了評估其產品潛力，包括商業(yè)、成本等商業(yè)潛力和加速性、穩(wěn)定性等性能潛力。

賽車轉向器作為轉向系統(tǒng)的重要組成部分，在行車過程中實現(xiàn)轉向功能[1]，其作為改變汽車行駛方向及保持汽車穩(wěn)定行駛的關鍵零部件，其性能的優(yōu)劣直接關系到人身和比賽成績[2]。賽車動態(tài)比賽中，8字繞環(huán)、高速避障和耐久賽對賽車轉向時的穩(wěn)定性要求較高。與傳統(tǒng)的兩輪轉向賽車相比，四輪轉向賽車在低速時轉向半徑更小，具有更好的靈活性；在高速時回避障礙物的操縱穩(wěn)定性響應更好，具有更好的安全性。同時，在《2016中國大學生方程式汽車大賽規(guī)則》中明確指出允許后輪轉向。在四輪轉向中，常見的轉向動力實現(xiàn)方式有機械式、電子液壓式、電子液壓機械式和電動式。其中，電動助力轉向控制系統(tǒng)（EPAS）是一種新型的汽車助力轉向系統(tǒng)，相對于傳統(tǒng)液壓動力轉向（HPS）系統(tǒng)，它具有節(jié)約燃料、有利于環(huán)保和可控轉向等優(yōu)點。它通過電動機產生助力來幫助駕駛員轉向，一般由機械轉向器和電子控制單元組成。汽車轉向時，扭矩傳感器測得駕駛員的輸入力矩，并根據(jù)車速信號和光電編碼器的轉角信號，由控制算法控制助力電機產生助力力矩來幫助轉向[4]。若將電動式四輪轉向系統(tǒng)和線性比例控制結合，可以實現(xiàn)車輛質心側偏角為零的設計要求，該系統(tǒng)的另一個優(yōu)點是前后轉向系統(tǒng)之間沒有機械及油管連接，布置靈活度較高且系統(tǒng)質量較小[5]。所以本文的四輪轉向實現(xiàn)方式選擇采用線性比例控制的電動助力轉向系統(tǒng)，并對所選的控制策略進行角階躍響應分析。

1 比賽規(guī)則對轉向設計的限制

由于比賽規(guī)則對設計具有指導和限制作用，所以先將部分與轉向有關的規(guī)則事先說明[6]。

（1）方向盤必須與前輪機械連接。前輪禁止使用線控轉向及電控轉向。

（2）允許后輪轉向（可采用電控轉向方式），但后輪的角位移需要被機械限位裝置限制在最大6°范圍內。在技術檢查中，車手必須坐在賽車中演示，并且車隊必須提供設備證明轉向的角度范圍。

（3）轉向齒條必須與車架機械連接。如使用螺栓，必須滿足規(guī)則中的要求。

（4）連接方向盤和轉向齒條的連接件必須通過機械連接，并且在技術檢查中可見。不允許使用沒有機械支撐的粘接方式。

2 總體布置方案

2.1 整車基本參數(shù)

本文設計的搖塊式后輪轉向梯形基于武漢科技大學赤驥車隊2015賽季賽車，優(yōu)化及仿真所需參數(shù)如表1所示。

表1 整車基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the vehicle

2.2 后輪轉向電機選型及主要參數(shù)

由于無刷直流伺服電機具有體積小、重量輕、精度高、響應迅速、力矩穩(wěn)定等特點，所以本設計選用電壓為12 V的無刷直流伺服電機。電機型號為SMJ無刷直流伺服電機SMP6212，自帶行星減速器，減速后的基本參數(shù)如表2所示。

表2 電機基本參數(shù)Tab.2 Motor basic parameters

2.3 后輪轉向器選型

FSAE賽車中一般選用齒輪齒條式轉向機構作為前轉向器。但是由于后輪的轉角比較小，規(guī)則限制在6°范圍內，如果沿用前轉向系統(tǒng)中的齒輪齒條式轉向機構，則齒條行程較小，大概在10～20 mm范圍。同時由于齒輪齒條配合時有一定間隙，這種間隙在更小的齒條行程中被放大。在另一方面為了簡化轉向器結構，又保證在小轉角的范圍內實現(xiàn)阿克曼轉向定律，本設計采用一種簡單的轉向搖塊結構。具體結構設計如圖1所示。

