基于IL-HMMs預(yù)測(cè)模型的地下水埋深預(yù)測(cè)研究

蘇 凱 岳德鵬 YANG Di 于 強(qiáng) 馬 歡 張啟斌

(1.北京林業(yè)大學(xué)精準(zhǔn)林業(yè)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100083； 2.佛羅里達(dá)大學(xué)地理系， 蓋恩斯維爾 FL32611)

引言

地下水是我國(guó)北方尤其是西北地區(qū)重要供水水源[1]，是維持區(qū)域社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的首要基礎(chǔ)，對(duì)維護(hù)區(qū)域生態(tài)可持續(xù)發(fā)展起著重要作用[2]。由于地下水持續(xù)過(guò)量開采引起的地面沉降以及生態(tài)惡化問(wèn)題時(shí)有發(fā)生，有必要對(duì)地下水埋深動(dòng)態(tài)變化進(jìn)行研究[3]。根據(jù)地下水位監(jiān)測(cè)資料,對(duì)區(qū)域的地下水現(xiàn)狀水位進(jìn)行預(yù)測(cè)跟蹤，監(jiān)測(cè)水位變化狀況，防止地下水位持續(xù)下降，為區(qū)域地下水資源開發(fā)利用和保護(hù)提供重要技術(shù)支撐[4]，從而達(dá)到水資源的可持續(xù)開發(fā)利用的目的。

目前國(guó)內(nèi)外用于地下水位埋深預(yù)測(cè)的方法主要有時(shí)間序列分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、馬爾可夫法、卡爾曼濾波法[5]及基于機(jī)器學(xué)習(xí)的支持向量機(jī)(SVM)法。盡管這些方法在實(shí)際應(yīng)用中有一定的預(yù)測(cè)效果，但是在資料相對(duì)缺乏時(shí)誤差往往較大而達(dá)不到預(yù)測(cè)精度。如：傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性、正態(tài)性、獨(dú)立性有較高要求，且不適用于復(fù)雜時(shí)間序列；支持向量機(jī)(SVM)法盡管有效地解決了數(shù)據(jù)的非線性、小樣本等問(wèn)題[6]，但仍有不少問(wèn)題，如SVM的核函數(shù)參數(shù)的選擇對(duì)運(yùn)行結(jié)果影響很大，而核函數(shù)參數(shù)的選擇通常需要依靠經(jīng)驗(yàn)[7]。另外傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法需要保存所有的歷史訓(xùn)練數(shù)據(jù)，每當(dāng)有新訓(xùn)練數(shù)據(jù)加入時(shí)，都需要從頭開始重新訓(xùn)練以保證模型對(duì)新數(shù)據(jù)的適應(yīng)性，浪費(fèi)大量的時(shí)間、存儲(chǔ)和計(jì)算資源[8]。IL-HMMs預(yù)測(cè)模型在原先已訓(xùn)練好的模型基礎(chǔ)上，采用增量學(xué)習(xí)的方法，調(diào)整因新訓(xùn)練數(shù)據(jù)加入的模型參數(shù)，使之能適應(yīng)新設(shè)定的預(yù)測(cè)模型。

本文選擇西北干旱典型縣域磴口縣為研究區(qū)，引入觀測(cè)變量的隨機(jī)過(guò)程，將增量學(xué)習(xí)引入到模型優(yōu)化中，改進(jìn)馬爾可夫模型，并根據(jù)磴口縣水務(wù)局歷年地下水位埋深測(cè)量數(shù)據(jù)，建立地下水位埋深預(yù)測(cè)模型，對(duì)地下水埋深進(jìn)行預(yù)測(cè)研究。

1 材料與方法

1.1 研究區(qū)概況

磴口縣位于內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市西南部，地處東經(jīng)106°9′～107°10′，北緯40°9′～40°57′，地處中緯度內(nèi)陸，屬中溫帶大陸性季風(fēng)氣候，是河套平原與烏蘭布和沙漠的結(jié)合部。境內(nèi)海拔1 030～2 046 m，主要地貌類型可劃分為山地、沙漠、平原等。地下水資源埋深淺、易開采，地下水資源比較豐富。水資源分布主要有3部分：河套地區(qū)地下水，埋藏深度0.5～3 m之間；沙區(qū)地下水，埋藏深度在3～10 m之間；山前洪積扇地下水，水量較為豐富，一般埋深在3～15 m[9]。磴口縣生態(tài)系統(tǒng)類型為荒漠、人工綠洲和農(nóng)牧區(qū)，幾種生態(tài)系統(tǒng)交錯(cuò)交織[10]?？偯娣e4 167 km2，其中烏蘭布和沙漠占了68%的面積。研究區(qū)概況如圖1所示。

