用“兩邊夾”解題的若干操作策略

王紅權(quán)

“兩邊夾”原理本是高等數(shù)學(xué)中用來(lái)判定極限存在的準(zhǔn)則，近年在數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考中時(shí)有應(yīng)用，需要學(xué)生有敏銳的觀察力和嫻熟的代數(shù)變形技巧.從解題操作的視角看，應(yīng)用“兩邊夾”原理有兩種類型：①“若a≤x≤a，則x=a”，該類型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明，邏輯清晰，操作有序；②“已知a≤f（x）≤b，求參變量k的取值范圍”.本文稱第一種為“夾死”，即由不等式a≤x≤a，得到等式x=a，是解決“條件為不等式，結(jié)論為等式”問(wèn)題的利器；本文稱第二種為“夾縫”，不等式a≤f（x）≤b說(shuō)明函數(shù)f（x）可以在“縫隙”[a，b]之間活動(dòng)，所以參變量k能在一定的范圍內(nèi)取值，這類問(wèn)題一般是“求k的取值范圍”.本文通過(guò)典型例子，來(lái)說(shuō)明利用“兩邊夾”方法解題的操作策略，由此提升學(xué)生“邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，同時(shí)提升“學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”的能力.

1利用圖象兩邊夾

不等式g1（x）≤f（x）≤g2（x），x∈[a，b]的幾何意義是：在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的圖象位于函數(shù)g1（x）和g2（x）的圖象之間.若函數(shù)f（x）圖象被函數(shù)g1（x）和g2（x）的圖象“夾死”，則可以求出某些參數(shù)的值；若圖象間留有“縫隙”，則可求出某些參量的取值范圍.

圖11.1用于求值

例1[1]已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b-2，a，b∈R.若對(duì)任意x∈[1，3]，總有|f（x）|≤12成立，求a，b的值.

解析由|f（x）|≤12，得：-x2+32≤ax+b≤-x2+52.①

如圖1，不等式①表示線段y=ax+b（x∈[1，3]）夾在函數(shù)y1=-x2+32和y2=-x2+52的圖象之間.

計(jì)算發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線y=-4x+112與函數(shù)y1的圖象相切.也就是說(shuō)直線y=-4x+112是被函數(shù)y1和y2的圖象“夾死”的唯一直線段，故a=-4，b=112.

文[1]作者通過(guò)平移圖象，用數(shù)形結(jié)合的方法巧妙給出解答，平移后的整個(gè)圖形稍欠簡(jiǎn)潔，本文利用函數(shù)圖象構(gòu)造兩邊“夾死”的方法，畫(huà)出的圖象簡(jiǎn)明、本質(zhì)，解決問(wèn)題的操作方法具有一般性和“可復(fù)制”性.用于解決不等式條件下的等式問(wèn)題特別有效，可以迅速化解難題，對(duì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心有一定價(jià)值.

圖2例2（2015年浙江省數(shù)學(xué)會(huì)夏令營(yíng)測(cè)試題）若對(duì)任意θ∈R，恒有|asinθ-4sin3θ|≤1，求實(shí)數(shù)a的值.

解析設(shè)sinθ=x，x∈[-1，1]，則原不等式可變?yōu)椋?x3-1≤ax≤4x3+1，x∈[-1，1].

設(shè)函數(shù)y1=4x3+1，y2=4x3-1，則線段y=ax（x∈[-1，1]）夾在函數(shù)y1和y2的圖象之間，如圖2所示.

計(jì)算知過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（-1，-3）的直線方程為y=3x.

設(shè)直線y=kx與曲線y1=4x3+1相切于點(diǎn)C（x0，y0），則y0=kx0，

y0=4x30+1，

12x20=k，解得k=3，x0=12，y0=32.

根據(jù)對(duì)稱性，直線y=3x與y2的圖象相切于點(diǎn)D（-12，-32），所以直線y=3x是被曲線y1和y2的圖象“夾死”的唯一直線，故a=3.

