基于延遲矢量跟蹤環(huán)的變步長LMS空時濾波算法

馮 丁

（太原師范學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，太原 030012）

隨著無線通信的發(fā)展，導(dǎo)航接收機(jī)所面臨的電磁波環(huán)境越來越復(fù)雜。增強(qiáng)導(dǎo)航接收機(jī)的抗干擾能力變得尤為迫切，空時聯(lián)合處理STAP算法作為當(dāng)前導(dǎo)航接收機(jī)最主要的抗干擾方法得到了廣泛關(guān)注[1-4]。STAP算法是在傳統(tǒng)的陣列天線的基礎(chǔ)上，在每個陣元上增加了相同數(shù)目的抽頭延遲，使得該算法在不增加陣元的情況下，同時對多種寬帶和窄帶干擾進(jìn)行抑制[5-6]。文獻(xiàn)[1]提出的STAP算法能夠有效地抑制部分多徑干擾；文獻(xiàn)[2]提出通過利用STAP算法能將各種干擾信號抑制在噪聲水平且不會對衛(wèi)星信號產(chǎn)生失真，但是這些算法都必須預(yù)先知道衛(wèi)星信號的波達(dá)方向；文獻(xiàn)[7-8]則提供了一種基于功率倒置的盲波束構(gòu)成算法，通過最小化輸出信號功率抑制干擾。這類算法雖然不需要預(yù)先估計波達(dá)方向，但在抑制干擾的同時使期望信號嚴(yán)重受損，并且由于需要一個陣元作為參考陣元，導(dǎo)致陣列天線抗干擾數(shù)量減少[9]；文獻(xiàn)[10]則根據(jù)導(dǎo)航信號中（C/A）碼的時域結(jié)構(gòu)提出了輔助波束形成器的方法，并將陣列天線處理后的輸出信號作為參考信號。該方法雖然不需要預(yù)先確定期望信號的來波方向，但是從接收信號中獲得參考信號同樣十分困難；文獻(xiàn)[11]中提出將陣列天線與GPS/SINS組合系統(tǒng)相結(jié)合，利用衛(wèi)星星歷與GPS/SINS組合系統(tǒng)的輸出信息為波束形成來提供先驗信息；文獻(xiàn)[12]則提出將延遲矢量跟蹤環(huán)（VDLL）的輸出信息用作盲波束形成中的參考信號，這2種方法保證即使在強(qiáng)干擾環(huán)境中，導(dǎo)航接收機(jī)仍能穩(wěn)定的工作。

空時聯(lián)合抗干擾處理算法的計算量大，干擾抑制的實時性較差，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種算法來降低計算的維度[13]。文獻(xiàn)[14]提出利用最小方差準(zhǔn)則來實現(xiàn)MSNWF，以使算法具有抗多徑干擾的效果；文獻(xiàn)[15]則提出利用壓縮感知的原理來減少采樣矩陣的維數(shù)，但這些算法往往實現(xiàn)困難。經(jīng)典的最小均方誤差自適應(yīng)算法（LMS）通過迭代的方法實現(xiàn)權(quán)值的求解，避免了矩陣求逆過程，實現(xiàn)簡單、不需要數(shù)據(jù)存儲、計算量小。但是傳統(tǒng)的LMS算法收斂速度較慢，并且不能保證收斂速度和收斂穩(wěn)態(tài)誤差同時達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，為了改善這一缺點，本文中以現(xiàn)有的變步長LMS算法[16-18]為基礎(chǔ)，首次提出根據(jù)誤差信號自相關(guān)值來交替采用2種不同步長迭代公式的方法實現(xiàn)變步長LMS算法，稱之為ILMS算法。ILMS算法相比傳統(tǒng)的變步長算法能夠在不增加算法復(fù)雜度的情況下，實現(xiàn)更快的收斂速度和更低的收斂穩(wěn)態(tài)誤差。

1 傳統(tǒng)的空時濾波處理

設(shè)有M個天線陣元，每個陣元通道后面接有P個抽頭延遲組成的P階FIR濾波器，則空時加權(quán)矩陣W為MP×1維。其中W可以表示為

X為陣列輸出信號可以表示為

空時權(quán)矢量W的最佳解為

式中：Rx和Rxd分別為輸入信號的自相關(guān)，輸入與期望信號的互相關(guān)。則空時二維加權(quán)輸出為

2 基于延遲矢量跟蹤環(huán)的變步長LMS空時濾波算法——VD-ILMS算法

2.1 改進(jìn)的變步長LMS算法——ILMS算法

式（3）是傳統(tǒng)STAP在理想情況下的權(quán)值求解公式，實際中很難實現(xiàn)，因為協(xié)方差矩陣Rx及其逆矩陣很難通過計算得到[19]。鑒于此，本文采用改進(jìn)的變步長LMS算法來求解空時陣列加權(quán)值。

