3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)

楊桂林 吳存存 陳慶盈 王 逸 張 馳

(1.中國(guó)科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所， 寧波 315200； 2.浙江省機(jī)器人與智能制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 寧波 315200)

引言

空間四自由度(Degree of freedom，DOF)并聯(lián)機(jī)構(gòu)特別是能實(shí)現(xiàn)SCARA運(yùn)動(dòng)(即沿x、y、z軸的平動(dòng)和繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，也稱3T1R運(yùn)動(dòng))的并聯(lián)機(jī)構(gòu)可廣泛應(yīng)用于分揀、包裝、碼垛、裝配等操作中，其中最普遍的一類是在3-DOF Delta機(jī)器人[1]的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)的，它通過(guò)在動(dòng)、定平臺(tái)之間加裝中間支鏈實(shí)現(xiàn)1-DOF的轉(zhuǎn)動(dòng)。但由于中間支鏈的可伸縮桿通過(guò)一對(duì)分離的萬(wàn)向節(jié)連接到動(dòng)、定平臺(tái)上，很難實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)和精確的運(yùn)動(dòng)。為了克服這些缺點(diǎn)，一類由定平臺(tái)、4條支鏈和雙動(dòng)平臺(tái)組成的SCARA運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[2-8]應(yīng)運(yùn)而生。不同于傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的簡(jiǎn)單剛性結(jié)構(gòu)，這類機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)由2個(gè)子平臺(tái)組成，并通過(guò)其相對(duì)運(yùn)動(dòng)和特別設(shè)計(jì)的傳動(dòng)裝置實(shí)現(xiàn)所需的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。盡管這類SCARA運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)轉(zhuǎn)動(dòng)，但由于雙動(dòng)平臺(tái)的存在，導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)學(xué)都較為復(fù)雜。為此，提出了一類具有4條支鏈和剛性單動(dòng)平臺(tái)的SCARA運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[9-15]。然而，由于運(yùn)動(dòng)奇異和支鏈間的機(jī)械干涉，這類機(jī)構(gòu)的工作空間特別是轉(zhuǎn)動(dòng)范圍受限。為了實(shí)現(xiàn)更大的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍，ANGELES等[16-17]提出一類由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和2條相同的4-DOF混聯(lián)支鏈組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，但其機(jī)械結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。

目前這類可實(shí)現(xiàn)SCARA運(yùn)動(dòng)的單平臺(tái)并聯(lián)機(jī)構(gòu)大多采用4條支鏈、以轉(zhuǎn)動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)副的形式，在輕小物料中、短距離的高速操作方面表現(xiàn)良好。本文提出4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)[18](P代表移動(dòng)副，Pa代表平行四邊形機(jī)構(gòu)副，R代表轉(zhuǎn)動(dòng)副)，其采用2條相同支鏈，以移動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)副。

1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介

1.1 機(jī)構(gòu)描述

圖1 4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 4PPa-2PaR parallel manipulator1.定平臺(tái)(導(dǎo)軌) 2.上部平行四邊形機(jī)構(gòu) 3.上部連接件 4.下部平行四邊形機(jī)構(gòu) 5.下部連接件 6.動(dòng)平臺(tái)

4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和2條相同支鏈組成，如圖1所示。

在每條支鏈上，主動(dòng)移動(dòng)副(P)呈共線布置，安裝在定平臺(tái)上，可利用共用同一定子的2臺(tái)直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)。機(jī)構(gòu)中含有由4個(gè)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)構(gòu)成的閉合回路，即上、下部平行四邊形機(jī)構(gòu)。每條支鏈的上部平行四邊形機(jī)構(gòu)剛性地連接到2個(gè)移動(dòng)副(P)上，下部平行四邊形機(jī)構(gòu)通過(guò)被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)垂直地連接到動(dòng)平臺(tái)上，因而，每條支鏈都是具有SCARA運(yùn)動(dòng)能力的四自由度運(yùn)動(dòng)鏈，故由2條相同支鏈支撐的動(dòng)平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)期望的四自由度SCARA運(yùn)動(dòng)。

圖2 4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)鏈Fig.2 Kinematic chain of 4PPa-2PaR parallel manipulator

