一道高考“小”題的“大威力”

【摘要】在“中國(guó)學(xué)生核心素養(yǎng)框架”及“學(xué)科核心素養(yǎng)”提出后，我們的高中數(shù)學(xué)課程面臨著新的改革，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也面臨著前所未有的挑戰(zhàn).本文從一道高考題出發(fā)，導(dǎo)入一節(jié)復(fù)習(xí)課，嘗試以“項(xiàng)目塊”的模式授課，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性與聯(lián)系性，反映出數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)到能力和素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化，最終體現(xiàn)課堂教學(xué)的“有效性”.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；復(fù)習(xí)課；有效教學(xué)；項(xiàng)目塊；案例

進(jìn)入21世紀(jì)，學(xué)科教育從以知識(shí)傳授為本向和諧的人的終身發(fā)展進(jìn)行轉(zhuǎn)變，這是一個(gè)誰(shuí)也無(wú)法回避的現(xiàn)實(shí).隨著2016年9月“中國(guó)學(xué)生核心素養(yǎng)框架”及伴隨的“學(xué)科核心素養(yǎng)”的提出，我們的高中數(shù)學(xué)課程面臨著新的改革，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也面臨著前所未有的挑戰(zhàn).到底怎樣的課堂教學(xué)可以彰顯數(shù)學(xué)課程立德樹(shù)人的價(jià)值取向，怎樣的課堂可以反映數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，怎樣的課堂可以實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)到能力和素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化，是擺在我們每一位一線教師面前的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.要認(rèn)識(shí)并解決這些問(wèn)題，就不能回避課堂教學(xué)的“有效性”.

從科學(xué)取向的教學(xué)論看，任何有效教學(xué)必須明確回答三個(gè)問(wèn)題：一是帶領(lǐng)學(xué)生去哪里，二是怎么帶學(xué)生去那里，三是怎么確信學(xué)生已經(jīng)到達(dá)那里[1].而高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指：具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，是通過(guò)讓學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼睛看”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般性特征；通過(guò)讓學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維想”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性特征；通過(guò)讓學(xué)生“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)”體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性[2].事實(shí)上，如果學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)課程后，能夠形成“有效的分析、推理和交流數(shù)學(xué)思想的能力”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)生從知識(shí)到能力和素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化和進(jìn)階[3]，這本身就回答了有效教學(xué)的第一個(gè)問(wèn)題，同時(shí)也指向了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)下的學(xué)科育人功能.其次，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)了學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)課程后具備的能力應(yīng)該通過(guò)“對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域和情境提問(wèn)題，表述問(wèn)題和解決問(wèn)題”來(lái)實(shí)現(xiàn)，這一點(diǎn)就回答了有效教學(xué)的第二個(gè)問(wèn)題.再者，基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，非常重視評(píng)價(jià)與考核，而且提出三個(gè)原則：評(píng)價(jià)要重視思考深度，要關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)，要考查學(xué)生的思維過(guò)程，這三項(xiàng)原則恰好就回答了有效教學(xué)的第三個(gè)問(wèn)題.

那么，基于核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課堂，如何讓“有效教學(xué)”落地呢？從我國(guó)正在進(jìn)行的課程改革的重心來(lái)看，應(yīng)該著力實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的整合，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性與聯(lián)系性；應(yīng)該著力實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變，提倡開(kāi)放式的教學(xué).從高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與學(xué)科關(guān)鍵能力的系統(tǒng)構(gòu)成分析看，可以將教學(xué)內(nèi)容的整合與課堂教學(xué)模式轉(zhuǎn)變的基本設(shè)計(jì)用下圖來(lái)表示：

對(duì)上圖的分析解釋：

第1步中的背景驅(qū)動(dòng)，可以解釋為：為解決本節(jié)授課內(nèi)容核心問(wèn)題所進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)（往往是真實(shí)陌生的情境），使學(xué)生遇到困難后，嘗試對(duì)核心問(wèn)題進(jìn)行拆解轉(zhuǎn)化；

第2步中的有效學(xué)習(xí)和理解，可以解釋為：為解決第1步中拆解轉(zhuǎn)化出的子問(wèn)題，對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行有效學(xué)習(xí)，建構(gòu)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)；

第3步中的有效應(yīng)用和實(shí)踐，可以解釋為：讓學(xué)生利用第2步形成的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，充分呈現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，將知識(shí)功能化；

第4步中的有效遷移和應(yīng)用，可以解釋為：讓學(xué)生回到第1步的情境中，多角度、多方位的思考、探究、推理，使數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化；

第5步中的深化對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的理解，可以解釋為：通過(guò)課上練習(xí)反饋或課下研究課題的實(shí)踐反饋，將知識(shí)經(jīng)驗(yàn)素養(yǎng)化.

