利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的五個策略

徐加華

在近幾年的高考和各地的高考模擬試題中，與函數(shù)有關(guān)的不等式證明問題逐漸受到命題專家的青睞，這類問題具有極強的綜合性和技巧性，考查的內(nèi)容豐富，思想深刻，對于考查考生是否具有扎實的基本功和良好的基本素養(yǎng)不失為一個好的載體.本文立足于當(dāng)前高中知識，對此類不等式進(jìn)行了深入的研究.從技巧的角度總結(jié)了證明函數(shù)不等式的五個策略——構(gòu)、移、放、分、拆.現(xiàn)結(jié)合一些具體例子與大家共享.

1構(gòu)

“構(gòu)”就是指從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，構(gòu)造一個新的差函數(shù)或者商函數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，從而實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使不等式得到證明.其一般步驟是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)→研究單調(diào)性→最值→得出不等關(guān)系→整理得出結(jié)論.基本模式為： （1）證明f（x）0，g（x）>0，也可構(gòu)造商函數(shù)F（x）=f（x）g（x），證明F（x）=f（x）g（x）<1即可. （2） 證明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），如果F′x>0，則F（x）在x∈（a，b）上是增函數(shù)，同時若F（a）≥0，由增函數(shù)的定義可知，x∈（a，b）時，有F（x）>0，即證明了f（x）>g（x）.當(dāng)然如果f（x）>0，g（x）>0，也可構(gòu)造商函數(shù)F（x）=f（x）g（x），證明F（x）=f（x）g（x）>1即可.

例1已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，求證：當(dāng)x>-1時，恒有1-1x+1≤ln（x+1）≤x.

分析本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln（x+1）+1x+1-1，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.

解析f′（x）=1x+1-1=-xx+1， 所以當(dāng)-10，即f（x）在x∈（-1，0）上為增函數(shù)；當(dāng)x>0時，f′（x）<0，即f（x）在x∈（0，+∞）上為減函數(shù)；故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間（0，+∞）.于是函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的最大值為f（x）max=f（0）=0，因此，當(dāng)x>-1時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，所以ln（x+1）≤x.令g（x）=ln（x+1）+1x+1-1，則g′（x）=1x+1-1（x+1）2=x（x+1）2，

當(dāng)x∈（-1，0）時，g′（x）<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，g′（x）>0 ，即g（x）在x∈（-1，0）上為減函數(shù)，在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，故函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上的最小值為g（x）min=g（0）=0，

所以當(dāng)x>-1時，g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+1x+1-1≥0，所以ln（x+1）≥1-1x+1，綜上可知，當(dāng)x>-1時，有1-1x+1≤ln（x+1）≤x.

2移

“移”指的是移項，即移動不等式中有關(guān)字母符號，調(diào)整其在不等式中的位置，將所證不等式的結(jié)構(gòu)調(diào)整優(yōu)化到合理的形式，將問題解決.

例2（2014年全國課標(biāo)Ⅰ理科）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2.

（Ⅰ）求a，b； （Ⅱ）證明：f（x）>1.

解析（Ⅰ） 函數(shù)f（x）的定義域為0，+∞，f′（x）=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1，

由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+2ex-1x，要證f（x）>1，即證exlnx+2ex-1x>1， 即證xlnx>xe-x-2e（說明：移動相關(guān)的字母，優(yōu)化不等式的結(jié)構(gòu)）.設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，所以當(dāng)x∈0，1e時，g′（x）<0，當(dāng)x∈1e，+∞時，g′（x）>0，故g（x）在0，1e單調(diào)遞減，在1e，+∞單調(diào)遞增，從而g（x）在0，+∞的最小值為g（x）min=g（1e）=-1e；設(shè)函數(shù)h（x）=xe-x-2e，則h′（x）=e-x1-x，所以當(dāng)x∈0，1時，h′（x）>0，當(dāng)x∈1，+∞時，h′（x）<0，故h（x）在0，1單調(diào)遞增，在1，+∞單調(diào)遞減，從而h（x）在0，+∞的最大值為

h（x）max=h（1）=-1e.

綜上，當(dāng)x>0時，g（x）≥h（x），又考慮到g（x）min和h（x）max不是在同一處取到，所以g（x）>h（x），即f（x）>1.