參數(shù)含義a/m轉(zhuǎn)動(dòng)副P(pán)1到轉(zhuǎn)動(dòng)副P(pán)2的距離b/m兩導(dǎo)軌之間的寬度d/m轉(zhuǎn)動(dòng)副Dj到動(dòng)平臺(tái)的距離L0/m導(dǎo)軌長(zhǎng)度lu/m上部平行四邊形機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)ld/m下部平行四邊形機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)qi/m主動(dòng)移動(dòng)副Bi的位移αj/rad導(dǎo)軌到上部平行四邊形機(jī)構(gòu)桿件的角βj/rad下部平行四邊形機(jī)構(gòu)桿件CjFj到CjDj的角

建立定坐標(biāo)系{B}:oxyz(原點(diǎn)位于支鏈1導(dǎo)軌一側(cè)，y軸沿導(dǎo)軌方向，x軸沿導(dǎo)軌寬度方向，z軸由右手定則確定)和動(dòng)坐標(biāo){E}:px′y′z′(原點(diǎn)位于動(dòng)平臺(tái)中心，x′軸由轉(zhuǎn)動(dòng)副P(pán)1指向轉(zhuǎn)動(dòng)副P(pán)2，y′軸過(guò)動(dòng)平臺(tái)中心，且在動(dòng)平臺(tái)所在平面垂直于x′軸，z′軸由右手定則確定)。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)獨(dú)立的輸入?yún)?shù)為(q1,q2,q3,q4)，即主動(dòng)移動(dòng)副的位置，輸出參數(shù)為(x,y,z,θ)，即動(dòng)平臺(tái)的位姿。

1.2 自由度分析

基于螺旋理論分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的性質(zhì)，自由度利用修正的G-K公式[19]計(jì)算，即

(1)

如圖2a所示，該機(jī)構(gòu)第1分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系可表示為

(2)

對(duì)式(2)求反螺旋得第1分支約束螺旋系

(3)

同理，可求得第2分支的約束螺旋系。因此，整個(gè)機(jī)構(gòu)的約束螺旋系可求，即包括關(guān)于x軸和y軸的4個(gè)約束力偶，其形成2個(gè)公共約束(λ=2)，限制了支鏈繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。利用修正G-K式(1)求該機(jī)構(gòu)的自由度為

MN=4(22-26-1)+26+0-2=4

(4)

為了分析動(dòng)平臺(tái)4個(gè)自由度的性質(zhì)，可以對(duì)機(jī)構(gòu)的約束螺旋系求二次反螺旋，即

(5)

式(5)表明自由度的性質(zhì)是3個(gè)移動(dòng)運(yùn)動(dòng)和1個(gè)繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。在該機(jī)構(gòu)任何可能的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，式(2)和式(3)總保持不變，公共約束和冗余約束也保持不變，自由度是全周的。因此，證明4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)四自由度的SCARA運(yùn)動(dòng)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析主要包括位置分析和速度分析兩大部分。位置分析的目的是找出主動(dòng)關(guān)節(jié)位移和末端執(zhí)行器姿態(tài)之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。

如圖2和表1所示，設(shè)點(diǎn)Bi、Cj、Dj、Pj相對(duì)于定坐標(biāo)系{B}和點(diǎn)Dj、Pj相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系{E}的位置坐標(biāo)為

(6)

動(dòng)平臺(tái)的位置由矢量給出，其轉(zhuǎn)動(dòng)角度由θ表示?；谔岢龅?PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，給出動(dòng)坐標(biāo)系到定坐標(biāo)系的變換矩陣TBE為

(7)

2.1 位置正解分析

位置正解是當(dāng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和主動(dòng)關(guān)節(jié)的位置(q1,q2,q3,q4)已知時(shí)，求解末端執(zhí)行器的姿態(tài)(x,y,z,θ)。

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)閉環(huán)約束關(guān)系的存在，使得機(jī)構(gòu)的位置正解分析比較困難，不僅涉及求解高次非線性方程，而且具有多種可能解。目前主要的求解方法有解析法[20]和數(shù)值法[21-22]。

(8)

動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)Pi在動(dòng)坐標(biāo)系{E}的坐標(biāo)為P′1=(-a/2,0,0),P′2=(a/2,0,0)。

利用變換矩陣TBE，可求得點(diǎn)Dj相對(duì)于定坐標(biāo)系{B}的坐標(biāo)，即

(9)

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)確定時(shí)，平行四邊形機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)始終保持不變，建立約束方程

(10)

此外，由圖2所示投影幾何關(guān)系可知

(11)

根據(jù)式(8)～(11)可求得約束關(guān)系

(12)

