柔性鉸鏈放大的疊堆式超磁致伸縮致動器建模與實驗

何忠波 榮 策 楊朝舒 薛光明 鄭佳偉

(1.軍械工程學院車輛與電氣工程系， 石家莊 050003； 2.奧克蘭大學機械工程系， 奧克蘭 1010)

引言

超磁致伸縮材料(Giant magnetostrictive material, GMM)是一種性能優(yōu)異的新型功能材料，相比于其他智能材料，GMM具有輸出力大、響應(yīng)速度快、能量密度高等優(yōu)點[1-5]。超磁致伸縮致動器(Giant magnetostrictive actuator, GMA)能夠在低電壓驅(qū)動條件下迅速精確地輸出微位移，被視為新型電液伺服閥(Electro-hydraulic servo valve, EHSV)的理想驅(qū)動元件[6-8]。

為避免GMM本身固有的倍頻特性，在GMA設(shè)計時通常需要施加偏置磁場[9-10]。近年來，永磁偏置因低能耗和高可靠性的特點逐漸受到研究人員的關(guān)注[11-13]。在永磁偏置方式中，筒狀永磁體磁場較為均勻，但所需永磁體的體積和質(zhì)量較大[14-15]。碟片狀永磁體常對稱放置于GMM棒兩端，這樣的結(jié)構(gòu)能以較少的永磁體獲得較大的磁場強度，但是，磁場均勻性較差[16]。

本文根據(jù)新型EHSV的驅(qū)動要求，設(shè)計一種柔性鉸鏈放大的疊堆式超磁致伸縮致動器(Stack giant magnetostrictive actuator amplified by flexure hinge, FASGMA)。為準確預測FASGMA的輸出，建立FASGMA輸出位移模型，模型考慮致動器與柔性鉸鏈的相互作用以及GMM棒應(yīng)變分布不均勻性，通過實驗驗證模型的準確性，有助于FASGMA整體性能的分析和在EHSV中的應(yīng)用。

1 FASGMA結(jié)構(gòu)與工作原理

FASGMA結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要包括兩部分：疊堆式超磁致伸縮致動器(SGMA)和橋式柔性鉸鏈放大機構(gòu)。SGMA采用永磁體、GMM棒交替排布的結(jié)構(gòu)形式，既保留了兩端對置式GMA質(zhì)量、體積小的優(yōu)點，同時提高了偏磁場分布的均勻性[17]。橋式柔性鉸鏈機構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊，位移放大比大，能夠滿足大流量伺服閥的驅(qū)動要求[18-19]。兩部分通過緊固螺釘相連，保證工作時能夠同步運動。對于SGMA，可將其劃分為5個功能模塊。驅(qū)動模塊由線圈和線圈骨架組成，為SGMA提供所需的驅(qū)動磁場。磁致伸縮模塊由交替排布的GMM棒和永磁體組成，為SGMA提供偏置磁場。預壓模塊由外殼、左右端蓋及碟簧組成，通過調(diào)整端蓋與外殼之間的螺紋可以調(diào)節(jié)施加在GMM棒上的預緊力。冷卻模塊由冷卻腔、進出液口以及密封圈組成，保證SGMA處于相對恒溫的工作環(huán)境。輸出模塊主要由輸出桿及相關(guān)附件組成，可以將GMM棒產(chǎn)生的應(yīng)變轉(zhuǎn)變?yōu)槲灰疲⒆罱K通過放大機構(gòu)實現(xiàn)輸出。

圖1 FASGMA結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of FASGMA1.外殼 2.冷卻腔 3.橋式柔性鉸鏈機構(gòu) 4.線圈 5.線圈骨架 6.右端蓋 7.輸出桿 8.碟簧 9.出液口 10.進液口 11.左端蓋 12.緊固螺釘 13.GMM棒 14.永磁體

2 SGMA應(yīng)變分布模型

2.1 磁場模型

為準確描述SGMA磁場的不均勻性，將畢奧-薩伐爾定律與磁路模型結(jié)合，建立SGMA磁場分布模型，結(jié)果為

(1)

式中H(I,z)——GMM棒上坐標為z、驅(qū)動電流為I時的總磁場強度

Ψb——偏置磁場的分布函數(shù)

