代數(shù)體函數(shù)與其系數(shù)函數(shù)的Borel點(diǎn)

孫道椿 ，張少華，吳昭君，郭曉晶

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州510631;2.湖北科技學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，咸寧437100;3.廣州大學(xué)松田學(xué)院，廣州511370)

本文首先研究了單位圓內(nèi)的k 值代數(shù)體函數(shù)，證明了一些單位圓內(nèi)的定理. 然后利用這些定理首次研究了確定代數(shù)體函數(shù)的系數(shù)函數(shù)的Borel 點(diǎn)與代數(shù)體函數(shù)的Borel 點(diǎn)間的關(guān)系. 本文使用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)與文獻(xiàn)［1］－［10］相同.

設(shè)Ak(z)，Ak－1(z)，…，A0(z)是連通區(qū)域D 內(nèi)一組沒(méi)有公共零點(diǎn)的解析函數(shù)，則二元復(fù)方程

定義了區(qū)域D 上的一個(gè)k 值代數(shù)體函數(shù)W(z). 若Ψ(z，W)在D 上是不可約的，則稱(chēng)W(z)是D 上的不可約k 值代數(shù)體函數(shù). 本文一般不要求代數(shù)體函數(shù)是不可約的. 若Ak(z)≡1，則稱(chēng)W(z)是D 上的k值整代數(shù)體函數(shù).若Ak(z)，…，A0(z)都是D 上的多項(xiàng)式，則稱(chēng)W(z)是D 上的k 值代數(shù)函數(shù).

用經(jīng)過(guò)所有分支點(diǎn)的曲線(xiàn)將圓盤(pán){|z| ＜R}割開(kāi)成單連通區(qū)域D－，W(z)在D－上分離成k個(gè)單值分支，記為定義

定理1 設(shè)W(z)= {(wt(z)，a)}，M(z)={(mt(z)，a)}是{|z| ＜R}上2個(gè)有對(duì)應(yīng)關(guān)系的k 值代數(shù)體函數(shù).則對(duì)任意r(0，R)，有

為了建立圓盤(pán)內(nèi)代數(shù)體函數(shù)的Nevanlinna 第一基本定理，給出如下引理.

引理1 設(shè)f(z)和g(z)是圓盤(pán){|z| ＜R}上2個(gè)不恒為零、也不恒為無(wú)窮的亞純函數(shù)，對(duì)任意r(0，R)，有

則在b 點(diǎn)附近有

因此

當(dāng)p+q≥0 時(shí)，n(b，f/g=∞)=p+q，n(b，f/g =0)=0.當(dāng)p+q ＜0 時(shí)，n(b，f/g =∞)=0，n(b，f/g =0)=－p－q. 所以

定理2 (代數(shù)體函數(shù)的Jensen 公式)設(shè)W(z)是圓盤(pán)G={|z| ＜R}內(nèi)由二元復(fù)方程

定義的k 值代數(shù)體函數(shù).

i)若A0(z)=Ψ(z，0)?0，則其中ak是亞純函數(shù)在原點(diǎn)羅朗展式中第一個(gè)非零系數(shù).

ii)若Ψ(z，b)?0，則

其中cb是亞純函數(shù)Ψ(z，b)/Ak(z)在b 點(diǎn)羅朗展式中第一個(gè)非零系數(shù).

證明 用經(jīng)過(guò)所有分支點(diǎn)的曲線(xiàn)將圓盤(pán)G 割開(kāi)成單連通區(qū)域D－，設(shè){Wj(z)}是D－上分離W(z)得到的k個(gè)單值分支.

上面第2個(gè)等式用到了引理1，并注意N(r，A0(z)=∞)=0 =N(r，Ak(z)=∞).

ii)令M=W－b，則二元復(fù)方程

定義一個(gè)k 值代數(shù)體函數(shù)M(z). 注意Ψb(z，0)≡Ψ(z，b)≡B0(z)，對(duì)M(z)應(yīng)用i)即得ii).

定理3 (Nevanlinna 第一基本定理)設(shè)W(z)是圓盤(pán){|z| ＜R}上由二元復(fù)方程(1)定義的k 值代數(shù)體函數(shù). 設(shè)bC，Ψ(z，b)?0，則有

其中cb是Ψ(z，b)/Ak(z)在原點(diǎn)羅朗展式中第一個(gè)非零的系數(shù).

證明 由定理1 知

結(jié)合二者得

應(yīng)用定理2 得

代入式(2)就得到定理3.

定理4 設(shè)W(z)是圓盤(pán){|z| ＜R+ε}內(nèi)由二元復(fù)方程

定義的k 值整代數(shù)體函數(shù). 定義它的最大模函數(shù)為

則對(duì)任意0 ＜r ＜R，有

證明 先證明第一個(gè)不等式，即

知

因此

所以

對(duì)上式取對(duì)數(shù)后運(yùn)用Poisson-Jensen 公式及韋達(dá)定理

即

定理4 得證.