圖1 研究區(qū)概況Fig.1 Overview of study area

1.2 數(shù)據(jù)來(lái)源與處理

地下水位埋深實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)從磴口縣水務(wù)局獲得。資料系統(tǒng)由于觀測(cè)誤差以及其他擾動(dòng)影響需要對(duì)數(shù)據(jù)中奇異值進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?。?shù)據(jù)選擇磴口縣境內(nèi)2005—2016年3組地下水觀測(cè)井實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，A組：河套地區(qū)地下水，埋藏深度0.5～3 m之間，選取觀測(cè)井：DJ1、DJ3、DJ5、DJ7、DJ8；B組：沙區(qū)地下水，埋藏深度在3～10 m之間，選取觀測(cè)井：巴1、巴2、巴5、巴9、巴11；C組：山前洪積扇地下水，水量較為豐富，一般埋深在3～15 m，選取觀測(cè)井：1號(hào)井、2號(hào)井、3號(hào)井、4號(hào)井、5號(hào)井，通過(guò)預(yù)測(cè)對(duì)模型精度進(jìn)行驗(yàn)證分析。

1.3 隱馬爾可夫模型

隱馬爾可夫模型(Hidden Markov models, HMMs)是基于馬爾可夫模型的優(yōu)化改進(jìn)，其中的狀態(tài)不確定或不直接可見，以一定的概率通過(guò)觀察量反映[11]。模型由兩部分組成：第一部分是用地下水埋深狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A和初始狀態(tài)分布π描述狀態(tài)變量間轉(zhuǎn)移的一階馬爾可夫過(guò)程；第二部分是由地下水埋深狀態(tài)輸出概率分布矩陣B描述狀態(tài)與觀察序列之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的觀測(cè)變量的隨機(jī)過(guò)程[12]。HMMs組成示意圖如圖2所示。

圖2 隱馬爾可夫過(guò)程
Fig.2 Hidden Markov process

HMMs模型

[13]

可以看作是一個(gè)二重馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程，由具有狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的馬爾可夫鏈和輸出觀測(cè)值的隨機(jī)過(guò)程組成，該模型所經(jīng)過(guò)的狀態(tài)序列未知，其狀態(tài)通過(guò)觀測(cè)序列的隨機(jī)過(guò)程表現(xiàn)出來(lái)

[14]

。

1.4 基于增量學(xué)習(xí)的隱馬爾可夫模型

POLIKAR等[15]提出增量學(xué)習(xí)(Incremental learning,IL)，該算法以不斷積累知識(shí)為目的，通過(guò)在學(xué)習(xí)未知知識(shí)的同時(shí)盡可能保留已學(xué)的知識(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn)[16]。本文將增量學(xué)習(xí)的思想加入HMMs樣本識(shí)別后的再訓(xùn)練過(guò)程中，為基于傳統(tǒng)HMMs地下水埋深預(yù)測(cè)設(shè)計(jì)出一套特定的增量學(xué)習(xí)算法(Incremental learning hidden Markov models based IL-HMMs)，它包含了集成訓(xùn)練(Ensemble training,ET)與集成學(xué)習(xí)(Ensemble learning,EL)兩部分。ET[17]包括利用地下水埋深單個(gè)月數(shù)據(jù)訓(xùn)練集中的每一個(gè)訓(xùn)練樣本，分別單獨(dú)訓(xùn)練出一個(gè)HMM，在所有樣本訓(xùn)練完畢后，再將這些訓(xùn)練好的模型融合成一個(gè)單獨(dú)的HMMs。EL則是應(yīng)用在識(shí)別每一個(gè)地下水埋深測(cè)試樣本之后進(jìn)行的模型改進(jìn)。采用增量學(xué)習(xí)算法，當(dāng)分類模型更新時(shí)，通過(guò)對(duì)已學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)行匯總和分析，將少量的歷史數(shù)據(jù)與新數(shù)據(jù)混合，用所得到的新訓(xùn)練集對(duì)模型進(jìn)行再訓(xùn)練，以達(dá)到學(xué)習(xí)新知識(shí)的目的[18]。該模型具有4個(gè)特點(diǎn)：①通過(guò)增加新數(shù)據(jù)獲得新的知識(shí)，來(lái)提高模型適應(yīng)性。②保留一定的歷史知識(shí)，防止出現(xiàn)災(zāi)難性遺忘。③在學(xué)習(xí)過(guò)程中不需要保留歷史訓(xùn)練樣本，節(jié)省存儲(chǔ)空間，降低運(yùn)算成本。④可識(shí)別和適應(yīng)新數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的新類別標(biāo)簽。

