12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構正向運動學研究

尤晶晶 符周舟 吳洪濤 李成剛 周 為

(1.南京林業(yè)大學機械電子工程學院， 南京 210037； 2.南京林業(yè)大學汽車與交通工程學院， 南京 210037；3.南京航空航天大學機電學院， 南京 210016； 4.江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室， 南京 210016)

引言

1965年，英國工程師STEWART[1]在進行飛行模擬器的研究中首次提出一種含6條相同支鏈的并聯(lián)機構。與串聯(lián)機構相比，并聯(lián)機構具有結構緊湊、輸出精度高、動態(tài)特性好、承載能力強等特點[2]，這些優(yōu)點使其能夠適用于光學望遠鏡中主鏡和副鏡的位姿調(diào)整[3]、主從遙操作中手控器的驅動[4]、精密儀器中六維振動的傳感[5]及隔離[6]等場合。然而，在實際應用中，六自由度并聯(lián)機構的實時反饋控制一般很難實現(xiàn)，這限制了執(zhí)行器的工作精度和效率，嚴重影響了進一步的推廣應用。究其原因，由于多輸入、多輸出量的強耦合性，六自由度并聯(lián)機構的正向運動學問題[7]最終歸結為多元非線性方程組的求解，這個過程極其復雜，是繼空間6R串聯(lián)機器人位移分析完成后的又一機構學難題。

Stewart機構是六自由度并聯(lián)機構中最基本的構型[8]，主要包括平臺型和臺體型兩大類，它們的正向運動學問題引起了眾多學者的廣泛關注。從研究方法上看，主要有數(shù)值法和解析法兩種。數(shù)值法的優(yōu)點是省去了對約束方程的繁瑣的消元處理過程，直接運用Newton-Raphson等數(shù)值逼近的思路[9-11]求解非線性方程組；然而，這種方法不能得到全部解，且初值選取及搜索算法對收斂性、效率、精度的影響較大，同時不利于速度、加速度的分析。因此，目前以解析法為主。文獻[12]針對6-6平臺型Stewart機構，運用分次字典序Groebner基法消元，得到一元20次方程；文獻[13]針對6-3平臺型Stewart機構，運用正交補法消元并舍棄系數(shù)較小的高次項，得到一元8次方程；文獻[14]針對6-6臺體型Stewart機構，運用共形幾何代數(shù)建立運動學方程，并運用Grobner基法消元，得到一元40次方程；文獻[15]針對6-4臺體型Stewart機構，構造10階Sylvester結式，得到一元32次方程；文獻[16]針對5-5臺體型Stewart機構，構造8階Dixon結式，得到一元40次方程。以上算法的基本思路是一致的，即通過各種消元法，將多元非線性方程組轉換成僅含單變量的一元高次方程。然而，獲得的高次方程仍需要通過數(shù)值法求解，并沒有實現(xiàn)運動學正解的全解析化，依然存在計算耗時及失根等問題。

文獻[17]研究發(fā)現(xiàn)，并聯(lián)機構正向運動學求解難易性與機構的耦合度指標有關，并指出，耦合度越低則正向運動學的解算越簡單，且通過綜合低耦合度的拓撲構型可能會得到其全解析解。文獻[18]設計了一種零耦合度的9-3臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構，運用“三點法”推導出了正向運動學的全解析解。然而，該機構中存在3個三重復合球面副，故面臨制造、裝配等難題。本文在此基礎上，提出一種不含三重復合球面副的12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構，首先，運用方位特征集理論計算基本運動鏈(Basic kinematic chain, BKC)及機構的耦合度；接著，在慣性系內(nèi)推導并聯(lián)機構正向運動學的全解析解，并對機構位姿求解的相容性條件以及角速度求解時可能出現(xiàn)的特殊情況進行分析；最后，通過虛擬實驗對正解算法的正確性和實時性進行驗證。