由式(12)可確定4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)移動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)時(shí)，機(jī)構(gòu)的位置正解最多存在8組封閉解。

2.2 位置反解分析

位置反解是當(dāng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和末端執(zhí)行器的姿態(tài)(x,y,z,θ)已知時(shí)求解主動(dòng)關(guān)節(jié)的位置(q1,q2,q3,q4)。

4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單對(duì)稱，利用變換矩陣TBE和圖2所示幾何關(guān)系，可求得該機(jī)構(gòu)的位置反解為

(13)

因此可知，4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解易于求解，最多存在4組封閉解。

2.3 位置分析算例

為驗(yàn)證4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置分析的正確性，給出數(shù)組機(jī)構(gòu)的位置參數(shù)，代入上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正反解方程中，進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，檢驗(yàn)位置分析結(jié)果是否正確。

給出一組4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的計(jì)算實(shí)例，其設(shè)計(jì)參數(shù)為：a=0.2 m，b=0.8 m，lu=0.6 m，ld=0.55 m，L0=2.5 m。特別需要說(shuō)明的是，為了更好地了解該機(jī)構(gòu)并保證分析的一體性，后續(xù)對(duì)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的研究算例同樣采用這組設(shè)計(jì)參數(shù)。

取3組動(dòng)平臺(tái)在定坐標(biāo)系{B}中的位姿參數(shù)(x,y,z，θ)，代入該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解方程式(13)中，求得主動(dòng)關(guān)節(jié)的位置(q1,q2,q3,q4)，如表2所示。之后在該表中任取3組位置反解得到的主動(dòng)關(guān)節(jié)的位置(q1,q2,q3,q4)，作為位置正解方程的輸入值，代入式(12)，可求得如表3所示的動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)在定坐標(biāo)系{B}中的位姿(x,y,z,θ)。

表2 位置反解算例Tab.2 Solutions of inverse displacement

表3 位置正解算例Tab.3 Solutions of forward displacement

通過(guò)對(duì)比分析，表2、3中的位置正、反解計(jì)算結(jié)果吻合，驗(yàn)證了4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置分析的正確性。

2.4 速度分析

速度雅可比矩陣通過(guò)建立動(dòng)平臺(tái)輸出和各支鏈輸入之間的速度矢量方程求得，是研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)。

將4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置約束方程式(12)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，引入?yún)?shù)αj和βj，整理后可求運(yùn)動(dòng)輸入和運(yùn)動(dòng)輸出速度之間的關(guān)系為

(14)

其中

Jq=

Vp——?jiǎng)悠脚_(tái)速度

4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣Jq和G的行列式為

(15)

2.5 轉(zhuǎn)動(dòng)能力分析

根據(jù)對(duì)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣的行列式式(15)可知，機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為[-π/2,π/2]。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)是簡(jiǎn)單單動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)，不含角度放大裝置，對(duì)具有該類特點(diǎn)的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力進(jìn)行對(duì)比，如表4所示。

表4 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)對(duì)比Tab.4 Comparison of 3T1R parallel manipulator

注：SMG:Sch?nflies-motion generator,Sch?nflies運(yùn)動(dòng)發(fā)生器。

由此可知，目前能實(shí)現(xiàn)3T1R運(yùn)動(dòng)的單平臺(tái)對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在不存在額外裝置來(lái)放大轉(zhuǎn)動(dòng)角度的情況下，最大可達(dá)的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為±π/2。此外，目前這類并聯(lián)機(jī)構(gòu)大多是4條支鏈、以轉(zhuǎn)動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)副的形式。

本文提出的4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有2條相同支鏈，以移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副，可通過(guò)直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)。直線電機(jī)的行程可通過(guò)拼接定子來(lái)實(shí)現(xiàn)行程的無(wú)限擴(kuò)展，同時(shí)可通過(guò)在同一定子上配置多個(gè)動(dòng)子來(lái)實(shí)現(xiàn)同一軸向的多個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)控制。沿直線導(dǎo)軌方向的工作空間可無(wú)限擴(kuò)展，這也是該類并聯(lián)機(jī)構(gòu)最大的特點(diǎn)之一。