說明（1）一般來說，x與lnx，x與ex之間采用減、乘、除等運算所得到的函數(shù)，如x-lnx，xlnx，lnxx，xlnx以及x-ex，xex， exx，xex等函數(shù)有最大值或者最小值，也是基于這樣的原因，本題在移動有關(guān)字母符號進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，注意了這種搭配.

（2）注意：當(dāng)x∈（a，b）時，f（x）min>g（x）maxf（x）>g（x）；

當(dāng)x∈（a，b）時，f（x）>g（x）推不出f（x）min>g（x）max；

3放

“放”指的是將不等式的一側(cè)的值放大或者放小，將不等式的結(jié)構(gòu)優(yōu)化成合理結(jié)構(gòu)，然后獲得解決.放縮的依據(jù)是常用的幾個不等式：ex≥x+1，lnx≤x-1，sinx≤x（x≥0）等.

例3（2013年全國數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅱ理科） 已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m），

（Ⅰ）設(shè)x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時，證明f（x）>0.

解析（Ⅰ）略； （Ⅱ）當(dāng)m≤2時，x+1≥x+m-1，只需證明ex≥x+1，且x+m-1≥ln（x+m），再指出“=”不能成立即可.設(shè)g（x）=ex-（x+1），g′x=ex-1，x1=0是g（x）=ex-1-x的極小值點，也是最小值點，即g（x）≥g（0）=0，所以ex≥x+1，令h（x）=lnx-（x-1），h′x=1x-1=1-xx，x2=1是h（x）=lnx-（x-1）的極大值點，也是最大值點，即h（x）≤h（1）=0，所以lnx≤（x-1），以x+m代替x，有x+m-1≥ln（x+m），此處等號取到的條件是x3+m=1，即x3=1-m.這樣ex≥x+1≥x+m-1≥ln（x+m）， “=”成立的條件是：m-1=1，且x1=x3，即m-1=1，且0=1-m，于是m=1且m=2.（矛盾）所以f（x）>0.

例4（2016年河南競賽試題）已知不等式ln（x+1）≤x對一切x∈（-1，+∞）均成立.證明： （x-1）（e-x-x）+2lnx<12在x∈（0，+∞）恒成立.（其中e=2.71828…）

證明由題意知ln（x+1）≤x，得lnx≤x-1，所以（x-1）（e-x-x）+2lnx<（x-1）（e-x-x）+2（x-1）=（x-1）（e-x-x+2），當(dāng)x∈（0，1）時，（x-1）（e-x-x+2）<0<12；當(dāng)x∈（1，+∞）時，由基本不等式可得（x-1）（e-x-x+2）≤（x-1+e-x-x+22）2=（e-x+12）2≤（e-1+12）2<（0.4+12）2<12.

綜上，命題得證.

點評本題從已知條件的重要不等式ln（x+1）≤x出發(fā)，直接進(jìn)行證明，思路自然，過程流暢.在各類考試中，以ex≥x+1、ln（x+1）≤x為題根的試題屢見不鮮，應(yīng)引起足夠的重視，而且這些不等式源于課本上的習(xí)題.

4分

“分”指的是分類討論，當(dāng)所證不等式情況復(fù)雜不能統(tǒng)一說明時，可根據(jù)題目的情況分情況討論加以證明即可.

例5（2008年山東高考）已知函數(shù)f（x）=1（1-x）n+aln（x-1），其中n∈N*，a為常數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時，有f（x）≤x-1.

解析（Ⅰ）略；（Ⅱ）因為a=1，所以f（x）=1（1-x）n+ln（x-1）.當(dāng)n為偶數(shù)時，令g（x）=x-1-1（1-x）n-ln（x-1），則g′（x）=1+n（x-1）n+1-1x-1=x-2x-1+n（x-1）n+1>0（x≥2）.所以當(dāng)x∈2，+∞時，g（x）單調(diào)遞增，又g（2）=0，因此g（x）=x-1-1（x-1）n-ln（x-1）≥g（2）=0恒成立，所以f（x）≤x-1成立.當(dāng)n為奇數(shù)時，要證f（x）≤x-1，由于1（1-x）n<0，所以只需證ln（x-1）≤x-1，令h（x）=x-1-ln（x-1），則h′（x）=1-1x-1=x-2x-1≥0（x≥2），所以當(dāng)x∈2，+∞時，h（x）=x-1-ln（x-1）單調(diào)遞增，又h（2）=1>0，所以當(dāng)x≥2時，恒有h（x）>0，即ln（x-1）

說明本題根據(jù)n的奇偶性來分類討論進(jìn)行證明.