由此可得一個(gè)“神解”：令sinθ=1和12，得|a-4|≤1，

|a-1|≤2，即3≤a≤5，

-1≤a≤3，所以a=3.

命題人應(yīng)該是以3倍角公式為背景，通過(guò)三角運(yùn)算獲得解決的.“神解”并沒(méi)有什么教學(xué)價(jià)值，是解題后的娛樂(lè).利用“兩邊夾”的方法則可化解學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)3倍角公式的尷尬，也進(jìn)一步說(shuō)明用這種方法具有一般性，且不依賴于問(wèn)題的本身.

1.2用于求參數(shù)的取值范圍

例3（2014年浙江高考理科22）已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|，（a∈R）.（Ⅱ）設(shè)b∈R，若[f （x）+b]2≤4對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

解析（Ⅱ）的背景也是“兩邊夾”，是用兩條三次曲線夾一條折線.

由題意得：-2≤x3+3|x-a|+b≤2，

即-x3-2≤3|x-a|+b≤-x3+2，③

圖3不等式③表示折線h（x）=3|x-a|+b夾在函數(shù)g1（x）=-x3-2與g2（x）=-x3+2的圖象之間.如圖3所示，當(dāng)折線h（x）的頂點(diǎn)（a，b）位于點(diǎn)C時(shí)，直線y=3x-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）.當(dāng)折線h（x）的頂點(diǎn)（a，b）位于點(diǎn)D時(shí)，容易證明點(diǎn)B恰好是直線y=-3x與曲線g2（x）=-x3+2的圖象的切點(diǎn).直線y=-3x與y=3x-2交于點(diǎn)E（13，-1）.

如圖的陰影區(qū)域（曲邊三角形CDE）是折線h（x）的頂點(diǎn)（a，b）的“可行域”，根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，易知目標(biāo)函數(shù)3a+b的最大值為0，最小值為-2.所以3a+b的取值范圍為[-2，0].

這類問(wèn)題的典型特征是“被夾”的函數(shù)還能在某個(gè)“可行域”內(nèi)“活動(dòng)”，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)在該“可行域”內(nèi)的最優(yōu)解.

這就化解了高考?jí)狠S題的難點(diǎn)，使得考題變得平實(shí)，變得更能為學(xué)生接受.更為重要的是該方法簡(jiǎn)單易學(xué)，容易被學(xué)生復(fù)制.

1.3用于求擴(kuò)張區(qū)間的最大值

例4 （2016年金華十校聯(lián)考）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b，a，b∈R.

（Ⅰ）略；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，1≤f （x）≤10恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值.

解析由1≤f （x）≤10，得1-bx-x≤a≤10-bx-x，設(shè)y1=10-bx-x，y2=1-bx-x.易知當(dāng)0

圖4如圖4，畫(huà)出函數(shù)y1和y2的圖象，直線y=a為一條平行于x軸的直線，與函數(shù)y1的圖象交于點(diǎn)A.根據(jù)圖4，當(dāng)直線y=a與函數(shù)y2的圖象相切時(shí)，區(qū)間[0，b]的長(zhǎng)度達(dá)到最大，此時(shí)b也取到最大值.

函數(shù)y1在區(qū)間[0，b]上的最小值為10-bb-b，函數(shù)y2在區(qū)間[0，b]上的最大值為-2b-1.

所以10-bb-b=-2b-1.解得 b=5.

通常的解法是通過(guò)分類討論，分步獲得結(jié)論，學(xué)生很難完成完整解答，學(xué)生常常是“望題興嘆”，兩邊“夾逼”做法，以“形”助“數(shù)”，把“區(qū)間的最大”轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)“最遠(yuǎn)”，使得區(qū)間的“擴(kuò)張”問(wèn)題變得簡(jiǎn)單直觀.

1.4用于求比值

例5 已知存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（p，q）使得不等式|r2-x2-px-q|≤t（其中r>0，t>0）對(duì)任意x∈[0，r]恒成立，求tr的值.

解析1由題意得：-t+px+q≤r2-x2≤t+px+q.