注1 關(guān)于不可約代數(shù)體函數(shù)的Jensen 公式和第一基本定理，在文獻(xiàn)［2］中均有詳細(xì)描述，我們這里的證明不要求代數(shù)體函數(shù)是不可約的. 關(guān)于平面上整代數(shù)體函數(shù)與定理4 對(duì)應(yīng)的結(jié)果見(jiàn)文獻(xiàn)［4］.

為了確定代數(shù)體函數(shù)的系數(shù)函數(shù)的Borel 點(diǎn)與代數(shù)體函數(shù)的Borel 點(diǎn)之間的關(guān)系，我們先研究單位圓內(nèi)代數(shù)體函數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)與其系數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)之間的關(guān)系. 文獻(xiàn)［4］研究了復(fù)平面上的代數(shù)體函數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)與其系數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)之間的關(guān)系.

定義1 設(shè)n(r)是(0，1)上的正值實(shí)函數(shù). 定義n(r)的級(jí)為

定義T(r，W)的級(jí)為單位圓內(nèi)代數(shù)體函數(shù)W(z)的級(jí).

設(shè)W(z)是單位圓內(nèi)的k 值整代數(shù)體函數(shù). 由定理4 得ρ(W)≤p(log+M(r，W))≤1 + ρ(W).

引理2［10］設(shè)n(r)是(0，1)上的正值實(shí)函數(shù).若p(n(r))≥1，則有p(n(r))= 1 +p(N(r))，這里

引理3［9］設(shè)W(z)是單位圓內(nèi)由式(1)確定的k - 值代數(shù)體函數(shù). 則

其中ck表示Ak(z)在零點(diǎn)的羅朗展式中第一個(gè)非零系數(shù)，

引理4 設(shè)W(z)是單位圓內(nèi)由式(1)確定的ρ(W)級(jí)k－值代數(shù)體函數(shù). 則

從而有ρ(W)≤ρ(AM))，其中ρ(AM)=max{ρ(At);t=0，1，2，…，k}.

證明 由μ(r，A)的定義有

由此即得引理.

注2 引理4 的反方向的不等式不一定成立.如H(z)=exp{(1/(1－z))2}.注意單位圓內(nèi)2 值代數(shù)體函數(shù)H(z)(1－z)W2－H(z)=0 可寫(xiě)成W(z)，故是零級(jí)的(ρ(W)=0)，但ρ(A0)

引理5 設(shè)W(z)是單位圓內(nèi)由式(1)確定的ρ(W)級(jí)k 值代數(shù)體函數(shù).任取t，u{0，1，2，…，k}，若Au(z)?0，則有

其中|x|+=max{1，x}.則

結(jié)合引理3 及式(3)，得

再結(jié)合引理4 即得ρ(W)=ρ(AM).

由引理5 立即可得

推論1 W(z)是單位圓內(nèi)由式(1)確定的ρ(W)級(jí)k 值整代數(shù)體函數(shù). 則必有ρ(W)=ρ(AM)成立，即ρ(W)=max{ρ(Aj);j=0，1，2，…，k－1}.

引理6 任取ε ＞0，

是將扇形{z;0 ＜|z| ＜1}∩{z;|arg z| ＜ε}變到單位圓盤(pán){|w| ＜1}的共形映射.則存在一個(gè)僅與ε 有關(guān)的常數(shù)b(0，1)，使得

容易驗(yàn)證w(z)是將扇形{z;b ＜|z| ＜1}∩{z;|arg z|＜ε}變到單位圓盤(pán){|w| ＜1}的共形映射，且有記z0=peiφ=pcos φ+ipsin φA，令

則由式(4)有

又由于

結(jié)合式(5)～(7)知

結(jié)合式(8)、(9)可得

下面研究單位圓內(nèi)代數(shù)體函數(shù)的Borel 點(diǎn)和確定代數(shù)體函數(shù)的系數(shù)函數(shù)的Borel 點(diǎn)之間的關(guān)系.為此，先給出Borel 點(diǎn)的定義.

定義2 設(shè)W(z)是單位圓內(nèi)k 值代數(shù)體函數(shù)(包括圓內(nèi)亞純函數(shù))，若對(duì)任意bC∞，至多除去2k個(gè)例外(至多有2個(gè)例外值)，任意ε ＞0，n(r，t－ε，t +ε，W =b)(表示扇形{z;b ＜|z| ＜r}∩{z;|arg z－t| ＜ε}中W(z)－b 的零點(diǎn)個(gè)數(shù))的級(jí)恒為p，則稱(chēng)eit是W(z)的p 級(jí)Borel 點(diǎn).若n(r，t－ε，t +ε，W=b)的級(jí)至少為p，則稱(chēng)eit是W(z)的至少為p級(jí)的Borel 點(diǎn).