3 工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間是評(píng)價(jià)其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的重要指標(biāo)，也是進(jìn)行尺度參數(shù)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)[27]。4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間至少需要4個(gè)參數(shù)描述，為了使工作空間可視化，需要對(duì)一個(gè)四維工作空間進(jìn)行降維處理。理論上，對(duì)于4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，沿y方向的工作空間可無(wú)限擴(kuò)展，可通過(guò)固定y，考慮3個(gè)維度構(gòu)成的混合空間，它實(shí)際上是xoz平面的平移工作空間和姿態(tài)空間的耦合，本文稱其為混合空間。

3.1 工作空間確定

對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的研究主要有數(shù)值法和解析法。采用解析法對(duì)工作空間分析需要有位置正解的封閉解，雖然4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)正封閉解存在，但是形式較復(fù)雜，因此本文采用數(shù)值法研究該機(jī)構(gòu)的工作空間，搜索流程如圖3所示，搜索步長(zhǎng)根據(jù)具體要求選擇。

圖3 工作空間搜索流程圖Fig.3 Flow chart of workspace searching

具體基本思路為：將工作空間區(qū)域劃分為很多網(wǎng)格，根據(jù)機(jī)構(gòu)位置方程和約束條件檢查網(wǎng)格形心點(diǎn)是否為可行點(diǎn)，則所有滿足要求的可行點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)楣ぷ骺臻g。

為了更形象地了解4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的混合空間，應(yīng)用上述工作空間搜索方法(圖3)，給出一組計(jì)算實(shí)例，其設(shè)計(jì)參數(shù)為：a=0.2 m，b=0.8 m，lu=0.6 m，ld=0.55 m，L0=2.5 m，沿x、z、θ方向各劃分32、34和60個(gè)網(wǎng)格，其中y=L0/2，d=0.15 m，則可確定該并聯(lián)機(jī)構(gòu)混合空間如圖4所示，大小為0.551 2 m2·rad。

圖4 4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間Fig.4 Workspace of 4PPa-2PaR parallel manipulator

3.2 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)工作空間的影響

為了更直觀了解各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)混合空間的影響，采用單變量法進(jìn)行分析。對(duì)于上述一組計(jì)算實(shí)例，給定各設(shè)計(jì)參數(shù)的限定范圍如表5所示，設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)混合空間的影響如圖5所示。

表5 各設(shè)計(jì)參數(shù)的限定范圍Tab.5 Range of parameters m

圖5 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)工作空間的影響Fig.5 Influence of design parameters on workspace

由圖5可知：①設(shè)計(jì)參數(shù)b、lu對(duì)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)混合空間的影響趨勢(shì)基本是先增大后減小，呈現(xiàn)非線性特點(diǎn)，如圖5b和5c所示。②當(dāng)混合空間存在時(shí)，設(shè)計(jì)參數(shù)a、ld、L0增大，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的混合空間增大，如圖5a、5d和5e所示。不同的是：a、ld對(duì)工作空間的影響是非線性的；L0對(duì)工作空間的影響是線性的，即只要存在混合空間，那么導(dǎo)軌長(zhǎng)度L0越大，工作空間越大，因而可根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需求進(jìn)行選擇。③當(dāng)參數(shù)d在給定區(qū)域變化時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的混合空間幾乎沒(méi)有變化，如圖5f所示，故在設(shè)計(jì)過(guò)程中可根據(jù)實(shí)際情況給定，無(wú)需作為設(shè)計(jì)參數(shù)。④除參數(shù)d和L0外，其余各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)混合空間的影響程度不同，如圖5所示。其中，lu對(duì)混合空間的影響最大，a和ld對(duì)混合空間的影響其次，b對(duì)混合空間的影響相對(duì)較小。⑤當(dāng)各設(shè)計(jì)參數(shù)滿足一定的約束條件時(shí)，開(kāi)始出現(xiàn)工作空間，由4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系可知，需要滿足的約束條件為：ld>(b-acosθ)/2。

3.3 工作空間形狀分析

根據(jù)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間在xoz截面的形狀及奇異位形的情況，可將工作空間分為如下幾種類型：

類型1：當(dāng)下部平行四邊形機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)(即圓的半徑)ld滿足：0

類型3：當(dāng)下部平行四邊形機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)ld滿足：

圖6 4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間形狀Fig.6 Workspace shape of 4PPa-2PaR parallel manipulator

由圖6可知：①4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)如果工作空間存在，則工作空間形狀共有4種類型：類型2～類型5。②4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的每一種工作空間的形狀分布沿x方向關(guān)于2條導(dǎo)軌的中心平面對(duì)稱。③4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的每一種工作空間的形狀分布沿z方向關(guān)于直線z=-lu/2-d對(duì)稱。