5拆

“拆”指的是將所證不等式的一側(cè)拆成兩部分（或者多個部分）的和或者乘積的形式，然后分別研究每個函數(shù)的單調(diào)性、最值或者正負(fù)等情況，最后再綜合起來考慮.

基本模式為：（1）要證f（x）>0（或者f（x）<0），先令f（x）=h（x）+m（x），將問題轉(zhuǎn)化為證h（x）+m（x）>0（或者h(yuǎn)（x）+m（x）<0），具體操作上可以通過研究函數(shù)h（x）和m（x）的單調(diào)性、最值或者正負(fù)即可.（2）要證f（x）>0（或者f（x）<0），先令f（x）=h（x）m（x），將問題轉(zhuǎn)化為證h（x）m（x）>0（或者h(yuǎn)（x）m（x）<0），具體操作上可以通過研究函數(shù)h（x）和m（x）的單調(diào)性、最值或者正負(fù)即可.

例6（2016年山東高考理數(shù)）已知f（x）=ax-lnx+2x-1x2，a∈R.（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明f（x）>f′x+32對于任意的x∈1，2成立.

解析（Ⅰ）略；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=1時，f（x）-f′（x）=x-lnx+2x-1x2-（1-1x-2x2+2x3）

=x-lnx+3x+1x2-2x3-1，x∈[1，2]，令g（x）=x-lnx，h（x）=3x+1x2-2x3-1，x∈[1，2].則f（x）-f′（x）=g（x）+h（x），由g′（x）=x-1x≥0可得g（x）≥g（1）=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得等號.又h′（x）=-3x2-2x+6x4，設(shè)（x）=-3x2-2x+6，則（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞減，因為（1）=1，（2）=-10，所以x0∈[1，2]使得x∈（1，x0） 時，（x）>0，x∈（x0，2）時，（x）<0，所以函數(shù)h（x）在（1，x0）上單調(diào)遞增；在（x0，2）上單調(diào)遞減，由于h（1）=1，h（2）=12，因此h（x）≥h（2）=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=2取得等號，所以f（x）-f′（x）>g（1）+h（2）=32，即f（x）>f′（x）+32對于任意的x∈[1，2]成立.

在利用這幾種技巧來證明函數(shù)不等式時，我們的思路可以打開，具體操作上可根據(jù)題目合理選擇方法.

例7（2010年全國數(shù)學(xué)Ⅰ理科）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1.

（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范圍；（Ⅱ）證明：（x-1）f（x）≥0 .

解析法1（采用分類討論處理，不過證明時需要借助第一問的結(jié)論）：（Ⅰ）f′（x）=x+1x+lnx-1=lnx+1x，xf′（x）=xlnx+1，于是xf′（x）≤x2+ax+1等價于lnx-x≤a.令g（x）=lnx-x，則g′（x）=1x-1；當(dāng)00；當(dāng)x≥1時，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值點，則g（x）≤g（1）=-1， 綜上，a的取值范圍是-1，+∞.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0.當(dāng)0

說明本題在處理時，考慮到式子x-1的符號是以1為分界點的，故第二問證明時采用分類討論，需要把函數(shù)f（x）分0

法2：第二問可通過“拆”來證明（不用借助第一問的結(jié)論）.

令H（x）=（x-1）f（x），只需證H（x）>0即可.由條件可知， H（x）=（x-1）f（x）=（x-1）[（x+1）lnx-x+1]=（x2-1）[lnx-x-1x+1]，這樣所證不等式的左邊就可以拆成函數(shù)x2-1與lnx-x-1x+1的乘積形式.令g（x）=lnx-x-1x+1，H（x）=（x2-1）g（x），g′（x）=1x-2（x+1）2=x2+1x（x+1）2>0，故g（x）=lnx-x-1x+1在x∈（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，又g（1）=ln1-1-11+1=0，這樣g（x）=lnx-x-1x+1與x2-1在x∈（0，+∞）保持同號，故H（x）=（x2-1）g（x）≥0.

從以上幾例可以看出，要想利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，掌握好相關(guān)的技巧是解決問題的關(guān)鍵，而“構(gòu)、移、分、拆、放”這些技巧不是孤立的，應(yīng)是相互交融，相互依賴的，真正期待“構(gòu)、移、分、拆、放”五個絕招能幫助考生升入理想的高等學(xué)府.