五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)圓弧插補(bǔ)算法研究

王學(xué)雷 張 賓 徐松兵 李傳軍 吳泰羽 張春龍

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院， 北京 100083)

引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、剛度大、承載能力大、誤差小、動態(tài)響應(yīng)性能好等優(yōu)點(diǎn)而受到人們的青睞。但因其工作空間小、靈活性差等缺點(diǎn)而難以拓展到更為廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域[1-4]。

傳統(tǒng)生產(chǎn)線上的工業(yè)機(jī)器人多采用串聯(lián)結(jié)構(gòu)形式，這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定了機(jī)器人在工作范圍和姿態(tài)調(diào)整上具有較高的靈活性和柔性，但該種形式的機(jī)器人多采用懸臂梁式結(jié)構(gòu)形式，冗長的懸臂結(jié)構(gòu)使得機(jī)器人剛度差、負(fù)載能力和動態(tài)特性相當(dāng)有限，且各關(guān)節(jié)的運(yùn)動誤差逐步累積并被放大，末端執(zhí)行器很難達(dá)到較高的運(yùn)動精度[5-8]。

混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)合串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)了兩者的不足而成為機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究焦點(diǎn)[9-12]，最為典型的代表是瑞典NEUMANN博士發(fā)明的Tricept機(jī)器人[13]。國內(nèi)學(xué)者也對五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了廣泛研究，HUANG等[14-16 ]提出了TriVariant以及3SPR-RR五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，張東勝等[17]提出了2SPR/UPR-RP五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，上述混聯(lián)機(jī)構(gòu)分別以具有兩轉(zhuǎn)一移的并聯(lián)機(jī)構(gòu)2UPS/UP、3SPR以及2SPR/UPR為基礎(chǔ)，串聯(lián)一個具有兩自由度擺頭的串聯(lián)機(jī)構(gòu)組成；王書森等[18]提出了一種以四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)2RPU/2UPS為主體，輔以一具有移動功能的直線導(dǎo)軌組成的五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，上述五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)在實際生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。

螺旋線為空間圓弧和與該圓弧平面垂直的直線運(yùn)動的合成，相比直線插補(bǔ)算法，圓弧插補(bǔ)算法復(fù)雜得多，其中傳統(tǒng)空間圓弧插補(bǔ)算法計算繁瑣，工作量大[19-20]，因此對空間圓弧插補(bǔ)算法的研究極其重要。

本文在結(jié)合傳統(tǒng)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，設(shè)計一種由兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)和三自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)成的新型五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，并提出一種基于等弧度數(shù)據(jù)采樣的新型空間圓弧插補(bǔ)算法。

1 五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型

基于橡膠樹割膠軌跡要求，本文提出由兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)和三自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)成的五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 5-DOF hybrid mechanism1.機(jī)座 2、8.球鉸 3、5、6.虎克鉸 9.大臂 4、7、12.電動缸 10、11、13、14、15.轉(zhuǎn)動副 16.末端執(zhí)行器

圖2 兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.2 2-DOF parallel mechanism

其中，兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由機(jī)座、2個結(jié)構(gòu)完全相同的SPU(球副-移動副-虎克鉸)型驅(qū)動分支以及1個U(虎克鉸)型約束分支構(gòu)成，可等效為2SPU+U并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其三維模型以及結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。通過控制2個 SPU驅(qū)動分支的長度即可實現(xiàn)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿的調(diào)整。

三自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)包括3個轉(zhuǎn)動自由度，可等效為RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)。圖1中轉(zhuǎn)動副10由RPR (轉(zhuǎn)動副-移動副-轉(zhuǎn)動副) 型驅(qū)動分支驅(qū)動，該驅(qū)動分支兩端為轉(zhuǎn)動副11和13，分別與混聯(lián)機(jī)構(gòu)大臂和小臂相連，增加了RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度。

結(jié)合上述兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)2SPU+U與三自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)RRR，該五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)可等效為2SPU+U+RRR機(jī)構(gòu)。

2 混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析

由上述五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖可知，2個SPU型驅(qū)動分支和一個RPR驅(qū)動分支分別驅(qū)動虎克鉸3和轉(zhuǎn)動副10，將上述3個驅(qū)動分支舍去，該混聯(lián)機(jī)構(gòu)便可等效為U+RRR五自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖3所示。因此，對該混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析可簡化為對U+RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)的分析。

圖3 U+RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.3 Schematic diagram of U+RRR series mechanism

串聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析有旋量理論[21]和D-H法[22-25]，由于D-H法可快速簡潔地求出機(jī)械臂正、逆運(yùn)動學(xué)表達(dá)式，故本文采用D-H法對該U+RRR機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析。通過圖3可以看出該U+RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)具有5個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，各關(guān)節(jié)軸線之間互相垂直或平行，建立其連桿坐標(biāo)系，各坐標(biāo)系z軸與各關(guān)節(jié)軸線重合，如圖3所示。其D-H參數(shù)如表1所示，其中，θi為連桿i繞關(guān)節(jié)i的Zi-1軸的轉(zhuǎn)角；di為連桿i沿關(guān)節(jié)i的Zi-1軸的位移；ai為沿Xi方向上連桿i的長度；αi為連桿i兩關(guān)節(jié)軸線之間的扭角。

表1 U+RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)D-H參數(shù)Tab.1 D-H parameters of U+RRR series mechanism

2.1 U+RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動學(xué)分析

機(jī)器人正向運(yùn)動是指給出機(jī)器人各連桿幾何參數(shù)和各關(guān)節(jié)變量，求解機(jī)器人末端執(zhí)行器在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。根據(jù)連桿坐標(biāo)系之間的齊次變換關(guān)系求出該五自由度串聯(lián)機(jī)械臂相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6為

機(jī)械臂末端執(zhí)行器相對于基坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣0T6可表示

(1)

其中

nx=cθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)-sθ2sθ3sθ5

ny=sθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)-
cθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)-sθ1sθ2sθ4)
nz=sθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)-
cθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)+cθ1sθ2sθ4)
ox=cθ2cθ4+cθ3sθ2sθ4
oy=sθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)+cθ4sθ1sθ2
oz=sθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)-cθ1cθ4sθ2
ax=sθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)+cθ5sθ2sθ3
ay=-sθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)-sθ1sθ2sθ4)-
cθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)
az=-sθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)+cθ1sθ2sθ4)-
cθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)
px=Hsθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)-a1sθ2+d1sθ2sθ3+
Hcθ5sθ2sθ3
py=a1cθ2sθ1-d1(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)-
Hsθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1-sθ1sθ2sθ4))-
Hcθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)pz=-d1(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)-a1cθ1cθ2-
Hsθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3+cθ1sθ2sθ4))-
Hcθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)

上式中，sθi=sinθi，cθi=cosθi，i=1,2，…,5。至此，該U+RRR串聯(lián)機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)正解求解完畢。

2.2 U+RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)反解分析

機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)為正運(yùn)動學(xué)的逆過程，即已知機(jī)器人末端執(zhí)行器在基坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)，求解相應(yīng)的各關(guān)節(jié)變量，它是機(jī)器人運(yùn)動控制和軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)，也是運(yùn)動學(xué)的重要部分。本文采用解析法求解該U+RRR機(jī)械臂的逆解，求解過程如下：

(1)求解θ3

設(shè)該機(jī)械臂所期望的位姿為

0T6=0T11T22T33T44T55T6

(2)

式(3)～(5)平方相加，化簡得

(6)

即

(7)

(8)

由式 (7)、(8)可得

(9)

(2)求解θ2

由式(4)得

(10)

(11)

由式(10)、(11)可得

(12)

(3)求解θ1

由式(5)得

-Asinθ1+Bcosθ1=N

(13)

其中

N=-d1cosθ3

利用三角函數(shù)代換關(guān)系，引入中間變量r和φ，設(shè)

A=rcosφ

(14)

B=rsinφ

(15)

(16)

得

φ=Atan2(B,A)

(17)

則式 (13) 可轉(zhuǎn)換為

(18)

利用三角函數(shù)和差化積公式，式(18)可轉(zhuǎn)換為

(19)

(20)

則有

(21)

(4)求解θ4

令L=Hcosθ4sinθ5，K=Hsinθ4sinθ5，式(23)與式(22)相除，化簡得

θ4=Atan2(K,L)

(24)

(5)求解θ5

p65x=py[sinθ1(sinθ2sinθ4+cosζ2cosθ3cosθ4)-
cosθ1cosθ4sinθ3]+
px(cosθ2sinθ4-cosθ3cosθ4sinθ2)-
a1cosθ3cosθ4-pz[cosθ1(sinθ2sinθ4+
cosθ2cosθ3cosθ4)+cosθ4sinθ1sinθ3]=Hsinθ5

(25)

p65y=py(cosθ1cosθ3+cosθ2sinθ1sinθ3)+
pz(cosθ3sinθ3-cosθ1cosθ2sinθ3)+
d1-a1sinθ3-pxsinθ2sinθ3=-Hcosθ5

