擬凸變分不等式近似解與擬凸優(yōu)化問(wèn)題近似解的關(guān)系

陳瑞婷,徐智會(huì)

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

擬凸變分不等式近似解與擬凸優(yōu)化問(wèn)題近似解的關(guān)系

陳瑞婷,徐智會(huì)

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

利用已有的擬凸函數(shù)四種次微分,引進(jìn)擬凸函數(shù)的四種近似次微分,給出擬凸變分不等式問(wèn)題,研究了擬凸變分不等式的近似解與擬凸優(yōu)化問(wèn)題近似解之間的充分條件與必要條件,并給出相應(yīng)例題予以說(shuō)明.

擬凸函數(shù);次微分;近似次微分;變分不等式;近似最優(yōu)解

變分不等式是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)重要研究領(lǐng)域,它與力學(xué)、微分方程、控制理論、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)、最優(yōu)化理論、對(duì)策理論、非線性規(guī)劃等理論和應(yīng)用學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系并有重要的應(yīng)用.自20世紀(jì)60年代,變分不等式和相補(bǔ)問(wèn)題的基本理論被提出和創(chuàng)立以來(lái),經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家的杰出工作,變分不等式及其相關(guān)問(wèn)題的理論和應(yīng)用取得重要進(jìn)展,日臻完善[1-7].其中在最優(yōu)化理論中,凸性假設(shè)被廣泛使用,但在實(shí)際問(wèn)題的研究中,所研究的函數(shù)或集合大多數(shù)是非凸的.自20世紀(jì)60年代以來(lái),凸函數(shù)的概念已被推廣到不同類型的廣義凸函數(shù),例如:擬凸函數(shù)[8],E-凸函數(shù)[9].1965年,Mangasarian[8]引進(jìn)擬凸和偽凸函數(shù)的概念并研究其性質(zhì).隨后,很多學(xué)者研究了擬凸函數(shù)性質(zhì)及最優(yōu)性條件[10-14].

變分不等式是解決優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)有效工具.近年來(lái),一些學(xué)者在研究?jī)?yōu)化問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件可以通過(guò)變分不等式進(jìn)行刻畫(huà),見(jiàn)文獻(xiàn)[15-19].Yang和Zheng[20]研究了一個(gè)點(diǎn)是變分不等式近似解的充分必要條件.特別的,近年來(lái),針對(duì)擬凸數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題研究較多[21-23],但利用次微分給出變分不等式問(wèn)題的解相對(duì)較少,因此本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上研究擬凸變分不等式的解與擬凸優(yōu)化問(wèn)題近似最優(yōu)解之間的聯(lián)系.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為賦范向量空間,S?X為凸子集.

定義1[24]若f∶S→R,滿足:?x1,x2∈S,?λ∈[0，1]，f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f為S上的凸函數(shù).

定義2[24]若f∶S→R,滿足:?x1,x2∈S,?λ∈[0，1]，f(λx1+(1-λ)x2)≤max{f(x1),f(x2)},

則稱f為S上的擬凸函數(shù).

本文考慮擬凸優(yōu)化問(wèn)題: (P)minf(x)x∈S

其中:可行集S為閉凸集,f是S上的擬凸函數(shù).設(shè)x0∈S,下面給出目標(biāo)函數(shù)f的水平集和次微分的概念.

設(shè)x0∈S,f∶X→R的下水平集為:[f≤f(x0)]∶={x∈X∶f(x)≤f(x0)}.

嚴(yán)格下水平集為:[flt;f(x0)]∶={x∈X∶f(x)lt;f(x0)}.

定義3[25]設(shè)f∶X→R,且存在常數(shù)K,使得對(duì)任意的x1,x2∈X滿足如下條件:

|f(x1)-f(x2)≤K|x1-x2|

那么稱f(x)在X上是Lipschitz連續(xù)的.

定義4[25]設(shè)x0∈S,凸函數(shù)f∶X→R在x0處次微分定義為:

定義5[11]設(shè)x0∈F,擬凸函數(shù)f∶X→R在x0處的Greenberg-Pierskalla次微分定義為:

存在,則稱f在點(diǎn)x0處是Gteaux可微的.

