直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人反向動力學分析與驗證

吳超宇 錢小吾 余 偉 于 今 程 敏

(1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044； 2.鎮(zhèn)江高等?？茖W校基礎(chǔ)部， 鎮(zhèn)江 212002)

引言

并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)的特殊性，使其與串聯(lián)機器人相比，具有剛度大、承載能力強、精度高、自重負荷比小及動態(tài)響應(yīng)性能好等一系列優(yōu)點，近年來已成為機器人研究領(lǐng)域的主要熱點之一[1-2]。并聯(lián)機器人整體結(jié)構(gòu)簡單、緊湊，驅(qū)動部分均布于固定平臺，這些特點使它具有良好的運動學和動力學特性。由于并聯(lián)機器人機構(gòu)是由多關(guān)節(jié)、多連桿組成，具有多個輸入和輸出，通常是一個多自由度、高度非線性、多參數(shù)耦合的復雜系統(tǒng)[3-5]，因此其運動學和動力學數(shù)學模型的建立是復雜的，求解比較困難。國內(nèi)外學者對各類型并聯(lián)機器人的運動學和動力學作了大量的研究[6-15]，ROMDHANE[8]提出了一種解析法求解位置正解。ZENEBE[10]通過螺旋代數(shù)理論對平移類并聯(lián)機器人進行了速度與加速度的研究，提出了一種用于加速度分析的海塞矩陣關(guān)系。建立雅可比矩陣和海塞矩陣是目前比較常用的方法，并且只與行位有關(guān)，不需要求導。動力學常用的方法是牛頓-歐拉法、拉格朗日法、虛功原理法、Hamilton法等,NABAT等[13]和PIERROT等[11]、HUANG等[15]分別就各自的類Delta機構(gòu)建立了簡化動力學模型，并通過仿真和試驗驗證其模型。

本文在借鑒前人研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人的幾何結(jié)構(gòu)模型，利用矢量法建立機器人的運動學模型，推導出運動學逆解、速度和加速度模型；利用虛功原理建立并聯(lián)機器人的動力學模型 ，分析機器人機械系統(tǒng)中各運動部件在虛位移下對應(yīng)的廣義力，并通過Matlab和ADAMS聯(lián)合仿真和負載特性試驗驗證所建立的動力學理論模型的正確性。

1 機構(gòu)簡介與坐標系建立

如圖1所示，本文研究的直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人由靜平臺、動平臺、同步帶電缸、滑塊、U型虎克鉸、3組平行四邊形支鏈桿件組成，每組支鏈分別通過2個虎克鉸(U副)連接動平臺與滑塊，滑塊通過平移副(P副)由同步帶電缸驅(qū)動。3組電缸的投影是120°，均勻分布，3組電缸與水平面呈一個固定的角度，下端交于一點，3個電機安裝在同步電缸的上方，直線驅(qū)動3個滑塊，平行四邊形支鏈結(jié)構(gòu)采用炭纖維制造，質(zhì)量輕，體積比較小，具有比較好的動態(tài)響應(yīng)性能。

圖1 直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人三維模型Fig.1 Three dimensional model of linear driven parallel robot1.靜平臺 2.交流伺服電機 3.同步帶電缸 4.滑塊 5.U型虎克鉸 6.平行四邊形支鏈 7.動平臺

圖2 直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人原理圖Fig.2 Schematic of tripod parallel robot

圖3 單支鏈原理圖Fig.3 Schematic of single typical chain

圖2是直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人的原理圖，圖3是單個支鏈的原理圖，設(shè)笛卡爾直角坐標O{x,y,z}在靜平臺△A1A2A3的中心O點處并且在動平臺△B1B2B3的中心P處建立一個移動的動笛卡爾坐標P{x′,y′,z′}，由于動平臺與靜平臺平行，并且這個并聯(lián)機構(gòu)只有3個平移自由度，所以x軸與x′軸平行，并且x軸沿著OA1方向，向量OA1平行于PB1，z軸均朝上，3條運動直線DiEi相交于M點，并且與靜平臺相交于Ai(i=1,2,3),并且靜平臺的半徑為a。3個長度為l的桿與動平臺相交于Bi,半徑

為b,P關(guān)節(jié)的滑塊在限定的Di與Ei之間移動，角度α是靜平臺與DiEi導軌的夾角。角度φi是x軸與靜平臺向量OAi的夾角，因為靜平臺與動平臺平行，所以夾角也適用于動平臺。

圖3中，Di為同步帶輪的中心點，Ci是經(jīng)過同步帶輪中心Di沿電缸軸向直線與過滑塊與連桿的虎克鉸中心Fi的垂直電缸導軌直線的交點，F(xiàn)i是滑塊與連桿的連接虎克鉸的中心，Bi是連桿與動平臺的虎克鉸的中心，P是動平臺的幾何中心，Ei是選定的驅(qū)動軸的原點，滑塊到同步帶輪中心Di的距離是di(i=1,2,3)。H為滑塊的高度，也就是虎克鉸到滑塊的距離。