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 建立數(shù)學(xué)模型

4.1.1確定設(shè)計(jì)變量

根據(jù)前面對(duì)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的分析可知，導(dǎo)軌長(zhǎng)度L0和轉(zhuǎn)動(dòng)副Dj到動(dòng)平臺(tái)的距離d可根據(jù)具體任務(wù)要求給定。考慮到總體設(shè)計(jì)中已確定的固定參數(shù)，要得到一個(gè)確定的4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要有4個(gè)設(shè)計(jì)變量，即a、b、lu和ld(圖2和表 1)。

4.1.2建立目標(biāo)函數(shù)

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，在滿足約束條件的前提下，通常希望機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊、協(xié)調(diào)性好且具有性能良好的較大工作空間。在考慮4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)特性的基礎(chǔ)上，選擇混合空間作為優(yōu)化目標(biāo)，其他設(shè)計(jì)要求作為約束條件處理。對(duì)結(jié)構(gòu)完全相同的2個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，一般尺寸越大工作空間也越大，可通過(guò)尺度變換使目標(biāo)函數(shù)無(wú)量綱化。因此，選擇可用混合空間的體積占自身體積的比值作為優(yōu)化目標(biāo)，即

4.1.3設(shè)置約束條件

4.1.3.1邊界約束

為了保證在有限空間內(nèi)并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的可行性并便于優(yōu)化計(jì)算，給出4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)各設(shè)計(jì)變量的變化范圍

(16)

4.1.3.2不干涉性約束

在4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，平行四邊形機(jī)構(gòu)的連桿是有一定物理尺寸的。在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，同一平行四邊形機(jī)構(gòu)的兩連桿之間可能發(fā)生干涉；不同平行四邊形機(jī)構(gòu)的連桿也可能發(fā)生干涉。后者可通過(guò)調(diào)整機(jī)構(gòu)布局來(lái)避免。為討論方便，假設(shè)各連桿都是質(zhì)量均勻的圓柱形桿件，Ru和Rd分別表示上、下部平行四邊形機(jī)構(gòu)的連桿半徑，du和dd分別表示上、下部同一平行四邊形機(jī)構(gòu)兩連桿中心線之間的最長(zhǎng)距離，如圖7所示。同一平行四邊形機(jī)構(gòu)的兩桿不發(fā)生干涉，要求兩連桿間的距離大于等于兩連桿半徑之和，即

(17)

圖7 4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)局部結(jié)構(gòu)及尺寸Fig.7 Partial structure and size of 4PPa-2PaR parallel manipulator

4.1.3.3避奇異約束

通過(guò)分析動(dòng)平臺(tái)和主動(dòng)關(guān)節(jié)之間的瞬時(shí)速度關(guān)系來(lái)研究該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形。由式(15)可判斷4PPa-2PaR機(jī)構(gòu)的奇異位形，為避開(kāi)奇異位形，需滿足的約束條件為：

(1)避開(kāi)αj=0時(shí)逆奇異的情況。導(dǎo)軌長(zhǎng)度是一定的，對(duì)j(j=1，2)支鏈而言，上部2個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)拉開(kāi)時(shí)，最高不能超過(guò)導(dǎo)軌所在平面。當(dāng)?shù)竭_(dá)最高極限位置時(shí)，兩滑塊之間的距離應(yīng)小于等于導(dǎo)軌長(zhǎng)度，即

2lucosαjmin≤L0

(18)

(2)避開(kāi)αj=π/2時(shí)逆奇異的情況。上部平行四邊形機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)副中心距離滑塊邊界距離為d0(圖7)。對(duì)j(j=1，2)支鏈而言，當(dāng)上部2個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)靠近，到達(dá)最低極限位置時(shí)，兩滑塊不能相碰，即滿足

lucosαjmax≥d0+du/2

(19)

(3)避開(kāi)βj=π/2逆奇異、β1+β2=π正奇異和β1=β2=π/2混合奇異的情況。根據(jù)圖3所示投影幾何關(guān)系，當(dāng)βj=π/2時(shí)存在如下等式關(guān)系

acosθ+ldsinβ1+ldsinβ2=b

(20)