以上的5個(gè)環(huán)節(jié)，可以理解為一個(gè)“項(xiàng)目塊”的教學(xué)設(shè)計(jì)，也就是說(shuō)，備課時(shí)可以按照一個(gè)“項(xiàng)目塊”整體把握教材內(nèi)容，但實(shí)際授課則可以在一個(gè)或幾個(gè)課時(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn).

下面就是筆者在進(jìn)行“平面向量”這一章節(jié)的期末復(fù)習(xí)時(shí)，嘗試通過(guò)一個(gè)“項(xiàng)目塊”的模式，用一道2017年高考試題（江蘇卷，填空12題）作為知識(shí)方法的“領(lǐng)路人”，將“平面向量”一章的復(fù)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)一一擊破的教學(xué)案例.

授課背景題目（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第12題）如圖1，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB，（m，n∈R），則m+n= （答案：3）

圖1授課過(guò)程

環(huán)節(jié)1：以本年度高考題目作為引入，陌生情境下的核心內(nèi)容會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生“畏難”情緒，教師對(duì)難點(diǎn)采用“低坡度、小臺(tái)階”的方式進(jìn)行拆解，讓學(xué)生在潛移默化中進(jìn)入“知識(shí)經(jīng)驗(yàn)”的構(gòu)建階段.

師：同學(xué)們，2017年夏季高考剛剛過(guò)去，我們作為一名高一學(xué)生，一定對(duì)高考題充滿了神秘感.今天，就讓我們憑借自己的力量，嘗試攻克一道和平面向量有關(guān)的試題.

屏幕投出一道填空題：（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第12題）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB，（m，n∈R），則m+n= .

生1：老師，平面向量是本學(xué)期剛開(kāi)始學(xué)習(xí)的內(nèi)容，現(xiàn)在和它有關(guān)的基本概念、定理我們都快忘光了，怎么還能解出高考題？

師：我想，這位同學(xué)說(shuō)出了大多數(shù)同學(xué)的顧慮.我們現(xiàn)在先不急于解出這道題，請(qǐng)大家看大屏幕.

師：此圖（節(jié)選自人教A版必修四第二章小結(jié)）是“平面向量”這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，我們一起來(lái)回顧一下基本知識(shí)要點(diǎn).誰(shuí)還記得向量的概念以及表示方法？

生2：向量是指既有大小又有方向的量.

生3：向量可以用有向線段來(lái)表示，也可以用字母表示.

師：回答的都很好.生3能通過(guò)上面這道填空題具體說(shuō)明一下嗎？

生3：在這個(gè)題中，已知條件中的OA，OB，OC就是這三個(gè)向量的字母表示；而圖中對(duì)應(yīng)的有向線段可以看作是向量的圖形表示.

師：說(shuō)的不錯(cuò).生2剛才說(shuō)出了向量具備的兩大要素：大小和方向.向量的大小也叫向量的模，就是這個(gè)向量的長(zhǎng)度.從知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中大家能看到，我們目前學(xué)習(xí)的向量有線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)線性運(yùn)算包括哪些？endprint

生4：向量的加法、減法，還有數(shù)乘運(yùn)算，都是線性運(yùn)算.

師：具體說(shuō)來(lái)，向量的加法有哪些運(yùn)算法則？減法呢？

生5：加法有平行四邊形法則和三角形法則；減法有三角形法則.

師：是的.誰(shuí)能在黑板上給大家示范一下？

三位同學(xué)主動(dòng)在黑板上圖示三個(gè)法則，并在教師提示下，依據(jù)圖示寫(xiě)出法則的字母表示（如：OC=OA+AC）.

師：哪位同學(xué)能按自己的理解，談?wù)勏蛄康臄?shù)乘運(yùn)算？

生6：我的理解，對(duì)一個(gè)向量乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，就是在對(duì)這個(gè)向量的大小伸長(zhǎng)或縮短.