在HMMs識(shí)別一個(gè)測(cè)試樣本O并輸出識(shí)別結(jié)果δi后，如果似然概率lgP(O|δi)小于為這個(gè)模型δi所預(yù)先設(shè)定閾值PThres，則認(rèn)為這個(gè)地下水埋深測(cè)試樣本O有較高的置信度，可以用于模型的更新操作。利用這個(gè)單樣本O訓(xùn)練出一個(gè)新的HMM′，并將之前已經(jīng)訓(xùn)練好的模型δi進(jìn)行融合。

假設(shè)初始模型為δt-1=(At-1,Bt-1,πt-1)，表示所有的訓(xùn)練+測(cè)試樣本HMM更新至?xí)r刻t-1時(shí)的狀態(tài)，當(dāng)t時(shí)刻時(shí)利用新數(shù)據(jù)樣本Ot訓(xùn)練好的HMM模型表示為δ′t=(A′t,B′t,π′t)。

利用EL為HMM進(jìn)行增量學(xué)習(xí)以產(chǎn)生δt=(At,Bt,πt)的計(jì)算為

(1)

(2)

(3)

其中

Wt=Wt-1+W′t

(4)

式中Wt——到t時(shí)刻的權(quán)重累加值

Wt-1——到t-1時(shí)刻的權(quán)重累加值

W′t——t時(shí)刻的權(quán)重

在實(shí)際操作中，為減輕增量學(xué)習(xí)的計(jì)算量，在EL的計(jì)算過(guò)程中所有的Wt取相同值，則上述公式可簡(jiǎn)化為

δt=δt-1+μδ′t

(5)

式中μ——權(quán)重

本文中，μ定義為學(xué)習(xí)率(Learning rate),δ為初始狀態(tài)的HMM，δ′為使用新數(shù)據(jù)樣本O訓(xùn)練后的更新后的HMM，學(xué)習(xí)率μ表示為在學(xué)習(xí)新知識(shí)與遺忘舊知識(shí)之間的關(guān)系，μ越大模型更傾向于遺忘舊的知識(shí)，更適應(yīng)新的環(huán)境；μ越小模型則更傾向于保留通過(guò)大量樣本學(xué)習(xí)得到的舊知識(shí)[19]。

為方便計(jì)算機(jī)計(jì)算，采用比例因子修正最后的輸出概率，以避免產(chǎn)生數(shù)據(jù)下溢現(xiàn)象。修正公式簡(jiǎn)化式為

(6)

式中N——預(yù)測(cè)樣本數(shù)

修正后的輸出概率是最小的輸出概率所對(duì)應(yīng)的模型，判斷測(cè)試樣本是否擁有足夠的可信度，利用增量學(xué)習(xí)改進(jìn)模型參數(shù)的判別條件為小于所設(shè)定閾值PThres。

為方便閾值設(shè)定，采用的歸一化方法為

(7)

式中κ——比例因子，取0.8

所以將樣本用于增量學(xué)習(xí)模型的最終判別式為

lgP(O|δ)

(8)

1.5 評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文采用平均絕對(duì)誤差與均方根誤差作為誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行檢驗(yàn)[20]

(9)

(10)

式中φMAE——平均絕對(duì)誤差

yi——序列的真實(shí)值

2 結(jié)果與分析

2.1 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

以2005—2012年的地下水埋深數(shù)據(jù)作為增量學(xué)習(xí)的初始狀態(tài)變量，增量間隔為1個(gè)月，κ設(shè)為0.8，學(xué)習(xí)率μ為0.2。利用增量學(xué)習(xí)融合隱馬爾可夫模型，獲得優(yōu)化的地下水埋深數(shù)據(jù)，并在ArcGIS中得到2013年地下水的埋深空間模擬分布圖(圖3a)，與傳統(tǒng)隱馬爾可夫模型模擬結(jié)果(圖3b)進(jìn)行對(duì)比分析。

圖3 磴口縣地下水埋深空間模擬分布圖Fig.3 Spatial simulation of groundwater depth in Dengkou County