Ψd——驅(qū)動磁場的分布函數(shù)

Ψb和Ψd利用畢奧-薩伐爾定律求得，在求解時，有兩點需要考慮：①分布函數(shù)不應(yīng)改變GMM棒上磁場強度的平均值。②分布函數(shù)應(yīng)能反映高導磁材料對磁場的凝聚作用。Ψb和Ψd可最終表示為

(2)

式中Hb——畢奧-薩伐爾定律求得的GMM棒上偏置磁場分布

Hd——畢奧-薩伐爾定律求得的GMM棒上驅(qū)動磁場分布

μr3——GMM棒的相對磁導率

β——與致動器結(jié)構(gòu)相關(guān)的常數(shù)

2.2 磁化模型

SGMA的磁化模型可用Jiles-Atherton模型(J-A模型)描述為

(3)

式中H——驅(qū)動磁場強度

He——GMM棒中有效磁場強度

M——GMM棒的磁化強度

Man——無磁滯磁化強度

Mirr——不可逆磁化強度

Mrev——可逆磁化強度

Ms——飽和磁化強度

α——與分子場和預應(yīng)力相關(guān)的磁化常數(shù)

k——釘扎系數(shù)a——形狀系數(shù)

c——可逆系數(shù)

2.3 磁致伸縮模型

對于GMM，可以用二次疇轉(zhuǎn)模型表示材料磁化強度與磁致伸縮應(yīng)變之間的關(guān)系

(4)

式中λ——GMM棒的磁致伸縮應(yīng)變

λs——飽和磁致伸縮應(yīng)變

對于包含偏置磁場的致動器，GMM棒的實際應(yīng)變應(yīng)視為其圍繞初始應(yīng)變的往復運動。

3 放大機構(gòu)輸出建模

3.1 放大倍數(shù)計算

當FASGMA工作時，如果致動器沿水平方向伸長2Δx，相應(yīng)地，放大機構(gòu)將在豎直方向上升2Δy，放大比可表示為Δy/Δx。在分析機構(gòu)放大比與結(jié)構(gòu)尺寸的關(guān)系時，首先分析輸入力FSGMA引起的左右支臂的變形，取左支臂進行受力分析，如圖2所示。

圖2 左支臂受力分析圖Fig.2 Force analysis of left support arm

令FSGMA=F1，則支臂中部的撓度為

(5)

式中E——放大機構(gòu)彈性模量

Lb——支臂長度的一半

Ib——支臂慣性矩

在分析支臂的基礎(chǔ)上，對柔性鉸鏈和連接臂的組合結(jié)構(gòu)進行受力和變形分析，選取放大機構(gòu)左上部分，如圖3所示，本文采用基于能量的分析方法[20]。

圖3 柔性鉸鏈及連接臂結(jié)構(gòu)尺寸及受力分析圖Fig.3 Structure and force analysis diagram of flexure hinge and link arm

在理想情況下，A、B兩點的受力情況相同，轉(zhuǎn)角也相等。假設(shè)FA=FB=F，MA=MB=Me，則Me=Fh。圖3中，F(xiàn)A為該系統(tǒng)的輸入力。由能量守恒，可得

(6)

式中 Δx2——柔性鉸鏈及連接臂結(jié)構(gòu)水平方向總伸長量

Δl——柔性鉸鏈彈性伸長量

ΔL——連接臂彈性伸長量

Wf——柔性鉸鏈彎曲應(yīng)變能

Wc——連接臂彎曲應(yīng)變能

通過受力分析可以看出，連接臂上所受的彎矩為0，所以彎曲應(yīng)變能Wc也為0，Wf可以通過彈性梁理論解得，組合結(jié)構(gòu)的軸向伸長可表示為

(7)

式中l(wèi)——柔性鉸鏈長度

L——連接臂長度

h——相鄰柔性鉸鏈間垂直距離

A1——柔性鉸鏈的橫截面積

A2——連接臂的橫截面積

If——柔性鉸鏈的慣性矩

柔性鉸鏈放大機構(gòu)在豎直方向上的位移可以視為柔性鉸鏈和連接臂的撓度之和，即

(8)