1 拓撲構型分析

圖2 12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構拓撲構型Fig.2 Topological configuration of general 12-6 Stewart redundant parallel mechanism

12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構的結構模型及拓撲構型分別如圖1、2所示。該機構由1個動平臺、1個靜平臺以及6個完全相同的混合單開鏈支路(記為HSOC支路)構成。其中，HSOC支路是在傳統(tǒng)“3S-2P”[19]空間五桿回路的頂端球面副上再串聯(lián)連接1個同心的球面副形成的，6個二重復合球面副分別固結在立方體狀動平臺的6條棱邊的中點。初始狀態(tài)下，所有支鏈的長度相等，動平臺位于靜平臺的幾何中心處，其6個面分別與靜平臺的6個面平行。圖2中，實心圓圈Bi、空心圓圈bi、“U型”連接件pi分別代表第i個二重復合球面副、一般球面副和移動副。

圖1 12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構結構模型Fig.1 Structure model of general 12-6 Stewart redundant parallel mechanism1.球面副 2.移動副 3.動平臺 4.靜平臺

以支路拓撲結構的基本類型來劃分[17]，該機構本質(zhì)上屬于6-HSOC{-(R(3S-2P)-P(3S-2P)-P(3S-2P))-S-}型。因此，動平臺的方位特征集就是6個HSOC支路末端構件的方位特征集的交集，即

(1)

式中Mp——動平臺的方位特征集

Mi——第i個HSOC支路的方位特征集

t3、r3——相對于慣性參考系，構件存在的三維獨立移動和三維獨立轉動

機構自由度為

D=dim.(Mp)=6

(2)

式中 dim.——方位特征集的維數(shù)

根據(jù)單開鏈(記為SOC)單元的機構組成原理[20]，11個獨立回路的獨立位移方程數(shù)為

ξi=6 (i=1,2,…,11)

(3)

式中ξi——第i個獨立回路的位移方程數(shù)

根據(jù)機構拓撲結構的分解算法[20]，確定SOC分解路線。首先，取SOC1{-b1-p1-B1-p2-b2-},并結合式(3)，計算約束度為

(4)

式中m1——SOC1的運動副數(shù)

fi——第i個運動副的自由度(不包含局部自由度)

I1——SOC1的驅動副數(shù)

根據(jù)基本運動鏈的判定方法[20]，SOC1滿足約束度的“最小劃分”條件，對應于第1個BKC，可以計算其耦合度為

(5)

然后，取SOC2{-b3-p3-B2-p4-b4-}、SOC3{-b5-p5-B3- p6-b6-}，對應于第2、3個BKC，同理可得

k2=k3=0

(6)

分別將b1、b2連線和b3、b4連線的轉軸記為R(b1-b2)、R(b3-b4)。取SOC4{-R(b1-b2)-B1-B2-R(b3-b4)-}, 其約束度為

(7)

取SOC5{-R(B1-B2)-B3-R(b5-b6)-},其約束度為

(8)

第4個BKC的耦合度為

(9)

進一步地，取SOC6{-b7-p7-B4-}、SOC7{-b8-p8- B4-}、SOC8{-b9-p9-B5-}、SOC9{-b10-p10-B5-}、SOC10{- b11-p11-B6-}、SOC11{-b12-p12-B6-},它們的約束度以及對應BKC的耦合度為

(10)

(11)

考慮到耦合度是BKC的一種拓撲不變量[21]，故在機構的工作空間中，10個BKC的耦合度均保持不變。這樣，整個機構的耦合度k也是恒定值，即

k=max(k1,k2,…,k10)=1

(12)

式(12)顯示，新型拓撲結構的耦合特性表現(xiàn)為弱耦合，表明每個回路的變量不能獨立求出，需要將多個回路方程聯(lián)立求解，這為構建并聯(lián)機構的正向運動學模型指明了方向。

