求解KdV方程和mKdV方程的新方法:(g'/g2)展開法

王思源，陳 浩

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州510006)

非線性方程的求解是自然科學(xué)，尤其是非線性科學(xué)中最重要的部分.可用來闡述諸多復(fù)雜現(xiàn)象，例如規(guī)范場理論和量子場論中的磁單極子問題、瞬子問題;固體物理中的極化子問題和鐵磁鏈孤波問題;流體力學(xué)中的水波問題等.近年來，非線性方程的研究熱點是尋找新的解法并且得出新的精確解. 一些比較主流的求解方法開始在非線性方程中扮演重要角色，例如Hirota 雙線性展開法［1］、Jacobi 雙曲函數(shù)展開法［2］、齊次平衡法［3］及(g'/g)展開法等［4］.

(g'/g)展開法由Wang 等［4］于2008年首先提出，并得出了KdV 方程和mKdV 方程的精確解以及孤立波解.但是，這種方法存在推導(dǎo)繁瑣、冗長等缺點.接著，Li 等［5］提出了(ω/g)展開法并且利用(g'/g)和(g'/g2)這2 種展開方法求得了Vakhnenko 方程的精確解.陳繼培等［6］用(g'/g2)展開法求出了非線性Klein－Gordon 方程的精確通解.使方法比前一種方法更加簡便、有效. 這也同樣適用于KdV 方程和mKdV 方程的求解.

本文引入并介紹(g'/g2)展開法的原理及求解過程，研究了KdV 方程和mKdV 方程的行波解.

1 (g'/g2)展開法的主要求解步驟

(g'/g2)展開法的主要求解步驟［5－6］如下:

第1 步 假設(shè)含獨立變量x、t 的非線性方程可以表示為

其中u=u(x，t).

第2 步 對式(1)做行波變換u=u(ξ)，ξ=x－Vt，得

第3 步 假定式(2)的解可以表示為

式中，g=g(ξ)滿足二階線性常微分方程

式中αi，a，b 是待定常數(shù)，αi≠0，n 可以根據(jù)其次平衡法確定.

第4 步 將方程(4)根據(jù)不同條件求解，代入式(3)，合并的同類項.令各項系數(shù)為0，得出并求解關(guān)于αi，a，b 的方程組.

第5 步 把第4 步得出的解代入式(3)，可得非線性方程的精確行波解. 此步可通過相關(guān)數(shù)學(xué)軟件(如Mathematica 或Matlab)完成.

2 (g'/g2)方程的求解過程

將方程(4)變形，得到

取g=1/y，于是上式可以寫為

當(dāng)ab ＞0 時，

當(dāng)ab ＜0 時，

于是可得方程(4)的通解:

(1)當(dāng)ab ＞0 時，

(2)當(dāng)ab ＜0 時，

上式也可以改寫為

(3)如果a=0，b≠0，則

3 KdV 方程的精確行波解

KdV 方程為

是非線性物理問題中的重要方程，主要用于研究淺水波問題和離子聲波問題，并受到學(xué)界關(guān)注［7－8］.對式(5)作行波變換u=u(ξ)，ξ=x－Vt，得到

上式對ξ 積分，并取積分常數(shù)為C，有

根據(jù)齊次平衡法，式(3)中n =2(n +3 =2n +1).因此KdV 方程的解可以寫為

利用式(3)和方程(4)，可得

求解以上方程組，可以得到

利用式(10)、(8)可以寫為

把式(8)的通解代入式(11)，可得到KdV 方程的精確通解.

(1)當(dāng)ab ＜0 時，得到雙曲函數(shù)通解

其中E，D 是任意常數(shù)，ξ=x－(α0+8abβ)t.

即KdV 方程的孤立波解.

(2)當(dāng)ab ＞0 時，

其中E，D 是任意常數(shù)，ξ=x－(α0+8abβ)t.

即KdV 方程的三角函數(shù)解，反之亦然.

(3)當(dāng)a=0，b≠0 時，

其中E，D 是任意常數(shù)，ξ=x－(α0+8abβ)t.