聯(lián)立式(5)～(8)，柔性鉸鏈放大機構(gòu)的放大比Ramp可以表示為

(9)

3.2 固有頻率計算

利用拉格朗日方程建立放大機構(gòu)的動力學模型，可以計算其固有頻率

(10)

式中D——放大機構(gòu)動能與勢能之差

Qk——第k個廣義力

qk——第k個廣義坐標

取放大機構(gòu)的輸入位移2Δx為廣義坐標，用q表示。忽略柔性鉸鏈的質(zhì)量，放大機構(gòu)的質(zhì)量分布如圖4所示。為避免對稱結(jié)構(gòu)的力和位移相互抵消，分析機構(gòu)的左半部分。

圖4 放大機構(gòu)質(zhì)量分布圖Fig.4 Mass distribution of amplifier

放大機構(gòu)的動能包括機構(gòu)各部分在x、y方向上的平動動能及柔性鉸鏈旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)動動能；而對于彈性勢能，由于連接臂上彎矩為0，所以放大機構(gòu)的彈性勢能僅存在于柔性鉸鏈上。將動能和勢能代入拉格朗日方程表達式，可得

(11)

式中Kf——柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度

Fout——SGMA的輸出力

w——柔性鉸鏈寬度

放大機構(gòu)的固有頻率可表示為

(12)

3.3 放大機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法

3.3.1放大比影響因素分析

式(9)建立了放大機構(gòu)位移放大比與各結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，在放大機構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸確定的情況下，機構(gòu)的放大比主要受柔性鉸鏈厚度t、柔性鉸鏈長度l以及柔性鉸鏈間距h的影響，如圖5所示。

圖5 放大機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對放大比的影響Fig.5 Influence of structural parameters on amplification ratio

可以看出，機構(gòu)的放大比隨l正向變化，隨t和h反向變化。當需要較大的位移放大比時，應(yīng)減小h和t，增大l。但是，這樣會增加柔性鉸鏈所受的正應(yīng)力，加快材料的疲勞和損壞。

3.3.2固有頻率影響因素分析

從式(11)、(12)可以看出，影響放大機構(gòu)固有頻率的參數(shù)主要包括柔性鉸鏈厚度t和柔性鉸鏈長度l，如圖6所示。

圖6 放大機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響Fig.6 Influence of structural parameters on eigenfrequency

由圖6可知，增大柔性鉸鏈厚度t，減小柔性鉸鏈長度l有助于提高放大機構(gòu)的固有頻率，拓寬其工作頻帶。

3.3.3優(yōu)化設(shè)計方法

從上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，當t和l變化時，放大機構(gòu)的放大倍數(shù)和固有頻率變化趨勢相反，無法同時達到期待的最優(yōu)值。因此，在明確機構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸的基礎(chǔ)上，需綜合考慮t、l和h對放大機構(gòu)特性的影響，最終確定參數(shù)取值，圖7給出了這些參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的流程。

圖7 放大機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計流程圖Fig.7 Flow chart of optimization design for amplifier

3.4 放大機構(gòu)有限元分析

依據(jù)放大機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，確定了主要參數(shù)的取值，如表1所示。為驗證機構(gòu)計算模型的有效性，利用有限元軟件對其進行放大比和固有頻率分析。

表1 柔性鉸鏈放大機構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of flexure hinge mm

改變放大機構(gòu)的輸入位移，可得放大機構(gòu)的輸入-輸出曲線，如圖8所示。

圖8 放大機構(gòu)輸入-輸出特性曲線Fig.8 Input-output characteristics curve of amplifier

可以看出，放大機構(gòu)的輸入輸出之間有較好的線性度，在輸入位移0～20 μm的范圍內(nèi)，其放大倍數(shù)基本保持不變，約為9.208倍，而理論計算得到的結(jié)果為9.525倍，相對誤差約為3.44%，說明模型有較高的計算精度。

利用有限元軟件分析放大機構(gòu)的固有頻率，得到其前四階模態(tài)如圖9所示。

圖9 放大機構(gòu)前四階模態(tài)圖Fig.9 First four modals analyses of amplifier

從圖9中可以看出，二階振型為放大機構(gòu)輸出位移方向的變形，是放大機構(gòu)工作時的主要變形形式。采用解析方法得到的固有頻率應(yīng)為二階固有頻率，計算值為153.24 Hz，有限元分析值為143.78 Hz，相對誤差約為6.6%，表明放大機構(gòu)的固有頻率計算模型有較高的精度。