圖1 后輪轉向器裝配圖Fig.1 Rear wheel steering gear assembly diagram

2.4 后轉向梯形的布置

本文參考車型的懸架為獨立懸架，與之相配的轉向梯形是斷開式轉向梯形，其有4種類型，即前方前置（前方指轉向機齒條軸線位于車軸前方，前置是指轉向節(jié)臂位于車軸前方，以此類推）、前方后置、后方前置和后方后置[7]，如圖2所示。為使轉向盡可能輕便，而當轉向梯形趨近于矩形時，其轉向輕便性無疑最優(yōu)。由于FSAE賽車的布置形式基本都為后置后驅，且基本上都為鏈傳動。所以差速器和大鏈輪都布置在汽車的后方，兩者的軸線和后軸近似同軸。這種情況下，為防止轉向電機、轉向橫拉桿和大鏈輪、大鏈輪護板、差速器等干涉，梯形的布置只能為后方后置。如圖2（a）所示，總體布置形式如圖3所示。

圖2 轉向梯形的4種布置形式Fig.2 Four kinds of steering trapezoidal form

圖3 總體布置形式Fig.3 Overall arrangement

3 后輪轉向梯形優(yōu)化

3.1 阿克曼轉向幾何關系

由于四輪轉向時轉向半徑由前后轉角決定，而后輪轉角又由前輪轉角及車速決定。這樣無法單獨求出后輪轉角與轉向中心的相對位置關系。對此引出前后外側車輪的大致轉角關系來解決該問題，后輪理想轉角關系如圖4所示。由比例控制及前輪轉角變化時對應的轉向半徑關系，可求得[8]：

圖4 后輪理想轉角關系Fig.4 Ideal rotation angle of the rear wheel

圖4中交點O稱為轉向中心，由圖分析得：

由上述公式可以得出理想后內外車輪轉向時的角度關系。

以此為基礎進行后輪轉向梯形的優(yōu)化。同時考慮輪胎側偏特性，后輪阿克曼轉向梯形百分比取50%，則目標函數(shù)為

3.2 后輪轉角關系函數(shù)

后輪實際轉角關系如圖5所示。

圖5 后輪實際轉角關系Fig.5 Actual angle of the rear wheel

當后外側車輪轉角為0時，可以得到中性位置的轉向梯形底角為

式中：Lr1是轉向搖塊底邊長度；Lr2是后轉向橫拉桿的長度（在轉向梯形所布置的平面內）；Lr3是后轉向節(jié)臂的長度；yr是轉向搖塊上頂點距后軸的距離；c是轉向搖塊上頂點距轉向搖塊底邊的距離，優(yōu)化中取52 mm；θz是轉向搖塊轉角；αr是后外側車輪轉角；是后外側車輪實際轉角。

3.3 后輪內外側車輪轉向角誤差分析

以上述的數(shù)學模型為基礎，通過Matlab編寫程序的方式實現(xiàn)，圖6為優(yōu)化流程。

圖6 優(yōu)化流程Fig.6 Flow chart of the optimize

3.3.1 確定設計變量和優(yōu)化目標函數(shù)

對于給定的參考車型，其軸距L、輪距B等參數(shù)均為定值，因此在優(yōu)化轉向梯形機構時，需要確定的參數(shù)分別為轉向搖塊底邊長度Lr1、后轉向橫拉桿長度Lr2、后梯形臂長度Lr3和轉向搖塊上頂點距后軸距離yr。