2 運動學分析

2.1 位置逆解模型

位置逆解模型解決了動平臺的位置與驅(qū)動變量的關(guān)系問題。如圖3所示，點Ai與Bi關(guān)于O與P的位置向量可以寫成

(1)

(2)

lei=Li-disi-Hi

(3)

其中

Li=P+bi-ai

(4)

這里ei是FiBi的單位向量，di代表第i個滑塊的線性位移，si代表相應(yīng)的DiEi的單位向量，Hi是滑塊的高度，它的模長可以表示為|h|是個定值，si與Hi可以表示成

(5)

l2=(Li-disi-Hi)(Li-disi-Hi)T

(6)

(7)

其中si與Hi是垂直的2個向量，所以si與Hi的乘積是0。式(7)可以簡化成

(8)

其中

所以可以得到

(9)

因為E為負值，并且坐標系中z軸是朝上的，所以這里取負根號的結(jié)果。

由式(3)可以求出從動桿的單位向量ei為

ei=(Li-disi-Hi)/l

(10)

2.2 速度模型

對式(3)關(guān)于時間求導，可以得到

(11)

(12)

ωi——從動桿FiBi的角速度

式(12)左右兩端分別點乘ei，可以得到

(13)

將3個從動桿的式(13)分別寫出，這3個標量方程可以寫成矩陣形式，為

(14)

其中

Jx——正向運動學雅可比矩陣

Jd——逆向運動雅可比矩陣

當驅(qū)動器不在奇異點時，可以得到并聯(lián)機器人的雅可比矩陣

(15)

其中

(16)

式(16)是直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人的3×3的雅可比矩陣，它表示了動平臺的速度與驅(qū)動器的關(guān)系。

(17)

由式(17)可以看出，當e1、e2、e3中間的2個向量線性相關(guān)時，也就是并聯(lián)機構(gòu)的從動桿會出現(xiàn)2個相互平行、或者3個都平行以及共面的情況時，會有det(Jx)=0，這時機構(gòu)出現(xiàn)多自由度，當從動桿與電缸方向垂直時，會出現(xiàn)det(Jd)=0，此時機構(gòu)沿一個方向剛化，也就是死點。所以這兩類奇異位都與并聯(lián)機器人的參數(shù)與位置相關(guān)。

將式(12)兩邊分別叉乘ei，可以得到第i個從動桿的角速度

(18)

由于桿件不會繞它的軸線轉(zhuǎn)動，可以得到桿件相對于靜平臺的角速度

(19)

其中

(20)

式中E3——3×3的單位矩陣

從動桿在靜坐標系的中心速度是

(21)

將式(19)代入式(21)并且簡化可以得到

(22)

(23)

Jvωi是從動桿的連接雅可比矩陣，反映的是從動桿在靜坐標系的線速度與角速度。

2.3 加速度模型

對速度模型式(12)關(guān)于時間求導，可以得到加速度

(24)

式中a——動平臺加速度

式(24)兩邊分別點乘ei可以得到滑塊的加速度為

(25)

將滑塊的加速度寫成標準形式

(26)

(27)

分別代表整個并聯(lián)機器人滑塊的加速度與動平臺的加速度。

式(24)左右兩邊分別叉乘ei，可以得到第i個從動桿的角加速度

(28)

對式(21)關(guān)于時間求導可以得到從動桿相對于靜平臺的中心加速度為

(29)

將滑塊的加速度式(25)與從動桿的角加速度式(28)代入式(29)，可以得到簡化的從動桿的線性加速度

(30)

3 動力學分析

并聯(lián)機器人的動力學表述了機構(gòu)與關(guān)節(jié)力之間的聯(lián)系。并聯(lián)機器人的正向動力學是已知機構(gòu)驅(qū)動關(guān)節(jié)的時間變化規(guī)律去求解末端知悉機構(gòu)在工作空間的軌跡和速度加速度，并聯(lián)機器人的逆向動力學是已知執(zhí)行機構(gòu)的運動軌跡去求解驅(qū)動器的運動規(guī)律，正向動力學對于系統(tǒng)的仿真實驗意義重大，而逆動力學則是系統(tǒng)優(yōu)化的基礎(chǔ)。本文采用達朗貝爾形式的虛功原理來進行計算。虛功原理表明一個靜態(tài)平衡的系統(tǒng)，所有外力的作用，經(jīng)過虛位移，所作的虛功，總和等于零。當整個系統(tǒng)受到保守力或者非保守力以及慣性力產(chǎn)生的虛位移時，系統(tǒng)的每個部分一直處于動態(tài)平衡狀態(tài)。假設(shè)機械系統(tǒng)的每個零部件都是剛性的，也就是不會在外力狀態(tài)下產(chǎn)生形變，摩擦力可以被忽略不計，唯一產(chǎn)生變化的虛功與輸入輸出力與力矩的運動有關(guān)。