令空時濾波器輸入的參考信號為d（k）?？諘r濾波器的輸出信號為 y（k）=W（k）HX（k），空時濾波器輸出的誤差信號可以表示為

利用最陡下降法推導(dǎo)出W（k）的遞推公式為

式中：μ為常數(shù)，稱為收斂因子。

式（5）、式（6）為傳統(tǒng) LMS 算法的遞推公式，該算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差較差，為了改善這一缺點，本文在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上通過采用兩步迭代的方式來進(jìn)一步降低計算量，改善收斂性能。步長更新公式為

式中：α為幅度加權(quán)因子，β為波形約束因子。

兩步迭代變步長更新公式由k時刻和k-2時刻的輸入誤差信號e（k）和e（k-2）的相似度作為采用何種變步長公式的判決條件，在算法收斂的起始階段，步長變化μ（k）與輸入信號誤差自相關(guān)值e（k）e（k-1）的雙曲正切函數(shù)成正比，以便在輸入信號狀態(tài)發(fā)生變化時，算法能夠快速地進(jìn)行收斂。當(dāng)輸入的誤差信號滿足時，步長變化與前一步長因子μ（k-1）以及輸入信號誤差自相關(guān)值 e（k）e（k-1）相關(guān)，這樣可以在有效抑制不相關(guān)噪聲的同時減小穩(wěn)態(tài)誤差，使算法的收斂精度得到提高。

本文通過大量仿真分析了α和β取不同值時對迭代步長的影響。圖1和圖2為α和β分別取不同值時對應(yīng)的 μ（k）與 e（k）的關(guān)系圖。

圖1 不同α值時，μ（k）的收斂曲線Fig.1 Convergence curves of μ（k） at different values of α

圖2 不同β值時，μ（k）的收斂曲線Fig.2 Convergence curves of μ（k） at different values of β

采用Monte Carlo的方法進(jìn)行多次仿真得出，當(dāng)幅度加權(quán)因子α不變時，波形約束因子β越大收斂速度越快，但是β＞20時，會導(dǎo)致在誤差較小情況下迭代步長產(chǎn)生大的波動從而影響收斂階段的穩(wěn)定性；當(dāng)波形約束因子β不變時，α影響迭代步長的幅值范圍。α＞0.9時，初始迭代步長較大，導(dǎo)致加權(quán)值可能無法收斂。因此本論文采用α＝0.9和β＝20進(jìn)行加權(quán)值的迭代計算。