師：向量除了大小，還有方向.那方向變了嗎？

生6：若乘的是正數(shù)，就不變；是負(fù)數(shù)，就變?yōu)榉捶较?

師：不錯(cuò)！還有其他情況嗎？

生6：哦，若這個(gè)數(shù)是零，就得到零向量了！

師：很好（與學(xué)生一起寫(xiě)出數(shù)乘運(yùn)算的定義）！從以上的回顧，我們注意到，線性運(yùn)算是不改變向量本質(zhì)的運(yùn)算，運(yùn)算后的結(jié)果還是向量.那么大家的記憶里，向量還有什么“萬(wàn)變不離其宗”的特性？（教師做出平移的手勢(shì)）

生7：我記得，向量的“可平移性”非常特別！一個(gè)非零向量只要保持大小和方向不變，就可以在平面內(nèi)隨意平移！

師：說(shuō)的非常好！那么，（在黑板做示意圖）現(xiàn)在平面內(nèi)有兩個(gè)不共線的向量a，b，任意給出該平面內(nèi)的一個(gè)向量c，請(qǐng)問(wèn)大家：能否用向量a，b線性表示向量c呢？

生8：應(yīng)該可以，向量是可平移的呀！

師：能詳細(xì)解釋一下嗎？

（生8到黑板前，將三個(gè)向量平移，讓它們有共同的起點(diǎn)O.然后利用向量加法的平行四邊形法則，將向量c在向量a，b方向上進(jìn)行分解.）

生8：噢，借助共線向量間的數(shù)乘運(yùn)算，一定能得到OC=mOA+nOB！就是這道高考題里的等式呀！

師：是的?。ń處熢诤诎灏逖荨捌矫嫦蛄炕径ɡ怼?，要求學(xué)生領(lǐng)會(huì)并理解記憶）所以，此題就是讓我們求解這一組實(shí)數(shù)m，n.

師：由向量去求兩個(gè)具體的數(shù)量，直接借助此圖示能否辦到呢？我們不妨將其作為一個(gè)課下研究性課題，老師期待你們課后的成果呈現(xiàn).今天課上的重點(diǎn)是平面向量的章節(jié)復(fù)習(xí)，所以我們?cè)倏匆幌卤菊碌闹R(shí)結(jié)構(gòu)圖.向量的數(shù)量積運(yùn)算是怎樣定義的呢？哪位同學(xué)還有印象？

（學(xué)生相互補(bǔ)充，給出了數(shù)量積的定義.有位同學(xué)還說(shuō)出了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教師正好借此契機(jī)，給出了向量的坐標(biāo)表示，同學(xué)們相互協(xié)作，將向量中可以用坐標(biāo)描述的運(yùn)算、定理等一一用坐標(biāo)形式表示了出來(lái)）

環(huán)節(jié)2：學(xué)生利用已形成的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)情境中的問(wèn)題多角度、多方位思考探究.

師：大家完成的非常好！事實(shí)上，我們能注意到，無(wú)論是數(shù)量積運(yùn)算，還是坐標(biāo)表示，都非常巧妙地實(shí)現(xiàn)了向量的“形”與“數(shù)”的完美轉(zhuǎn)化！這好像正好與我們對(duì)于這道高考題的困惑不謀而合呢！下面請(qǐng)大家先自己嘗試解決此題，五分鐘后四人小組溝通解決情況，有突破性進(jìn)展的請(qǐng)及時(shí)告訴老師！

鑒于大家解題中均會(huì)用到α，∠AOB的三角函數(shù)值，故我們先由tanα=7，借助同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得sinα=752，cosα=152；進(jìn)而由兩角和的余弦公式得到cos∠AOB=cos（45°+α）=22（cosα-sinα）=-35，sin∠AOB=45.請(qǐng)大家選擇使用.

學(xué)生以小組形式踴躍談了不同的解題思路：

思路1對(duì)OC=mOA+nOB兩側(cè)分別同時(shí)點(diǎn)乘OC，再對(duì)OC=mOA+nOB兩側(cè)分別平方，

得到OC·OC=mOA·OC+nOB·OC，

OC2=（mOA+nOB）2，

得到m，n的兩個(gè)方程，求解即可；

思路2對(duì)OC=mOA+nOB兩側(cè)分別同時(shí)點(diǎn)乘OA、OB，得到OA·OC=mOA2+nOA·OB，

OB·OC=mOA·OB+nOB2， 由向量數(shù)量積的定義可以得到關(guān)于m，n的兩個(gè)二元一次方程，兩個(gè)方程相加，即可得到m+n=3.