3.1 各運動部件的動力學模型

(1)動平臺：作用在動平臺質(zhì)量中心的外力與慣性力可以表示成

(31)

式中fe——作用在動平臺質(zhì)量中心的外力

ne——作用在動平臺質(zhì)量中心的力矩

OIP——動平臺中心在靜平臺坐標系下的慣性張量

g——重力加速度

(2)從動桿：假設(shè)重力是唯一作用于從動桿的外力，在靜平臺坐標系下，從動桿的外力與慣性力分別是

(32)

式中OIi——靜平臺坐標系下從動桿的慣性張量

iIi——從動桿在自身局部坐標系Cxyz中的慣性張量

由圖4可知，從動桿的局部坐標系可以認為先關(guān)于靜平臺的固定坐標系的z軸旋轉(zhuǎn)φi角，再關(guān)于新得到的坐標系(x′i,y′i,z′i)的y′i軸進行φi角度旋轉(zhuǎn)，得到新的局部坐標系。mi是從動桿的質(zhì)量。這樣可以得到2個坐標系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系

(33)

圖4 局部坐標系表示原理圖Fig.4 Schematic representation of local coordinate system

(3)滑塊：由于滑塊只有平移運動，外力和慣性力作用于從動桿相對于靜平臺Oxyz的中心處

(34)

式中mqi——從動桿的質(zhì)量塊

(4)電機上的作用力：作用在電機的外力與慣性力

(35)

式中IMi、ICi、ILi——電機、聯(lián)軸器、滑塊慣性力矩

τi——電機輸入扭矩

電機與滑塊之間的關(guān)系是

(36)

(37)

式中r——帶輪半徑

3.2 動力學模型

根據(jù)虛功原理，可以得到

(38)

其中

δd=[δdδd2δd3]T

(39)

(40)

式中Fi——作用在靜平臺坐標系的從動桿廣義力

δdi、δθi——滑塊和電機轉(zhuǎn)子對應(yīng)的虛位移

根據(jù)描述的連接雅可比矩陣式(23)，可得到δxi和δxp的關(guān)系

(41)

根據(jù)式(17)的雅可比矩陣，可以得到δdi和δxp的關(guān)系

(42)

將式(40)～(42)代入式(38)，簡化得到

(43)

(44)

(45)

其中

(46)

IMCL=diag(IMCL1,IMCL2,IMCL3)

(47)

IMCLi=IMi+ICi+ILi

(48)

簡化式(45)，可以得到動力學方程的一般形式

(49)

其中

(50)

(51)

(52)

G(d)——重力項

(53)

設(shè)定機器人動平臺中心按式(53)的圓錐曲線運動，利用Matlab將動力學方程程序化，進行仿真實驗，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 動力學仿真結(jié)果Fig.5 Dynamic simulation results

由圖5可知，速度項引起的力矩基本可以忽略，重力項引起的力矩的變化基本趨于恒定，各個伺服電機的力矩主要由慣性項所引起的力矩決定。

4 ADAMS與Matlab聯(lián)合仿真

在Inventor中將機器人三維模型保存為(*.x_t)格式，然后將保存好的文件導入到ADAMS中，由于導入的模型的各部件的質(zhì)量、材料屬性以及各部件間的連接和約束都沒有，所以需要完成以下幾個步驟[16-20]：

(1)設(shè)置一下虛擬樣機的環(huán)境：對虛擬模型的坐標系、重力方向、單位、工作網(wǎng)格進行設(shè)置。并且對模型的材料等固有特性進行設(shè)置。

(2)簡化模型和修改特性：將一些不太影響結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)件刪除，減小仿真的復雜度，將螺絲等固定件進行刪除。

(3)給機構(gòu)添加運動副：由于直線驅(qū)動型機器人包含3個平移副和12個球形副，通過工具箱進行添加。

通過以上3個步驟的設(shè)置，可以得到如圖6所示ADAMS軟件中的機器人模型。

圖6 ADAMS模型Fig.6 Simulation model of ADAMS

為了驗證所建立的直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人動力學理論模型的正確性，通過Matlab與ADAMS的聯(lián)合仿真來驗證模型的正確性，如圖7所示。在Matlab中，將并聯(lián)機器人的運動學逆解、速度、加速度和動力學程序化，并編寫為一個函數(shù)，函數(shù)所需參數(shù)有機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)和軌跡方程；在ADAMS中，除了前面已完成的步驟，還需輸入機器人的軌跡方程。