2 正向運動學模型

并聯(lián)機構的“正向運動學”指的是：已知支鏈的輸入驅動量，求解動平臺的輸出運動參數(shù)，包括位姿、速度等信息。

2.1 位姿正解

在靜平臺上固連慣性系{X-Y-Z}，如圖2所示，坐標原點位于初始狀態(tài)下的動平臺中心處。這樣，靜平臺上12個一般球面副的坐標可以統(tǒng)一成矩陣形式

(13)

式中b1～b12——同名點的幾何中心在慣性系內(nèi)的笛卡爾坐標

n——動平臺半邊長

L——支鏈初始長度

將動平臺的中心記作M，由機構的拓撲構型可知，M與B1～B6之間滿足一定的幾何關系，如圖3所示。

圖3 動平臺中心與復合球面副中心之間的幾何關系Fig.3 Geometric relations between centers of moving platform and compound spherical pairs

運用立體幾何知識容易證明出，3條線段B1B4、B2B5、B3B6的中點重合于點M；4個點B1、B2、M、B3位于同一平面上，且構成一個菱形。因此，這7個特征點的坐標之間滿足

B1+B4=B2+B5=B3+B6=2M

(14)

B1+M=B2+B3

(15)

(16)

式中B1～B6、M——同名點的幾何中心在慣性系內(nèi)的笛卡爾坐標

|·|——矢量的模

動平臺的位姿可以用B1、B2、B3、M點的坐標來描述，將它們視為待求量

(17)

根據(jù)12條支鏈的長度約束關系結合式(13)～(17)，建立并聯(lián)機構輸入、輸出量集合中的位姿映射方程組

(18)

(19)

(20)

(21)

(x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2=2n2

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(x2-x0)2+(y2-y0)2+(z2-z0)2=2n2

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(x3-x0)2+(y3-y0)2+(z3-z0)2=2n2

(32)

式中l(wèi)i——第i條支鏈的長度，在正向運動學模型中為已知量

由式(18)～(32)可知，15個二次相容方程中存在若干對同構關系[22]；進一步分析后發(fā)現(xiàn)，同構方程兩兩相減，能夠消去二次項，得到四組線性封閉方程

(33)

(34)

(35)

(36)

其中

再結合式(15)，得到剩余3個未知量的解析式

x1=x2+x3-x0

(37)

z2=z1-z3+z0

(38)

y3=y1-y2+y0

(39)

至此，解決了新型并聯(lián)機構的位姿正解問題，具體算法流程如圖4所示。其中，虛線框中的變量為已知量，實線框中的變量為待求量。

圖4 位姿正解的算法流程Fig.4 Algorithm flow chart of forward displacement analysis

由圖4可知：

(1)盡管本機構在結構上弱耦合，但由于其拓撲構型的冗余性和對稱性，仍然存在確定的、唯一的、全解析形式的位姿正解，這為后續(xù)的實時反饋控制提供了有利條件。

(2)本機構的動平臺位姿信息中，每一個特征量均與所有支鏈的長度有關，且關聯(lián)程度高，表現(xiàn)為輸入-輸出運動的強耦合特性，故對驅動輸入精度的要求較高。關于輸出量對輸入量的誤差敏感度及誤差傳遞模型，將另文推導。

2.2 桿長協(xié)調(diào)方程

將動平臺視作剛性結構，運動過程中特征點之間的相對距離保持不變。因此，2.1小節(jié)中求解了的12個未知量之間除了滿足式(22)、(27)、(32)的3個關系之外，還滿足如下3個約束方程

(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2=2n2

(40)

(x2-x3)2+(y2-y3)2+(z2-z3)2=6n2

(41)

(x1-x3)2+(y1-y3)2+(z1-z3)2=2n2

(42)

將式(33)～(39)的解析結果代入式(22)、(27)、(32)、(40)～(42)中并展開，得到12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構的桿長協(xié)調(diào)方程。一般情況下，協(xié)調(diào)方程的結構較為冗長，限于篇幅，這里不列出具體展開式。特殊地，當所有支鏈均采用微幅驅動時，桿長變化量的二次項可以忽略，此時，桿長協(xié)調(diào)方程可以近似展開成