2種模型對(duì)2013年地下水埋深空間分布的模擬結(jié)果基本一致，也比較符合研究區(qū)埋深分布：河套地區(qū)地下水埋深(0.5～3 m)、沙區(qū)地下水埋深(3～10 m)、山前洪積扇地下水埋深(3～15 m)。地下水埋深最高值區(qū)域出現(xiàn)在狼山南麓的山前洪積扇，此區(qū)域的地下水埋深均值大于12 m，其次在南部沙漠地區(qū)，其地下水埋深值均大于7 m；最低值區(qū)域出現(xiàn)在東部黃河流域附近區(qū)域與黃河沖擊平原河套地區(qū)，范圍為0.5～2 m，該區(qū)域水資源較為豐富，地下水埋深較淺；東南部也有小范圍地下水埋深較深的區(qū)域,該區(qū)域?yàn)轫憧诳h城區(qū)。模擬結(jié)果表明隨著城市用水增多，使得該區(qū)域地下水埋深較深。從圖3可以看出2種模型的模擬結(jié)果的主要差別在東南部磴口縣城區(qū)與中西部，IL-HMMs模型的地下水埋深空間分布模擬結(jié)果更接近實(shí)測(cè)值，特別是東南部磴口縣城區(qū)地下水埋深的變化能及時(shí)在模型中更新參數(shù)，使得預(yù)測(cè)結(jié)果更加準(zhǔn)確。

為比較模型模擬結(jié)果預(yù)測(cè)精度，選擇磴口縣境內(nèi)的2013年地下水長(zhǎng)觀井，對(duì)IL-HMMs和HMMs模型的模擬結(jié)果與實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行驗(yàn)證(圖4)。

圖4 HMMs與IL-HMMs對(duì)比曲線Fig.4 Comparison of HMMs and IL-HMMs

對(duì)于穩(wěn)定連續(xù)的數(shù)據(jù)，IL-HMMs模型的絕對(duì)誤差有所減小，至少也保證與傳統(tǒng)HMMs模型同樣的絕對(duì)誤差。對(duì)于新增有變化的數(shù)據(jù)，模型的絕對(duì)誤差有較明顯的下降，充分說(shuō)明了IL-HMMs模型在面對(duì)增量環(huán)境時(shí)有較好的魯棒性。

對(duì)于傳統(tǒng)HMMs模型，由于訓(xùn)練完畢后模型就不發(fā)生改變，故而面對(duì)發(fā)生改變的新數(shù)據(jù)，識(shí)別率會(huì)有所下降。而在IL-HMMs模型中，模型參數(shù)在識(shí)別階段能隨著新的測(cè)試數(shù)據(jù)而動(dòng)態(tài)調(diào)整，使之更傾向于需要識(shí)別的數(shù)據(jù)，故能取得比較好的模擬結(jié)果。

2.2 學(xué)習(xí)效率

在基于IL-HMMs模型中，根據(jù)學(xué)習(xí)率μ的不同，其預(yù)測(cè)精度如表1所示。從表1可知，通過(guò)使用不同的學(xué)習(xí)率μ，相同的輸入數(shù)據(jù)可以獲得不同的預(yù)測(cè)精度。設(shè)置學(xué)習(xí)率μ=0.2，預(yù)測(cè)精度都將達(dá)到最高。但如果繼續(xù)增大學(xué)習(xí)率，即μ在0.2～1.0之間任意設(shè)置，預(yù)測(cè)精度將下降，表現(xiàn)出“過(guò)學(xué)習(xí)”的現(xiàn)象，另外發(fā)現(xiàn)當(dāng)μ在0～0.2時(shí)，其預(yù)測(cè)精度小于μ=0.2，表現(xiàn)出“學(xué)習(xí)不足”的現(xiàn)象。

2.3 多模型對(duì)比驗(yàn)證

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)IL-HMMs模型對(duì)磴口縣地下水埋深動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)效果,本文選取研究區(qū)3組長(zhǎng)期觀測(cè)井地下水埋深觀測(cè)數(shù)據(jù)，分別采用IL-HMMs預(yù)測(cè)模型、加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)(WMCP)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BPNN)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了預(yù)測(cè)和模擬(圖5)。各個(gè)模型的模擬結(jié)果與實(shí)際測(cè)量值如表2所示。