4 位移模型

考慮SGMA和放大機構(gòu)的相互作用，建立能夠反映FASGMA整體輸出的位移模型。為描述SGMA磁場和應(yīng)變分布的不均勻性，將每段GMM棒沿軸向劃分為n個質(zhì)量-彈簧-阻尼單元(n為任意正整數(shù))，則整個致動器表示為如圖10所示的多自由度振動系統(tǒng)。

以系統(tǒng)靜平衡位置為坐標原點，該多自由度系統(tǒng)的運動微分方程為

(13)

圖10 SGMA位移模型等效圖Fig.10 Equivalent diagram of displacement model for SGMA

其中

式中kPM——永磁體剛度

cPM——永磁體阻尼系數(shù)

ms——輸出桿質(zhì)量ks——碟簧剛度

mi——每段GMM棒中第i個質(zhì)-彈-阻單元的等效質(zhì)量

mPM——每段永磁體的等效質(zhì)量

cs——輸出桿與外殼之間阻尼系數(shù)

ke——GMM棒中任一質(zhì)-彈-阻單元的剛度

ce——GMM棒中任一質(zhì)-彈-阻單元的阻尼系數(shù)

X——SGMA的位移向量

將矩陣Ke中的相應(yīng)元素換為cPM和ce，可得矩陣Ce。在磁致伸縮驅(qū)動力向量[P1P2P3Fout]T中，Pj(j=1,2,3)為包含n+1個元素的子向量。其中,永磁體在磁場作用下不產(chǎn)生應(yīng)變，不受磁致伸縮驅(qū)動力作用，所以對應(yīng)位置的元素為0。在GMM棒上，第j段GMM棒上第i個質(zhì)-彈-阻單元所受的等效磁致伸縮驅(qū)動力可用pji(i=1,2,…，n)表示，如圖10所示。

(14)

式中EH——GMM棒彈性模量

S——GMM棒橫截面積

fji——第j段GMM棒上第i個質(zhì)-彈-阻單元所受的磁致伸縮驅(qū)動力

可以看出，最后一個永磁體產(chǎn)生的位移即為SGMA的輸出位移，經(jīng)過放大機構(gòu)放大，最終輸出為

xout=Ramp(0,0,…,0,1)X

(15)

5 模型驗證

為驗證模型的有效性，制作了FASGMA樣機，主要參數(shù)如表2所示，搭建了以高速數(shù)據(jù)采集卡(Data acquisition card, DAQ)為核心的實驗測試系統(tǒng)。

表2 FASGMA主要參數(shù)Tab.2 Main parameters of FASGMA

5.1 實驗系統(tǒng)設(shè)計

實驗測試系統(tǒng)如圖11所示，根據(jù)功能，該系統(tǒng)大致可以分為4個模塊：電源模塊、采集模塊、致動器模塊和主控計算機。

圖11 FASGMA實驗系統(tǒng)圖Fig.11 Photo of experimental system for FASGMA

圖12 不同自由度對模型計算結(jié)果的影響Fig.12 Influence of different DOFs on model calculation result

5.2 模型自由度確定

在位移模型中，SGMA被等效為多自由度振動系統(tǒng)，這樣的等效能夠有效描述磁場不均勻性對致動器輸出的影響。自由度數(shù)越多，模型越精細，越接近實際情況。但是，自由度數(shù)增加伴隨而來的是模型運算量的加大，圖12為輸入5 A的階躍電流時，不同自由度下穩(wěn)態(tài)位移的計算結(jié)果。

可以看出，單自由度模型與多自由度模型的穩(wěn)態(tài)位移計算值相差約6 μm，當自由度超過50時，模型的計算結(jié)果變化不大，所以在實際計算中，自由度數(shù)可以選為50。

5.3 實驗結(jié)果與分析

5.3.1階躍激勵實驗

圖15 不同頻率正弦激勵下FASGMA響應(yīng)曲線Fig.15 Response curves of FASGMA in sinusoidal excitation