(26)

令W=Hsinθ5，G=-Hcosθ5，式(25)與式(26)相除，得

θ5=Atan2(W,-G)

(27)

至此，完成了對該U+RRR機(jī)械臂的逆運(yùn)動學(xué)求解。

由式(9)、(12)、(21)可知，逆解θ1、θ2和θ3均存在正負(fù)2種可能解，因此該機(jī)械臂逆解具有多解性，即可以有多個位形來到達(dá)機(jī)械臂所要求的位姿，而對機(jī)械臂進(jìn)行控制時，只需選擇其中一個適合的解來處理。在實際應(yīng)用中，一般根據(jù)最短行程原則從多組關(guān)節(jié)角中選出機(jī)械臂的最優(yōu)解。最短行程原則是指選擇與當(dāng)前關(guān)節(jié)角差距最小的下一組解作為最優(yōu)解，從而使兩時刻之間關(guān)節(jié)運(yùn)動距離最短，以減少機(jī)器人運(yùn)動過程中能量的消耗。在關(guān)節(jié)角最優(yōu)解選擇過程中，一旦遇到有2個可能解，立刻應(yīng)用最短行程原則進(jìn)行判斷，再利用新確定的最優(yōu)解根據(jù)最短行程原則確定后續(xù)關(guān)節(jié)角，以此類推，每個關(guān)節(jié)只有一組關(guān)節(jié)角是合理的。最優(yōu)解的確定流程如圖4所示。

圖4 機(jī)械臂逆解唯一性確定流程圖Fig.4 Flow chart of inverse kinematics ascertain for robot arm

2.3 機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)正反解驗證

為驗證上述機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)正反解求解的正確性，設(shè)機(jī)械臂末端執(zhí)行器沿一直線運(yùn)動，直線的起始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終止點(diǎn)坐標(biāo)分別為ps=(0,-89,132)、pm=(10,-94,137)和pe=(20,-99,142)，運(yùn)動過程中其末端執(zhí)行器z軸姿態(tài)始終為a=(ax,ay,az)=(0,-1,0)。以機(jī)械臂在直線起始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終止點(diǎn)時正反解為例，在Matlab中編寫程序?qū)φ唇庹_性進(jìn)行驗證，驗證流程如圖5所示。

圖5 機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)正反解驗證流程圖Fig.5 Verification flow chart of inverse/forward kinematics for robot arm

根據(jù)圖4所示流程圖求出機(jī)械臂在直線起始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終止點(diǎn)時最優(yōu)關(guān)節(jié)角，如表2所示。將表2中求得的3組機(jī)械臂最優(yōu)關(guān)節(jié)角代入運(yùn)動學(xué)正解方程式(1)中，求得機(jī)械臂末端位置和姿態(tài)，如表3所示。

表2 U+RRR 機(jī)械臂逆解求解Tab.2 Inverse kinematics of U+RRR series mechanism

表3 U+RRR機(jī)械臂正解求解Tab.3 Forward kinematics of U+RRR series mechanism

從表2和表3可以看出，表3中機(jī)械臂3組最優(yōu)關(guān)節(jié)角對應(yīng)的末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與表2中機(jī)械臂3組關(guān)節(jié)角對應(yīng)的位置和姿態(tài)完全一致，說明運(yùn)動學(xué)正反解的正確性。

2.4 2SPU+U并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析

當(dāng)求出上述U+RRR串聯(lián)機(jī)械臂θ1、θ2后，通過坐標(biāo)變換可求出并聯(lián)機(jī)構(gòu)兩電動缸的長度與θ1、θ2的關(guān)系。

在靜平臺B0點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系B0X0Y0Z0與動坐標(biāo)系B0uvw，X0軸與約束支鏈上虎克鉸U的固定轉(zhuǎn)動軸軸線重合，Z0軸與靜平臺垂直，Y0軸根據(jù)右手定則確定；u軸與X0軸重合，w軸沿B0A0方向，v軸根據(jù)右手法則確定，在A0點(diǎn)建立動坐標(biāo)系A(chǔ)0x0y0z0，x0軸為從點(diǎn)A0指向點(diǎn)A1的方向，z0軸沿B0A0方向，y0軸根據(jù)右手法則確定，如圖2所示。初始時刻固定坐標(biāo)系B0X0Y0Z0與動坐標(biāo)系B0uvw重合，機(jī)構(gòu)動、靜平臺平行，且θ1=0，θ2=0，動坐標(biāo)系A(chǔ)0x0y0z0在固定坐標(biāo)系B0X0Y0Z0中位置為(0,0,Z)，其中，Z為動平臺與固定平臺的初始距離。Bi(i=0,1,2)在固定坐標(biāo)系B0X0Y0Z0中坐標(biāo)為