即弧夾在兩條線之間，根據(jù)圖5知：r-x≤r2-x2≤2r-x.

所以必定有：r-x=-t+px+q，

2r-x=t+px+q.

比較系數(shù)得p=-1，q-t=r，q+t=2r，

所以tr=2-12.

圖5圖6解析2由題意得：r2-x2-t≤px+q≤r2-x2+t，x∈[0，r] .

設(shè)y1=r2-x2-t（四分之一圓?。?，y2=r2-x2+t（四分之一圓弧），y=px+q（線段），根據(jù)線段y=px+q（x∈[0，r]）的唯一性，

如圖6所示，該線段只能被函數(shù)y1和y2的圖象“夾死”，所以線段AB∶y=-x+t+r與函數(shù)y1的圖象相切于點(diǎn)C，所以 dCD=|t+t+r|2=r，

即4tr2+4tr-1=0，解得tr=2-12.

2構(gòu)造不等式兩邊夾

2.1利用三角形不等式構(gòu)造兩邊夾

三角形不等式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|或|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，其中a，b既可以是實(shí)數(shù)或向量，也可以是代數(shù)式等.

例6（2014年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足|f（x）+cos2x|≤34，

|f（x）-sin2x|≤14，則函數(shù)f（x）=.

解析因?yàn)?=sin2x+cos2x≤|f（x）+cos2x|+

|f（x）-sin2x|≤34+14=1，

根據(jù)等號(hào)成立的條件知：

|f（x）+cos2x|=34，|f（x）-sin2x|=14，

去絕對(duì)值，易得f（x）=sin2x-14.

這是利用三角形不等式，構(gòu)造兩邊“夾死”的一個(gè)典范，利用等號(hào)成立的條件求得函數(shù)f（x）的解析式.當(dāng)然也可以從解不等式的角度，利用兩邊“夾死”方法求解：

-34-cos2x≤f（x）≤34-cos2x，

sin2x-14≤f（x）≤sin2x+14，

即-74-sin2x≤f（x）≤sin2x-14，

sin2x-14≤f（x）≤sin2x+14，

所以sin2x-14≤f（x）≤sin2x-14，

即f（x）=sin2x-14.

兩種解法的本質(zhì)是一致的.

2.2利用賦值構(gòu)造不等式

已知fi（x）≤（或≥）M，（i∈N*，M∈R），構(gòu)造形如a≥（或≤）∑ni=1λifi（x）=a（λ∈R）的不等式，則利用等號(hào)成立的條件，可以確定其中參數(shù)的取值.

例7（2015年北大自主招生試題）已知|x2+px+q|≤2對(duì)x∈[1，5]成立，則不超過(guò)p2+q2的最大整數(shù)是.

解令x=1，3，5得

|1+p+q|≤2，①

|18+6p+2q|≤4，②

|25+5p+q|≤2，③

則8≥|（1+p+q）-（18+6p+2q）+（25+5p+q）|=8.

等號(hào)成立的條件當(dāng)且僅當(dāng)p=-6，q=7時(shí)成立，此時(shí)p2+q2=85，故答案為9.

類似的問(wèn)題很多，如2012年浙江高考試題：

設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=.

只需要令x=2，得（2a-3）（3-2a）≥0，

即0≤（2a-3）2≤0，所以a=32.

隨著課程改革的深入，命題技術(shù)的成熟，兩邊夾逼這樣一類在高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的方法，已悄悄的滲透到高考中來(lái)了.解題研究也因此需要與時(shí)俱進(jìn)，通過(guò)函數(shù)圖象的夾逼培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，通過(guò)代數(shù)不等式的夾逼培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過(guò)比較不同類型夾逼的特征，從而拓展夾逼原理的內(nèi)涵.

參考文獻(xiàn)

[1]李金興.數(shù)形結(jié)合解函數(shù)問(wèn)題的幾個(gè)操作策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2016（3）：26.

[2]童其林.“確定變量的范圍”在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（2）：27.endprint