定理5 設(shè)W(z)是單位圓內(nèi)由二元復(fù)方程

定義的k 值整代數(shù)體函數(shù). 設(shè)eit是Aj(z)(0≤j≤k－1)的一個(gè)p(＞1)級(jí)Borel 點(diǎn)，則eit一定是W(z)的一個(gè)至少p 級(jí)的Borel 點(diǎn). 特別，若代數(shù)體函數(shù)是p－1 級(jí)的，則eit是W(z)的p 級(jí)的Borel 點(diǎn).

其中n(r，t－ σ，t + σ，Aj(z)= b)= n(r，－ σ，σ，Aj(zeit)=b). 用映射(4)將扇形D:={|z| ＜1}∩{|arg z| ＜ε}變到單位圓B:={|w| ＜1}，其逆映射記為z(w)，由引理6 得

即n(r，Aj(z(w)eit)=b)在單位圓B 內(nèi)的級(jí)至少是p. 由引理2，N(r，Aj(z(w)eit)=b)在B 內(nèi)的級(jí)至少是p－1. 結(jié)合亞純函數(shù)的Nevanlinna 第一基本定理，單位圓內(nèi)解析函數(shù)Aj(z(w)eit)的級(jí)至少是p－1.由推論1，整代數(shù)體函數(shù)W(z(w)eit)在單位圓B 內(nèi)的級(jí)至少是p－1 級(jí). 再結(jié)合代數(shù)體函數(shù)的Nevanlinna 第二基本定理及引理2，任取d 不是例外值，則n(r，W(z(w)eit)=d)在單位圓B 內(nèi)至少是p級(jí).應(yīng)用引理6 即得

這說(shuō)明在扇形{|z| ＜1}∩{|arg z| ＜ε}內(nèi)，n(h，－ε，ε，W(zeit)=d)至少是p 級(jí)，即在扇形D:={|z| ＜1}∩{|t－arg z| ＜ε}內(nèi)，n(h，t－ε，t +ε，W(z)=d)至少是p 級(jí).由d 的任意性，eit是W(z)的至少p 級(jí)Borel 點(diǎn). 若代數(shù)體函數(shù)是p－1 級(jí)的，則eit是W(z)的至多p 級(jí)Borel 點(diǎn).

定理6 設(shè)W(z)是單位圓內(nèi)由二元復(fù)方程

定義的k 值代數(shù)體函數(shù).若eit是W(z)的一個(gè)p(＞1)級(jí)的Borel 點(diǎn)，則至少存在一個(gè)正整數(shù)j{0，1，2，…，k}，使eit是Aj(z)的一個(gè)至少p 級(jí)的Borel 點(diǎn).

類(lèi)似定理5 的證明，可以證明N(r，W(z(w)eit)=b)在單位圓內(nèi)的級(jí)至少是p－1.由定理3，單位圓內(nèi)代數(shù)體函數(shù)W(z(w)eit)的級(jí)至少是p－1. 由引理4，至少存在一個(gè)正整數(shù)j{0，1，2，…，k}，使單位圓內(nèi)解析函數(shù)Aj(z(w)eit)的級(jí)至少是p－1.結(jié)合亞純函數(shù)的Nevanlinna 第二基本定理及引理2，任取d 不是例外值，則n(r，Aj(z(w)eit)=d)在單位圓B 內(nèi)至少是p 級(jí).再用引理6 即得

這說(shuō)明在扇形D:={|z| ＜1}∩{|arg z| ＜ε}內(nèi)，n(h，－ε，ε，Aj(zeit)=d)至少是p 級(jí)，即在扇形D:={|z| ＜1}∩{|t－arg z| ＜ε}內(nèi)，n(h，t－ε，t +ε，Aj(z)=d)至少是p 級(jí). 由d 的任意性，eit是Aj(z)的至少p 級(jí)Borel 點(diǎn).

定理7 設(shè)W(z)是單位圓內(nèi)由二元復(fù)方程

定義的k 值p－1(＞0)級(jí)整代數(shù)體函數(shù). 則eit是W(z)的p(＞1)級(jí)Borel 點(diǎn)的充分必要條件是至少存在一個(gè)正整數(shù)j{0，1，2，…，k－ 1}，使eit是Aj(z)的一個(gè)p(＞1)級(jí)Borel 點(diǎn).

證明 由定理5 得充分性. 下證必要性:設(shè)eit是W(z)的p(＞1)級(jí)Borel 點(diǎn)，由定理6，存在正整數(shù)j{0，1，2，…，k}，使eit是Aj(z)的一個(gè)至少p 級(jí)的Borel 點(diǎn). 結(jié)合推論1，Aj(z)的級(jí)至多是p－1，因此eit至多是Aj(z)的p 級(jí)Borel 點(diǎn).證畢.

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