點(diǎn)評(píng)：此解法思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，推薦！

思路3以BO方向?yàn)閤軸正方向，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

則OB=（-1，0），OC=（-1，1），OA=（35，45），

帶入OC=mOA+nOB，可得到m，n的兩個(gè)方程，求解即可.）

圖2師：剛才同學(xué)們提到的思路，都非常好！一方面，充分把握了“平面向量”的“數(shù)形結(jié)合”的思想，另一方面，也對(duì)該章節(jié)的重點(diǎn)知識(shí)方法有了深刻的認(rèn)識(shí).思路一與思路三請(qǐng)大家課下梳理思路，完善過(guò)程步驟，做到大演草上.

師：同學(xué)們，最后我們?cè)僖淮侮P(guān)注本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，誰(shuí)能總結(jié)一下本節(jié)課的收獲？

生9：我們回顧了“平面向量”一章的重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容：向量的概念、運(yùn)算以及坐標(biāo)表示.

生10：還復(fù)習(xí)了一個(gè)定理：平面向量基本定理.但我記得本章好像還有一個(gè)定理的？

師：對(duì)！本章還有一個(gè)定理：共線向量定理，相信大家復(fù)習(xí)完向量的數(shù)乘運(yùn)算后，能夠自主地將其整理出來(lái)，請(qǐng)大家課下自己整理到今天的演草上，結(jié)合我們剛才提到的研究性課題，共同構(gòu)成了我們今天的課后作業(yè)，請(qǐng)大家認(rèn)真完成.

師：誰(shuí)還談?wù)勛约旱氖斋@？

生11：老師，通過(guò)這節(jié)課，我發(fā)覺(jué)高考并不神秘，其實(shí)就是考查我們平時(shí)的典型知識(shí)方法.

師：說(shuō)的很好！高考一定是立足我們平時(shí)的教材重點(diǎn)內(nèi)容的，所以請(qǐng)大家在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，腳踏實(shí)地，不好高騖遠(yuǎn)，就一定能夠順利通過(guò)高考的選拔，實(shí)現(xiàn)自己的夢(mèng)想的！

環(huán)節(jié)3：通過(guò)課下研究性課題，學(xué)生進(jìn)行反饋、強(qiáng)化知識(shí)的落實(shí)

附學(xué)生課下研究小組對(duì)該題的深入研究成果

圖3方法1：將 OC 分別在OA、OB方向上進(jìn)行分解，則OC=OM+ON（如圖3所示），且OM=mOA，ON=nOB，從而|OM|=m，|ON|=|MC|=n.從而在△OCM中，由正弦定理可知，

OCsin（180°-∠AOB）=MCsinα=OMsin 45°，由上式解得，m=54，n=74，進(jìn)而m+n=3.

將數(shù)量的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成研究圖形中的線角關(guān)系，借助三角形知識(shí)解決，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.

圖4方法2：前半部分同方法1，將 OC 分別在OA、OB方向上進(jìn)行分解，則OC=OM+ON（如圖4所示），且OM=mOA，ON=nOB，從而

OM=m，ON=n，MN=m2+n2-2mncos∠AOB.在平行四邊形OMCN中，由OC2+MN2=2（OM2+ON2），以及OC·OC=mOA·OC+nOB·OC，可得m=54，n=74，進(jìn)而m+n=3.

我們注意到，數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是：一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)后，即便這個(gè)人未來(lái)從事的工作和數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，也應(yīng)當(dāng)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界[2].真正體會(huì)這一目標(biāo)的深遠(yuǎn)意義，一定會(huì)對(duì)我們基礎(chǔ)教育改革，特別是高中階段教育的改革，發(fā)揮巨大的推動(dòng)作用.

參考文獻(xiàn)

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[3]王磊.學(xué)科能力構(gòu)成及其表現(xiàn)研究[J].教育研究，2016（9）：8392.

作者簡(jiǎn)介石菁，女，山東省泰安第一中學(xué)教師，高級(jí)教師.第三屆齊魯名師培養(yǎng)人選，山東省教學(xué)能手，泰安市勞動(dòng)模范，泰安市功勛教師，泰安市優(yōu)秀教師，泰安市高中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人.endprint