在3組地下水長(zhǎng)期觀測(cè)井預(yù)測(cè)模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，IL-HMMs模型模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相符程度最高，平均絕對(duì)誤差φMAE與均方根誤差φRMS在幾組模型中最小，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值具有很好的吻合性，預(yù)測(cè)結(jié)果達(dá)到精度要求；其次是HMMs模擬結(jié)果，其平均絕對(duì)誤差φMAE與均方根誤差φRMS比IL-HMMs模型略大；BPNN模型不論是平均絕對(duì)誤差φMAE與均方根誤差φRMS，其誤差預(yù)測(cè)性能更差一些；WMCP模型的模擬結(jié)果誤差最大，其平均絕對(duì)誤差φMAE最大為0.554，均方根誤差φRMS達(dá)到0.534，預(yù)測(cè)性能最差。同時(shí)，通過(guò)3組不同級(jí)別地下水長(zhǎng)期觀測(cè)井預(yù)測(cè)模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比驗(yàn)證，L-HMMs模型不論在地下水埋深較淺的河套地區(qū)，還是埋深較深的山前洪積扇都具有較好適應(yīng)性，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際監(jiān)測(cè)水位基本一致。可見通過(guò)增量學(xué)習(xí)的優(yōu)化模型具有較好的魯棒性，可以減小誤差，提高預(yù)測(cè)精度，可以用來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表1 基于IL-HMMs地下水埋深預(yù)測(cè)的最小平均絕對(duì)誤差Tab.1 Minimum average absolute error of groundwater burst prediction based on IL-HMMs

圖5 磴口縣地下水埋深空間模擬分布圖Fig.5 Spatial simulation of groundwater depth distribution in Dengkou County

誤差河套地區(qū)沙區(qū)山前洪積扇BPNNWMCPHMMSIL-HMMSBPNNWMCPHMMSIL-HMMSBPNNWMCPHMMSIL-HMMSφMAE0.4980.5380.1390.1260.5060.5410.1800.1560.5160.5540.1850.164φRMS0.5470.5330.3120.2460.5080.5140.3200.2560.5050.5340.3650.269

2.4 模型預(yù)測(cè)應(yīng)用

利用2005—2016年的地下水埋深數(shù)據(jù)作為增量學(xué)習(xí)的初始狀態(tài)變量，采用建立的地下水模型對(duì)2018年地下水埋深進(jìn)行預(yù)測(cè)和模擬，如圖6所示。

圖6 磴口縣2018年地下水埋深空間模擬分布圖Fig.6 Spatial simulation of groundwater depth distribution in Dengkou County in 2018

從預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)看，磴口縣2018年地下水年平均埋深略有增加。局部區(qū)域，如烏蘭布和沙漠東北邊緣部分，即南部沙區(qū)地下水埋深有增加趨勢(shì)，此外在中部包爾蓋農(nóng)場(chǎng)與納林套海農(nóng)場(chǎng)區(qū)域地下水埋深變化明顯，比2013年埋深增加0.56 m，埋深增加范圍有擴(kuò)大趨勢(shì)。在縣城附近的地下水埋深比2013年增加30%，說(shuō)明城市擴(kuò)張、工業(yè)化的發(fā)展對(duì)水資源的需求量增大，地下水的開采量增加，導(dǎo)致地下水的埋深加深，并有繼續(xù)加深的趨勢(shì)。因此在未來(lái)城市規(guī)劃發(fā)展中，需要加大該地區(qū)的地下水埋深的監(jiān)測(cè)和水資源的保護(hù)和合理開發(fā)，并提高水資源利用率，減少水資源浪費(fèi)；跟蹤監(jiān)測(cè)水位變化狀況，防止地下水位持續(xù)下降并制定應(yīng)急響應(yīng)方案，實(shí)現(xiàn)水資源的可持續(xù)開發(fā)利用。

3 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法中模型一旦訓(xùn)練后參數(shù)不能動(dòng)態(tài)調(diào)整的弊端，本文設(shè)計(jì)出在訓(xùn)練階模型參數(shù)可動(dòng)態(tài)調(diào)整的基于增量學(xué)習(xí)的隱馬爾可夫預(yù)測(cè)模型(IL-HMMs)，通過(guò)2005—2012年地下水埋深數(shù)據(jù)對(duì)2013年磴口縣地下水埋深預(yù)測(cè)進(jìn)行模型精度驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)表明，該模型較傳統(tǒng)的隱馬爾可夫模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和WMCP模型，預(yù)測(cè)結(jié)果的平均絕對(duì)誤差與均方根誤差都比較小，預(yù)測(cè)效果好。并對(duì)2018年磴口縣地下水埋深動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，對(duì)指導(dǎo)該地區(qū)合理開發(fā)利用地下水資源，區(qū)域水資源規(guī)劃具有指導(dǎo)意義。

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