(43)

可見，該并聯(lián)機構的12條桿長(輸入量)之間并不是完全獨立的；任意給定N(6≤N≤11)條桿長，可通過解析或數(shù)值的方法計算出其他(12-N)條桿長。

容易證明出，當并聯(lián)機構的12條桿長同時滿足6個桿長協(xié)調(diào)方程時，其正向運動學方程組滿足相容性條件。此時，方程組的解的個數(shù)至少為1，因此，按照圖4算法得到的正解中一定沒有增根。另一方面，四組線性封閉方程(33)～(36)是通過將15個二次相容方程(18)～(32)兩兩相減(求交集)獲得的，即前者的解一定包含了后者的解，因此，上述正解中也一定不會出現(xiàn)失根的情況。

2.3 速度正解

將式(33)等號兩邊同時對時間求一階導數(shù)，得到動平臺中心線速度v的解析式(唯一解)

(44)

分別將式(34)～(36)的等號兩邊對時間求一階導數(shù)，整理后提取出其中的3個變量解析式

(45)

(46)

(47)

根據(jù)速度基點法，聯(lián)列4個特征點速度之間的矢量關系

(48)

其中

qj=M-Bj(j=1,2,3)

式中ω——動平臺角速度

上標“^”表示矢量的反對稱矩陣。

分別提取式(48)中3個矢量方程的第3行、第1行和第1行，構成一組新的獨立方程

(49)

其中

式中 (·)k——矢量的第k個元素

綜合式(17)、(44)～(47)、(49)，得到動平臺角速度的解析解

(50)

值得一提的是，當矩陣Jω奇異時，式(50)不成立；此時，機構處于奇異位形，在下節(jié)中詳細討論。至此，解決了并聯(lián)機構的速度正解問題。直接對速度正解中的v和ω求導，即得到加速度正解，這里不再贅述。

2.4 奇異曲面方程

由式(44)、(49)得到并聯(lián)機構動平臺速度與特征點速度之間的線性映射關系

(51)

其中

式中Jv,ω——正向雅可比矩陣

E3——三階單位矩陣

O3——三階零矩陣

由式(44)～(47)可得特征點速度與支鏈速度之間的線性映射關系

(52)

式中JL——逆向雅可比矩陣

由式(51)、(52)，得到并聯(lián)機構動平臺速度與支鏈速度之間的解析映射關系

(53)

當鎖定動平臺的輸出時，式(53)轉換為

(54)

進一步地，結合矩陣理論，得到新型并聯(lián)機構的第1類奇異曲面方程

(55)

特殊地，當所有支鏈均采用微幅驅動時，式(55)可以展開成

L2+2Ln+2n2=0

(56)

由于n、L均為正數(shù)，式(56)一定不成立，第1類奇異曲面方程無解，故機構不存在第1類奇異位形。

當鎖定驅動支鏈的輸入時，式(53)轉換為

(57)

結合桿長協(xié)調(diào)方程可知，若rank(Jv，ω)<6，則v、ω的解不唯一，即存在非零解，機構學上表現(xiàn)為此時動平臺出現(xiàn)了瞬時運動，這種現(xiàn)象對應于機構的第2類奇異[23]。

再結合矩陣理論，得到新型并聯(lián)機構的第2類奇異曲面方程

det(Jω)=0

(58)

特殊地，當所有支鏈均采用微幅驅動時，式(58)可以展開成

3L2+Ln+2n2=0

(59)