4.1.3.4工作空間形狀約束

考慮到4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，選擇機(jī)構(gòu)的下部區(qū)域運(yùn)動(dòng)更合理。受機(jī)構(gòu)實(shí)際應(yīng)用情況和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的限制，整個(gè)機(jī)構(gòu)的高度不能太高。綜合各方面因素，對(duì)該機(jī)構(gòu)而言，可選擇上下工作空間分離但內(nèi)部有奇異位形的工作空間(圖6c)，此時(shí)奇異位形位于工作空間區(qū)域的上部?jī)蓚?cè)，“肩部”區(qū)域占比很小，通過(guò)前面施加避奇異約束條件，此時(shí)工作空間的奇異位形是可以避開(kāi)的；或選擇下部無(wú)奇異位形的工作空間(圖6d)。根據(jù)對(duì)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間形狀分析可知，需滿足約束條件

(21)

4.2 選擇優(yōu)化算法

優(yōu)化算法的選擇取決于數(shù)學(xué)模型。根據(jù)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化模型可知，這是一個(gè)非線性的約束優(yōu)化問(wèn)題，無(wú)論目標(biāo)函數(shù)還是約束條件都比較復(fù)雜。為此，本文選擇遺傳算法(Genetic algorithm，GA)作為優(yōu)化方法。該方法廣泛應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全局優(yōu)化問(wèn)題，且不需要目標(biāo)函數(shù)的梯度信息。實(shí)踐表明，GA解決這類優(yōu)化問(wèn)題是簡(jiǎn)單有效的。

4.3 優(yōu)化算例

利用Matlab遺傳算法工具箱對(duì)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，其中GA的參數(shù)選擇直接影響優(yōu)化結(jié)果。本優(yōu)化主要的GA參數(shù)配置和各設(shè)計(jì)參數(shù)的尺寸約束范圍分別如表6和表7所示。

表6 遺傳算法參數(shù)Tab.6 Parameters of genetic algorithm

表7 設(shè)計(jì)參數(shù)的上下邊界Tab.7 Boundary values of design parameters m

利用上述優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及選擇的優(yōu)化算法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果如表 8所示，最佳目標(biāo)函數(shù)值隨進(jìn)化代數(shù)變化曲線如圖8所示，其中Vmechanism=πb(lu+ld)。結(jié)果表明，優(yōu)化后4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間整體體積增加54.43%；工作空間相對(duì)于機(jī)構(gòu)自身比重增加1.52%。由此可見(jiàn)，本文建立的數(shù)學(xué)模型及選擇的優(yōu)化算法是正確、有效的。

表8 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Tab.8 Optimal results of genetic algorithm

圖8 最佳目標(biāo)函數(shù)值隨進(jìn)化代數(shù)變化曲線Fig.8 Changing curves of optimal object function values with generation

考慮到機(jī)構(gòu)的實(shí)際加工精度和制造成本，將優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù)圓整，得到一組機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)為：a=0.3 m，b=1.0 m,lu=0.7 m,ld=0.7 m。

圖9表示優(yōu)化后這組設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)應(yīng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，由此可見(jiàn)，優(yōu)化后并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間結(jié)構(gòu)緊湊，沒(méi)有空洞，具有良好的工作能力。該組優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)可為后續(xù)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)器人的樣機(jī)設(shè)計(jì)提供參考。

圖9 機(jī)構(gòu)優(yōu)化后的工作空間Fig.9 Workspaces after optimization

5 結(jié)束語(yǔ)

以一種可實(shí)現(xiàn)SCARA運(yùn)動(dòng)的4-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，基于螺旋理論驗(yàn)證了4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有4個(gè)自由度、可實(shí)現(xiàn)3T1R運(yùn)動(dòng)。根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和構(gòu)型特點(diǎn)分析了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)位置正解的封閉解最多有8組解，位置反解最多有4組解。利用數(shù)值法和解析法研究了機(jī)構(gòu)的工作空間及其形狀，分析了機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)工作空間的影響和工作空間形狀的約束條件。以可用混合空間的體積占自身體積的比值為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)置影響工作空間的約束條件，基于遺傳算法對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究表明，該機(jī)構(gòu)工作空間結(jié)構(gòu)緊湊，沒(méi)有空洞，具有良好的工作能力，且優(yōu)化后工作空間的體積和工作空間相對(duì)于機(jī)構(gòu)自身的比重明顯增大，優(yōu)化結(jié)果可為后續(xù)4PPa-2PaR并聯(lián)機(jī)器人的樣機(jī)設(shè)計(jì)提供參考。

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