圖13為輸入5A的階躍電流時FASGMA的響應(yīng)曲線，可以看出，系統(tǒng)的輸出位移約為130 μm，達到穩(wěn)態(tài)的時間約為70 ms。與不連接放大機構(gòu)的致動器相比，系統(tǒng)的響應(yīng)時間更長，主要是因為放大機構(gòu)的等效質(zhì)量較大，增加了系統(tǒng)的慣性。

圖13 FASGMA階躍響應(yīng)曲線Fig.13 Step response curve of FASGMA

在此基礎(chǔ)上，將不同幅值的直流電流信號通入致動器，可以得到不同電流下系統(tǒng)的輸出位移，與模型計算結(jié)果之間的對比如圖14所示。

圖14 階躍響應(yīng)下穩(wěn)態(tài)位移實驗與模型對比Fig.14 Comparison of experiment and model results in step response

從圖14中可以看出，模型與實驗數(shù)據(jù)之間有較高的吻合度，相對誤差基本都在5%以下。最大誤差出現(xiàn)在驅(qū)動電流為-5 A時，誤差約為6.5 μm，相對誤差約為5%，說明模型在描繪系統(tǒng)靜態(tài)特性時有較高的精度。

5.3.2正弦激勵實驗

在FASGMA中分別施加20、40、60、80 Hz的驅(qū)動電流，得到的輸出位移曲線與模型計算值如圖15所示?？梢钥闯?，在實驗頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)輸出與輸入之間有較好的跟隨特性。當激勵頻率為20、40 Hz時，模型結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)吻合度較高。而在60、80 Hz的激勵下，實驗測得的輸出位移明顯大于模型計算值，這主要是由于放大機構(gòu)的一階固有頻率處于60、80 Hz之間，發(fā)生了諧振，而且一階振型與放大機構(gòu)的主要變形方式在同一平面內(nèi)，有助于增大系統(tǒng)輸出位移。但是需要說明的是，放大機構(gòu)的一階振型與目標輸出方向不完全相同，這將導致放大機構(gòu)在一階共振點附近工作穩(wěn)定性降低。由圖15可看出，當驅(qū)動電流頻率為80 Hz時，系統(tǒng)各周期的輸出位移并不一致，說明系統(tǒng)不宜工作于該頻率下。

6 結(jié)論

(1)設(shè)計了柔性鉸鏈放大的疊堆式超磁致伸縮致動器(FASGMA)，可應(yīng)用于新型電液伺服閥的驅(qū)動。GMM棒和永磁體交替排布的結(jié)構(gòu)形式既保留了兩端對置式GMA質(zhì)量、體積小的優(yōu)點，同時提高了偏磁場分布的均勻性。柔性鉸鏈放大機構(gòu)可以有效放大SGMA的輸出位移，使最終輸出位移滿足負載要求。

(2)根據(jù)SGMA的結(jié)構(gòu)特點，利用磁路模型和畢奧-薩伐爾定律建立了SGMA磁場模型，結(jié)合J-A模型和二次疇轉(zhuǎn)模型建立了SGMA應(yīng)變模型，模型能夠刻畫致動器軸線上應(yīng)變分布的不均勻性。

(3)應(yīng)用力學基本原理，計算了柔性鉸鏈機構(gòu)的放大倍數(shù)和固有頻率，提出了放大機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，確定了機構(gòu)各結(jié)構(gòu)參數(shù)，用有限元方法對計算結(jié)果進行了驗證。

(4)基于SGMA軸向應(yīng)變分布不均的特點，考慮SGMA和柔性鉸鏈的相互作用，建立了FASGMA的多自由度位移模型，并根據(jù)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)位移的計算精度確定了自由度的合理取值。

(5)搭建了實驗測試系統(tǒng)，完成了FASGMA的階躍和正弦激勵實驗。實驗表明，階躍激勵下，F(xiàn)ASGMA的最大輸出位移約為130 μm，與模型誤差約為5%，響應(yīng)時間約為70 ms；正弦激勵下，F(xiàn)ASGMA能穩(wěn)定工作于60 Hz以下，對激勵信號有較好的跟隨特性，輸出波形和幅值與模型吻合較好，證明了模型的正確性。

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