(28)

點(diǎn)Ai(i=0,1,2)在動坐標(biāo)系A(chǔ)0x0y0z0中位置為

(29)

設(shè)動平臺首先繞u軸旋轉(zhuǎn)θ1，然后繞v軸旋轉(zhuǎn)θ2，由于所有變換矩陣均相對運(yùn)動坐標(biāo)系B0uvw進(jìn)行，根據(jù)“從左向右”計算原則，得相應(yīng)的齊次變換矩陣為

此時，動平臺上Ai(i=0,1,2) 點(diǎn)在固定坐標(biāo)系B0X0Y0Z0中的位置可表示為

(30)

式中TZ——初始時刻動平臺相對于固定坐標(biāo)系的齊次變換矩陣

則SPU驅(qū)動分支的長度可表示為

(31)

3 空間圓弧插補(bǔ)算法研究

提出了一種基于等弧度數(shù)據(jù)采樣的空間圓弧插補(bǔ)算法，該方法對圓弧路徑進(jìn)行等弧度離散分割，再對分割后的圓弧進(jìn)行粗插補(bǔ)，不需求解圓弧所在的平面方程，也無需坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，簡化了插補(bǔ)算法的計算量。對于圓心角θ，需考慮0<θ≤π和π<θ<2π兩種情況。

圖6 空間圓弧插補(bǔ)原理Fig.6 Interpolation principle of space arc

(1)對于圓心角0<θ≤π的情況

設(shè)給定圓弧上起始點(diǎn)ps=(xs,ys,zs)、終止點(diǎn)pe=(xe,ye,ze)以及圓弧圓心p0=(x0,y0,z0)，設(shè)圓弧半徑為R，則有

lp0ps=lp0pe=R

(32)

現(xiàn)根據(jù)起始點(diǎn)ps、終止點(diǎn)pe以及圓心p0求取圓弧上插補(bǔ)點(diǎn)pi的位置坐標(biāo)，如圖6a所示。首先從起始點(diǎn)ps到終止點(diǎn)pe對圓弧進(jìn)行等弧度分割，弧長的分割精度為ΔL，由于弧長與其圓心角有關(guān)，故采取對圓心角等角度細(xì)分的方法對圓弧進(jìn)行等弧度細(xì)分，根據(jù)分割弧長ΔL計算完成整個圓弧軌跡所需的插補(bǔ)次數(shù)n，再計算圓弧上第j個插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)pj，具體計算過程如下：

通過起始點(diǎn)ps和終止點(diǎn)pe的位置坐標(biāo)可計算出弦pspe的長度L，即

(33)

根據(jù)半徑R及弦長L計算圓心到弦pspe的距離H，即

(34)

根據(jù)半徑R以及圓心角計算圓弧pspe的長度K為

K=Rθ

(35)

根據(jù)圓弧分割精度ΔL計算圓弧插補(bǔ)次數(shù)n為

(36)

設(shè)第j個插補(bǔ)點(diǎn)為pj，其與圓心p0的連線與弦pspe相交于點(diǎn)p′j，則psp′j的長度為

(37)

點(diǎn)p′j的坐標(biāo)為

(38)

直線p0p′j的長度為

(39)

因點(diǎn)p0、p′j和pj共線，進(jìn)而求得插補(bǔ)點(diǎn)pj的坐標(biāo)為

(40)

(2)對于圓心角π<θ<2π的情況

圓弧pspe對應(yīng)圓心角π<θ<2π的情況如圖6b所示，欲求圓弧pspe上的插補(bǔ)點(diǎn)pj，可延長直線psp0與圓弧交于點(diǎn)p′s，延長直線pep0與圓弧交于點(diǎn)p′e，此時，圓弧pspe被分為圓弧psp′e、圓弧p′ep′s以及圓弧p′spe，上述每段圓弧所對應(yīng)的圓心角均小于π，故對每段圓弧可采用圓心角0<θ≤π對應(yīng)的情況進(jìn)行插補(bǔ)點(diǎn)的計算，在此不再敘述。

根據(jù)以上推導(dǎo)可求出每個插補(bǔ)點(diǎn)pj的位置坐標(biāo)，對機(jī)器人在這些插補(bǔ)點(diǎn)的位置進(jìn)行逆解計算，便可求出機(jī)器人各驅(qū)動關(guān)節(jié)所需的位移。