經(jīng)過上述討論后的改進(jìn)的變步長LMS空時濾波算法可以表示為

2.2 VDLL提供參考信號

本文中，盲波束形成的期望信號來自矢量跟蹤環(huán)路中生成的導(dǎo)航信息。由于濾波器位于載波同步之后，因此，參考信號可以表示為

式中：δτ為碼相位誤差。

經(jīng)過上述討論后得到VD-ILMS算法的原理如圖3所示。

圖3 VD-ILMS算法流程Fig.3 Flow chart of VD-ILMS

下文具體說明矢量跟蹤環(huán)如何為盲波束形成器提供參考信號，步驟如下：

步驟1假定矢量跟蹤環(huán)在i時刻已經(jīng)跟蹤到了衛(wèi)星導(dǎo)航信號，接收機(jī)運動模型以及位置已經(jīng)被初始化。

步驟2i+1時刻的接收機(jī)位置通過運動模型計算得出，i+1時刻的衛(wèi)星位置可以通過星歷求解。然后可以計算出（i+1）時刻的偽距

步驟3用來控制數(shù)控振蕩器產(chǎn)生k+1時刻的碼相位是導(dǎo)航碼的頻率，c0是光速。

步驟4在i+1時刻，加入干擾，k+1時刻估計的導(dǎo)航數(shù)據(jù)被用作盲波束形成器的參考信號。

步驟5陣列輸出y=WHX在相關(guān)運算和碼相位鑒頻器中，計算出碼相位誤差δτk+1和偽距誤差

步驟6在導(dǎo)航濾波器中，用來估計接收機(jī)的位置誤差和時鐘誤差δbk+1。接收機(jī)位置通過更新，得到的被用來估計 k+2 時刻的偽距

3 試驗仿真

在試驗仿真過程中采用均勻線陣的陣元數(shù)為8，抽頭延遲數(shù)為4，陣元間距為半波長寬度，北斗導(dǎo)航信號的入射方位角選取0°，輸入信噪比為-30 dB，一次試驗運行1000次。收集2015年3月5日的衛(wèi)星星歷來計算偽距，接收機(jī)位于太原（經(jīng)度、緯度和高度分別為 37.8°N/112.5°E/5 m）， 以 10 m/s的速度沿直線運動。三個窄帶干擾在k+1時刻加入，干擾信號的入射方位角分別為-40°，-20°，60°，干擾噪聲比分別為30 dB，40 dB，和50 dB。我們主要從以下5個方面對改進(jìn)算法進(jìn)行仿真驗證。

3.1 VD-ILMS算法的干擾抑制能力

VD-ILMS算法的波束形成圖如圖4所示。仿真結(jié)果表明，本文提出的算法能夠在保證期望信號不受損失的情況下有效地抑制不同方向的窄帶干擾，干擾抑制能力的平均為-75 dB。

圖4 VD-ILMS算法的波束形成圖Fig.4 Beamforming diagram of VD-ILMS

3.2 ILMS算法計算復(fù)雜度分析

本文首先對幾種不同的步長更新算法的計算復(fù)雜度作出分析，結(jié)果如表1所示。

表1 四種典型變步長迭代算法的計算量對比Tab.1 Comparison of the computation of 4 typical variable step sizeiterative algorithm

從表1中可以看出本文提出的算法與VSSLMS算法，改進(jìn)的LMS算法有著相似的計算量，但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于RLS算法的計算量。如果采用陣元數(shù)M=8，每個陣元的延遲數(shù)為4，則本文算法所需要的乘法數(shù)為60，加法數(shù)為58，僅相當(dāng)于RLS算法的0.27%，0.41%，計算復(fù)雜度明顯降低。

3.3 ILMS算法收斂性能分析

下文分別對傳統(tǒng)LMS算法，RLS算法和本文提出的ILMS算法進(jìn)行收斂性能的仿真比較，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 三種算法的收斂曲線對比Fig.5 Comparison of convergence curves of the three algorithms

從圖5中收斂曲線可以得出：①ILMS算法在迭代50次時收斂，傳統(tǒng)LMS算法在迭代160次時收斂，RLS算法在迭代70次時達(dá)到收斂，本文提出的ILMS算法收斂速度明顯高于LMS算法和經(jīng)典的RLS算法；②改進(jìn)的ILMS算法的MSE收斂在0.05左右，LMS算法的MSE收斂在0.25左右，經(jīng)典的RLS算法的MSE收斂在0.06左右。在試驗條件相同時（即相同的接收信號和干擾信號），ILMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差低于其他2種算法。

3.4 VD-ILMS跟蹤能力分析

圖6表明僅用ILMS算法在經(jīng)過400次采樣時能夠準(zhǔn)確地跟蹤到衛(wèi)星信號。圖7表明將本VDILMS算法準(zhǔn)確跟蹤到衛(wèi)星信號的采樣數(shù)為200次，相比于ILMS時間縮減一半，大大提高了算法的跟蹤速度。

圖6 ILMS算法跟蹤圖Fig.6 Tracking diagram of ILMS algorithm

圖7 VD-ILMS算法跟蹤圖Fig.7 Tracking diagram of VD-ILMS algorithm

4 結(jié)語

為了提高導(dǎo)航接收機(jī)的可靠性和抗干擾能力，本文提出了一種將VDLL與變步長LMS算法相結(jié)合的抗干擾方法——VD-ILMS算法。該算法將VDLL的輸出信號用于盲波束形成的參考信號，然后利用改進(jìn)的變步長LMS算法來抑制干擾和增強(qiáng)期望信號。本文中從5個方面對VD-ILMS算法進(jìn)行了仿真分析，分析結(jié)果表明VD-ILMS算法能夠在降低計算復(fù)雜度的前提下，增強(qiáng)算法的抗干擾能力，提高接收機(jī)的跟蹤速度。

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