圖7 Matlab與ADAMS聯(lián)合仿真圖Fig.7 Co-simulation diagram of Matlab and ADAMS

仿真前先設(shè)定好直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人的各項結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

將式(53)給定的末端的螺旋曲線，作為末端動平臺的軌跡方程，[x0,y0,z0]=[0,0,900 mm]是初始位置，由Matlab仿真得到伺服電機的驅(qū)動力矩，同時將末端軌跡作為ADAMS的輸入量，通過仿真也得到伺服電機的驅(qū)動力矩，仿真結(jié)果如圖8、9所示。

表1 直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of linear drivenparallel robot

圖8 Matlab力矩仿真Fig.8 Torque simulation diagram of Matlab

圖9 ADAMS力矩仿真Fig.9 Torque simulation diagram of ADAMS

通過仿真結(jié)果對比，得知Matlab與ADAMS中的結(jié)果是一致的，并且驅(qū)動器力矩曲線是平滑的，說明直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人不僅具有良好的動力學性能，而且建立的動力學模型是正確的，也驗證了運動學逆解、速度和加速度模型的正確性。

5 負載特性試驗

為了進一步地驗證直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人的動力學理論模型的正確性，進行機器人負載試驗，讓機器人負載0.1 kg的鋁塊(圖10)，在X和Y方向上沿著設(shè)定的軌跡進行運動，流程如圖11所示，將軌跡函數(shù)輸入到工控機，工控機將控制量輸入到控制卡，控制卡將模擬量傳給并聯(lián)機器人的3個交流伺服電機并驅(qū)動動平臺按給定的軌跡進行試驗，期間可以采用采集卡從交流伺服電機的輸出端口采集信號，觀察3個電機轉(zhuǎn)矩的曲線變化規(guī)律。

圖10 0.1 kg負載Fig.10 Load of 0.1 kg

首先，測試機器人負載0.1 kg的鋁塊沿X方向運動下的伺服電機轉(zhuǎn)矩，X=-100tcos(10t)，初始位置為[x0,y0,z0]=[0,0,980 mm]，將X軌跡函數(shù)和初始位置信息輸入到工控機，控制卡獲取工控機的控制量來控制伺服電機，測試結(jié)果如圖12a所示。

然后采用同樣方法來測試機器人在負載情況下Y方向上的伺服電機轉(zhuǎn)矩，Y=-100tsin(10t)，初始位置為[x0,y0,z0]=[0,0,980 mm]，結(jié)果如圖12b所示。

圖11 硬件流程方案Fig.11 Hardware flow plan

圖12 力矩試驗值Fig.12 Torque test values

圖13分別為機器人在負載情況下沿X方向和Y方向下的電機理論力矩圖，圖13a中，電機2和電機3的力矩曲線基本重合，是與電機在機器人坐標下的布局有密切聯(lián)系的，X軸剛好是電機2和電機3連線的垂直平分線，所以機器人沿X方向運動時，電機2和電機3對應(yīng)下的滑塊的運動特性一致，電機2和電機3的力矩曲線基本重合。

圖13 力矩理論值Fig.13 Torque theoretical values

通過分別比較機器人在X和Y方向上的理論計算力矩曲線和試驗測試力矩曲線，二者力矩曲線不完全吻合，可能由于控制系統(tǒng)軟硬件、機器人零部件參數(shù)誤差和曲線擬合誤差等因素導致二者數(shù)值在局部有較大差別，且在部分運動段曲線吻合不理想，但是二者力矩曲線整體變化趨勢一致，驗證了本文采用虛功原理建立的動力學模型是正確的。

6 結(jié)論

(1)根據(jù)直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人的幾何結(jié)構(gòu)模型，利用矢量法進行了運動學分析，并得出機器人運動學逆解、速度和加速度模型。

(2)利用虛功原理建立動力學模型，分析了機器人機械系統(tǒng)中各個運動部件在虛位移下對應(yīng)的廣義力，推導出動力學方程，運用Matlab將其運動學逆解、速度、加速度和動力學模型程序化，給定動平臺末端一個軌跡，進行仿真得到機器人上各個電機的力矩由所對應(yīng)支鏈上各個運動部件的慣性項所引起的力矩決定，而速度項所引起的力矩完全可以忽略，重力項所引起的力矩基本上趨于恒定。

(3)通過Matlab與ADAMS聯(lián)合仿真試驗和負載特性試驗，驗證了動力學理論模型的正確性，為直線驅(qū)動型并聯(lián)機器人的物理樣機的設(shè)計、優(yōu)化運動控制提供依據(jù)，也為同類少自由度并聯(lián)機器人的動力學研究提供了一定的參考價值。

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