方程式賽車一般均在特定的賽道上行駛，賽車場彎道數(shù)量比較密集，且彎道急，駕駛員需頻繁轉向。統(tǒng)計資料表明，賽車外轉向輪頻繁的在0°～25°之間變換。因此，為使賽車具有良好的轉向性能、駕駛舒適性和較高輪胎壽命等，確定優(yōu)化的目標轉角范圍為0°～25°。通過對不同轉角使用頻率的分析可以得 10°以下的轉角使用較為頻繁，10°～20°的轉角次之，20°以上的轉角使用最少。因此為使得轉向梯形實際內輪轉角盡可能接近理論期望值，取如下加權因子[7]：

構成評價設計好壞的目標函數(shù) f（x）：

式中，x 是設計變量，x=［x1x2x3x4］T=［Lr1Lr2Lr3yr］T。

使用Matlab優(yōu)化工具箱里的Fmincon函數(shù)，進行多元非線性約束最小值尋優(yōu)問題的求解。

3.3.2 約束條件

轉向梯形各桿件的布置應體現(xiàn)以下基本原則：

（1）因梯形臂主要承受的是彎矩作用，因此轉向橫拉桿與梯形臂盡可能成90°的夾角，以保證力傳遞的效果。

（2）轉向橫拉桿與搖塊非底邊之間是力傳遞的關系，因而在傳動過程中，兩桿之間應盡可能保持小的夾角，以維持兩桿間壓力角（傳動角）在規(guī)定的范圍內，在優(yōu)化過程中，將其作為非線性約束，即傳動角不小于40°。

（3）防止轉向梯形在運動過程中和輪輞、懸架以及制動器干涉。

根據(jù)初步設計，取桿件長度（mm）初值分別為Lr1=60，Lr2=535.5，Lr3=70，yr=148。

以下為梯形桿件長度（mm）優(yōu)化變量的變化范圍，即上下限約束：20≤Lr1≤70，500≤Lr2≤560，40≤Lr3≤100，140≤yr≤200。 其中，線性約束為 Lr1+2Lr2≤1250。

在知道目標函數(shù)和后輪轉角關系函數(shù)之后，由傳動角不小于40°的要求得出非線性約束條件。值得注意的是在后輪轉向梯形的優(yōu)化中，后軸距轉向搖塊上頂點距離的下限為140 mm，這是由于防止轉向電機與差速器等的干涉造成的。最終的優(yōu)化結果如表3、圖7和圖8所示。

從圖8可以看出，實際轉角關系和目標函數(shù)基本一致，最大的誤差為0.15°。后輪轉向梯形的誤差比較大，這是由于約束條件中的值的下限較大，并不是轉向搖塊轉向機構本身的缺陷，原因是由于后軸距轉向搖塊上頂點距離的下限為140 mm，不能再小的緣故。如果沒有該限值，則優(yōu)化結果會更好。

表3 優(yōu)化結果Tab.3 Optimization results

圖7 理想與實際后內外輪轉角關系Fig.7 Relationship between the ideal and the actual internal and external wheel angle

圖8 理想與實際后內輪轉角誤差Fig.8 Ideal and actual inner wheel angle error

4 四輪轉向控制策略

4.1 四輪轉向的控制方式

四輪轉向的前后輪控制方式有很多，主要可分為以下7類[9]：

（1）定前后輪轉向比四輪轉向系統(tǒng)；

（2）前后輪轉向比是前輪轉角函數(shù)的四輪轉向系統(tǒng)；

（3）前后輪轉向比是車速函數(shù)的四輪轉向系統(tǒng)；

（4）具有一階滯后的四輪轉向系統(tǒng)；

（5）具有反相特性的四輪轉向系統(tǒng)；

（6）具有最優(yōu)控制特性的四輪轉向系統(tǒng)；

（7）具有自學習、自適應能力的四輪轉向系統(tǒng)。

隨著研究的深入，越來越多的理論被提出。具有代表性的多目標綜合具有較高魯棒性，但要求測量的因素較多，不適合在FSAE賽車中使用。目前研究的比較多的模型跟蹤控制同樣需要同時測量多個狀態(tài)量。雖然提出的算法較多，但沒有公認的最優(yōu)控制，并且對傳感器設備等要求較高[10]。