4 mKdV 方程的精確通解

mKdV 的表達式為

作行波變換u=u(ξ)，ξ=x－Vt，式(17)可得

上式對ξ 積分，并取積分常數(shù)為C，得到

根據(jù)齊次平衡法，在式(3)中，n=1(3n +1 =n +3).則式(19)存在以下解

利用式(3)，可得

把式(21)、(22)代入式(20)得到:

由以上方程有

(1)當(dāng)ab ＜0 時，雙曲函數(shù)通解為

即mKdV 方程的孤立波解.

(2)當(dāng)ab ＞0 時，三角函數(shù)通解為

即mKdV 方程的三角函數(shù)解.

(3)當(dāng)a=0，b≠0 時，有

此處E、D 可取任意常數(shù).

5 (g'/g2)展開法與其他方法求解行波解的比較

一般來說，求解KdV 方程和mKdV 方程的方法主要是利用橢圓函數(shù)的性質(zhì). 然而，橢圓函數(shù)法求解上述2個方程時，得到的是相關(guān)的橢圓函數(shù)正弦波解或余弦波解，這介乎2個極限:線性解和孤立波解之間，在得到橢圓函數(shù)解之后，還需要選取適當(dāng)?shù)臉O限才能得到對應(yīng)的孤立波解. 另外，根據(jù)相關(guān)文獻［4］，(g'/g)展開法也是一個求解方程的較好方法，但是在求解過程中不具有用(g'/g2)展開法所體現(xiàn)的優(yōu)勢.

6 結(jié)論

通常，求解KdV 方程和mKdV 方程的方法主要是利用橢圓函數(shù)法.然而，橢圓函數(shù)法求解上述2個方程時，得到的是相關(guān)的橢圓函數(shù)正弦波解或余弦波解，這介乎2個極限:線性解和孤立波解. 在得到橢圓函數(shù)解之后，還需要選取適當(dāng)?shù)臉O限才可以得到對應(yīng)的孤立波解. 另外，采用(g'/g)展開法求解過程比較冗長、繁瑣.

本文采用(g'/g2)展開法研究了KdV 方程及其變形mKdV 方程. 并且得出了這2個方程的精確通解:雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解及有理函數(shù)解. 如果雙曲函數(shù)中的常數(shù)做出適當(dāng)改變，可得到孤立波解.根據(jù)求解過程，相比(g'/g)展開等方法，采用(g'/g2)展開法研究非線性方程(KdV 方程和mKdV 方程)，具有計算簡便、直接等優(yōu)點. 至于(g'/g2)展開法在求解其他非線性方程的應(yīng)用有待研究與討論.

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［2］Liu S K，Liu S D，F(xiàn)u Z T，et al. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations［J］. Physics Letters A，2001，289:69－74.

［3］Wang M L. Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations［J］.Physics Letters A，1995，199:169－172.

［4］Wang M L，Li X Z，Zhang J L. The (g'/g)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］. Physics Letters A，2008，372:417－423.

［5］Li W A，Chen H，Zhang G C. The (ω/g)-expansion method and its application to Vakhnenko equation［J］.Chinese Physics B，2009，18(2):400－404.

［6］陳繼培，陳浩. (g'/g2)展開法及其在耦合非線性Klein-Gordon 方程中的應(yīng)用［J］. 華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，44(2):63－66.Chen J P，Chen H. The (g'/g2)-Expansion method and its application to coupled nonlinear Klein-Gordon Equation［J］. Journal of South China Normal University:Natural Science Edition，2012，44(2):63－66.

［7］Feng Z S，Chen G. Solitary wave solutions of the compound Burgers Korteg-de Vries Equation［J］.Physica A，2005，352:419－435.

［8］蔣毅，陳渝芝，蒲志林.1 +1 維空間中變系數(shù)KdV 方程組的精確解［J］. 四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，30(6):670－673.Jiang Y，Chen Y Z，Pu Z L. Explicit solutions to the {1+1}-dimensional KdV Equations with variable coefficients［J］. Journal of Sichuan Normal University:Natural Science，2007，30(6):670－673.