注1 由定義可知:?≤f(x0)??lt;f(x0)??*f(x0)???f(x0),并且當(dāng)f在[flt;f(x0)]上上半連續(xù)時(shí),有??f(x0)=?*f(x0)∪{0}，參見(jiàn)文獻(xiàn)[11].

定義7 設(shè)ε≥0,x0∈S,若f(x0)-ε≤f(x),?x∈S,稱x0為問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解.針對(duì)于問(wèn)題(P)的近似最優(yōu)解,首先定義擬凸函數(shù)f的近似水平集和近似次微分.

定義8 設(shè)ε≥0,x0∈S,f∶X→R的ε-下水平集為:[f≤f(x0)-ε]∶={x∈X∶f(x)≤f(x0)-ε}

嚴(yán)格ε-下水平集為:[flt;f(x0)-ε]∶={x∈X∶f(x)lt;f(x0)-ε}

定義9 設(shè)ε≥0,x0∈S,擬凸函數(shù)f∶X→R在x0處的兩種ε-次微分定義為:

定義10 設(shè)ε≥0,x0∈S,擬凸函數(shù)f∶X→R在x0處的ε-下次微分定義如下:

顯然該次微分是閉的.比之更弱的ε-次微分為:

定義12 設(shè)δgt;0,x0∈S,f∶X→R,若存在x0的一個(gè)鄰域U(x0,δ),使得x0為f在U(x0,δ)上的ε-最優(yōu)解,則稱x0為f在X上的局部ε-最優(yōu)解.

引理1[27]設(shè)A，B是X中的非空凸子集,intA≠?,若intA∩B=?,則存在超平面分離intA和B.

2 擬凸變分不等式近似解與擬凸優(yōu)化問(wèn)題近似解的關(guān)系

考慮如下變分不等式問(wèn)題：

定理1 設(shè)ε≥0,x0是(VIAP1)的解,且〈ξ,x-x0〉?[-ε,ε],?x∈S,則x0為問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解.

因此ξ∈-Nε(x0,S).

下證x0為問(wèn)題(P)上的近似最優(yōu)解.

反證,設(shè)x0不是問(wèn)題(P)的近似最優(yōu)解,則存在x∈S,使得:f(x)lt;f(x0)-ε.

又因?yàn)棣巍?Nε(S,x0)，故有:〈ξ,x-x0〉≥-ε.

從而有〈ξ,x-x0〉?[-ε,ε],與定理?xiàng)l件矛盾,因此x0為問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解.

推論1 若x0是(VIAP3)的解,且〈ξ,x-x0〉?[-ε,ε],?x∈S,則x0為問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解.

推論2 若x0是(VIAP4)的解,且〈ξ,x-x0〉?[-ε,ε],?x∈S,則x0為問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解.

推論3 設(shè)ε≥0,x0∈S,f在[f≤f(x0)-ε]內(nèi)是上半連續(xù)的,f在x0處Gteaux可微且〈f′(x0),x-x0〉≥-ε,?x∈S,〈f′(x0),x-x0〉?[-ε,ε],?x∈S,則x0為問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解.

注5 定理1、推論1和推論2的逆命題不一定成立,見(jiàn)如下例子.

取x0=0時(shí),顯然x0=0是問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解.

定理2 設(shè)ε≥0,x0是問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解,但x0不是f在全空間X上的局部ε-最優(yōu)解.若f在[flt;f(x0)-ε]內(nèi)上半連續(xù),則x0是(VIAP2)的解.

證明令G=[flt;f(x0)-ε].x0是問(wèn)題(P)的ε-最優(yōu)解,則f(x)≥f(x0)-ε,?x∈S.顯然S∩G=?,又由f的擬凸性及f在[flt;f(x0)-ε]內(nèi)上半連續(xù),知G為開(kāi)凸集,S也為凸集.由凸集分離定理,存在ξ∈X*

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