4 空間圓弧插補(bǔ)算法驗證

4.1 圓弧插補(bǔ)算法Matlab仿真驗證

(1) 對圓心角0<θ≤π的情況進(jìn)行Matlab仿真：設(shè)圓弧的起始點(diǎn)、終止點(diǎn)和圓心坐標(biāo)分別為ps=(0,-89,142)、pe=(10,-89,132)和p0=(10,-89,142)。設(shè)圓弧分割精度為ΔL=0.1 mm，在Matlab中編寫圓弧插補(bǔ)算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7a所示。

圖7 空間圓弧插補(bǔ)軌跡圖Fig.7 Track charts of space arc interpolation

(2) 對圓心角π<θ<2π的情況進(jìn)行圓弧Matlab仿真：設(shè)圓弧的起始點(diǎn)、終止點(diǎn)和圓心坐標(biāo)分別為ps=(10,-89,132)、pe=(0,-89,142)和p0=(10,-89,142)。直線psp0延長線與圓弧交點(diǎn)坐標(biāo)為p′s=(10,-89,152)，直線pep0延長線與圓弧交點(diǎn)坐標(biāo)為p′e=(20,-89,142)，在Matlab中編寫圓弧插補(bǔ)算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7b所示。

(3) 繪制一個整圓：取上述圓弧圓心角0<θ≤π與圓心角π<θ<2π兩種情況相同的起始點(diǎn)、終止點(diǎn)和圓心坐標(biāo)點(diǎn)，在Matlab中編寫繪制整圓的圓弧插補(bǔ)算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7c所示。

4.2 插補(bǔ)算法試驗樣機(jī)驗證

為對上述圓弧插補(bǔ)算法進(jìn)行驗證，基于提出的2SPU+U+RRR五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，搭建實驗樣機(jī)，控制系統(tǒng)采用“運(yùn)動控制卡(DSP28335) + PC機(jī)”的方法，以PC機(jī)作為上位機(jī)，運(yùn)動控制卡 (DSP28335) 作為下位機(jī)，由DSP28335控制器完成控制信號的生成，采用毛筆在白紙上畫出圓弧軌跡的方法對上述圓弧插補(bǔ)算法進(jìn)行驗證。通過TI公司提供的CCS5.5編譯軟件對該混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動控制程序進(jìn)行編譯處理，實現(xiàn)對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動控制。

通過上述圓弧插補(bǔ)算法可得圓弧的實時插補(bǔ)坐標(biāo)，圖8為該混聯(lián)機(jī)構(gòu)所畫的圓弧軌跡。其中，圖8a為圓弧圓心角0<θ≤π，圓弧的起始點(diǎn)、終止點(diǎn)和圓心坐標(biāo)分別為ps=(0,-89,142)、pe=(10,-89,132)和p0=(10,-89,142)所對應(yīng)的空間圓??；圖8b為圓弧圓心角π<θ<2π，且圓弧的起始點(diǎn)、終止點(diǎn)和圓心坐標(biāo)分別為ps=(10,-89,132)、pe=(0,-89,142)和p0=(10,-89,142)所對應(yīng)的空間圓弧；圖8c為上述兩個圓弧合并成整圓。

圖8 圓弧插補(bǔ)實驗Fig.8 Experiment pictures of space arc interpolation

由圖8可以看出，所畫的圓弧軌跡平滑，銜接緊密，筆畫清晰，驗證了上述圓弧插補(bǔ)算法的正確性。

5 結(jié)論

(1)提出了一種由兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)和三自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)成的五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中，兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)增加機(jī)構(gòu)的承載能力和剛度，三自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)增加機(jī)器人的剛度、靈活性和工作空間，相對傳統(tǒng)混聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有更大工作空間和更高剛度。

(2)將五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)等效為U+RRR串聯(lián)機(jī)構(gòu)，對串聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)正反解分析，確定了逆解唯一解的選取原則，并驗證了運(yùn)動學(xué)正反解解析表達(dá)式的正確性。根據(jù)得到的虎克鉸U兩軸線轉(zhuǎn)動角度θ1、θ2，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換求得了兩驅(qū)動分支SPU桿長的表達(dá)式，為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動控制奠定理論基礎(chǔ)。

(3)為滿足對工件復(fù)雜曲面的加工需要，提出了一種基于等弧度數(shù)據(jù)采樣的新型空間圓弧插補(bǔ)算法，該方法對圓弧路徑進(jìn)行等弧度離散分割，直接在笛卡兒坐標(biāo)系中進(jìn)行，無需坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，簡化了插補(bǔ)算法的計算量，通過Matlab仿真和樣機(jī)實驗驗證了該方法的正確性。

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