目前，應用于實車上的方法主要是前后輪比例控制關系的控制方法。考慮到可操作性，本設計基于二自由度汽車模型，選擇前后輪轉角成比例的控制方式進行設計。

4.2 角階躍輸入響應分析

為表征賽車的操縱穩(wěn)定性，引入角階躍響應作為評價指標[11]。根據(jù)理想二自由度汽車四輪轉向模型，可求得汽車橫擺角速度和前輪轉角的傳遞函數(shù)[12]：

根據(jù)此傳遞函數(shù)，求得當前輪角階躍輸入時，汽車橫擺角速度的變化。

本次分析設定階躍信號的起躍時間為0 s，幅值為0.1 rad，取車速40 km/h和80 km/h以觀察同向轉向和逆向轉向的差別。同時引入前輪轉向車輛作為對比。從圖9中可以看到，在低速（后輪與前輪轉角逆向）的情況下，同一速度下的四輪轉向車輛的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益大于前輪轉向車輛。較大的橫擺角速度增益表示轉過相同的彎道時，如果轉向器角傳動比相同，四輪轉向車輛比前輪轉向車輛要轉動更小的方向盤轉角[13]。由于賽道具有較多的小半徑轉向彎道，低速轉向情況較多，所以四輪轉向車輛比前輪轉向車輛少打方向盤，具有更好的操作舒適性。在高速（后輪與前輪轉角同向）的情況下，同一速度下的四輪轉向車輛的橫擺角速度增益小于前輪轉向車輛，并且車速越高，差異越明顯。同理，高速時，在相同的轉向半徑下，四輪轉向要比前輪轉向更多地轉動方向盤，但是一般高速時轉向的轉向盤轉角較小所以影響不大。同時，在同一車速下，四輪轉向車輛和前輪轉向車輛各自到達穩(wěn)態(tài)值的時間大致相同。造成四輪轉向車輛和前輪轉向車輛橫擺角速度增益區(qū)別的主要原因是由于后輪轉向引起轉向半徑的改變，進而影響車輛的橫擺角速度。

圖9 橫擺角速度階躍響應比較Fig.9 Comparison of step response of yaw rate

當前輪角階躍輸入時，汽車質心側偏角與前輪轉角之間的傳遞函數(shù)：

根據(jù)該傳遞函數(shù)求得角階躍輸入下，車輛質心側偏角的變化規(guī)律如圖10所示。從圖中可以看出，四輪轉向車輛的穩(wěn)態(tài)質心側偏角恒為0，車身與行駛軌跡的方向基本一致，所以車輛總是面向其行駛方向，方便駕駛員判斷行駛情況，改善了操縱穩(wěn)定性。前輪轉向車輛在低速時，質心側偏角與轉向方向同向，高速時相反。即低速情況下前輪轉向車輛有一定甩尾的趨勢，高速時有一定側滑的趨勢，均會惡化車輛的操縱穩(wěn)定性。

圖10 質心側偏角階躍響應比較Fig.10 Comparison of step response of centroid deflection

汽車側向加速度與前輪轉角之間的傳遞函數(shù)為

從圖11可以看出，在低速情況下，四輪轉向車輛的側向加速度穩(wěn)態(tài)值大于前輪轉向車輛，高速情況下相反。并且高速情況下四輪轉向車輛與前輪轉向車輛穩(wěn)態(tài)側向加速度之差較大，即速度越高，四輪轉向車輛的操縱穩(wěn)定性優(yōu)勢越明顯。

圖11 側向加速度階躍響應比較Fig.11 Comparison of lateral acceleration step response

5 結語

在四輪轉向提出初期，主要的控制方式為保證車輛的質心側偏角為0[14]，這樣在轉向時車輛會有更好的循跡性，并提高低速轉向時的靈活性和高速轉向時的操縱穩(wěn)定性。本文根據(jù)方程式賽車設計的后轉向梯形經(jīng)過優(yōu)化，用角階躍輸入響應分析，證明了該后輪轉向梯形和前轉向梯形匹配，并提高了賽車的操縱穩(wěn)定性。

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