同樣，式(59)一定不成立，第2類奇異曲面方程無解，故機構也不存在第2類奇異位形。

機構的第3類奇異[23]是指同時滿足1、2類奇異的情況，故新型并聯(lián)機構奇異曲面方程是式(55)、(58)的組合。

綜上所述，當動平臺上的特征點坐標滿足任意一組奇異曲面方程時，機構的運動狀態(tài)不可控，對應的速度正解模型失效。

3 基于虛擬實驗的算例驗證

為驗證正向運動學模型及其求解算法的正確性，在ADAMS虛擬實驗平臺上構建12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構的虛擬樣機，如圖5所示。其中，動平臺的邊長和支鏈的初始長度分別設定為30、25 mm。

圖5 12-6臺體型Stewart冗余并聯(lián)機構的虛擬樣機Fig.5 Virtual prototype of general 12-6 Stewart redundant parallel mechanism

虛擬實驗中，將動平臺設定為剛體，另外，不考慮球面副、移動副的摩擦和間隙。在View模塊下，對動平臺同時施加線性、旋轉驅動，驅動方程分別為

(60)

式中t——時間，s

sx、sy、sz——3個正交方向的線位移，mm

θx、θy、θz——3個正交方向的角位移，rad

將時間和步長分別設定為60、0.001 s，虛擬實驗結束后，測量并導出12條桿長數(shù)據(jù)以及動平臺上特征點的運動參數(shù)。將桿長數(shù)據(jù)及樣機參數(shù)代入位姿正解模型中，計算6個獨立未知量，并將其與測量值進行對比。經(jīng)核查，所有采樣節(jié)點處均未出現(xiàn)增根或失根的情況。列出2種典型構型下的特征項對比值，如表1所示。結果顯示，位姿正解的計算值與測量值完全一致。

表1 位姿正解的精度驗證Tab.1 Validation of precision of forwarddisplacement analysis mm

進一步地，將桿長數(shù)據(jù)代入速度正解模型中，并運用數(shù)值微分算法中的“三點公式”，計算動平臺的線速度和角速度。同樣地，將計算值與測量值進行對比，其綜合誤差[5]如圖6所示。結果表明，兩者基本吻合，且最大相對誤差僅為0.08%，主要來源于數(shù)值微分中的截斷誤差。

圖6 速度正解的綜合相對誤差Fig.6 Composite relative error of forward velocities analysis

為驗證正解算法的計算效率，參照文獻[5]中的定義，運用Matlab中的“tic-toc”指令獲得1 min內(nèi)位姿正解、速度正解的效率指標值(解算時間與采樣時間之比)，并將其與同一構型、同一參數(shù)的并聯(lián)機構在ADAMS內(nèi)核算法中的指標值作對比，如表2所示。其中，解算時間包括數(shù)據(jù)讀取、計算、保存的時間。結果顯示，本文的計算效率遠遠高于ADAMS內(nèi)核，其指標值小于1，故滿足實時性要求。

表2 運動學正解的效率驗證Tab.2 Validation of efficiency of forward kinematics

4 結論

(1) 提出了一種變體的六自由度Stewart平臺，構型冗余且對稱。機構中含有6個HSOC支路，但不含三重復合鉸鏈，故便于制造和裝配；10個BKC的最大耦合度為1，故結構上表現(xiàn)為弱耦合。

(2)基于若干對同構關系，15個2次約束相容方程可以轉換成只關于動平臺上特征點坐標的1次多項式，實現(xiàn)了并聯(lián)機構位姿正解的全解析化，結果唯一確定且無增根和失根。該方法同樣適用于動平臺上含3個以上二重復合球面副且耦合度小于2的臺體型并聯(lián)機構的正向運動學求解。

(3)以特征點的速度為中間量，運用基點法和微分法直接得到速度正解的全解析式，形式簡潔、便于程式化。結果表明，動平臺線速度的解一定唯一，角速度的解在機構的非奇異位形下也唯一。

(4)虛擬實驗結果表明，位姿正解算法零誤差，效率指標值為0.21；速度正解最大相對誤差為0.08%，效率指標值為0.32。這表明，該類型并聯(lián)機構及其運動學正解算法能夠適用于實時反饋控制的場合。

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