基于激波場(chǎng)張量捕捉的超聲速?gòu)椡韪?

顧國(guó)華，楊 溢，王積忠，陳 浩

（陸軍軍官學(xué)院，合肥 230031）

0 引言

空氣動(dòng)力學(xué)研究表明，當(dāng)旋成體（如彈丸）以超聲速在空中飛行時(shí)將產(chǎn)生激波，不同物體、不同飛行條件產(chǎn)生的激波不同，激波狀況體現(xiàn)了飛行物的氣動(dòng)特征。為研究旋成體氣動(dòng)特性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者和團(tuán)隊(duì)從不同角度和方向在理論和實(shí)驗(yàn)上進(jìn)行了較為深入的研究［1-4］。

從公開(kāi)報(bào)道看，Munk［5］較早提出了旋成體氣動(dòng)特性，提出基于細(xì)長(zhǎng)體位勢(shì)流理論并進(jìn)行數(shù)值模擬解算，可求解 0～5°迎角的氣動(dòng)問(wèn)題。Jorgense［6］將橫流理論氣動(dòng)分解為勢(shì)流項(xiàng)和橫流粘性項(xiàng)，并對(duì)相關(guān)阻力進(jìn)行修正和分解。后來(lái)逐漸發(fā)展了激波捕捉方法，如Harten1983年提出的TVD差分格式，該方法是一種具有二階精度的總變差不增算法；之后發(fā)展為對(duì)稱(chēng)型TVD。近代高分辨率的激波捕捉算法得以長(zhǎng)足發(fā)展，大體可歸納為以下4種：

①TVD差分格式的升級(jí)，ENO格式和WENO格式。②Godunov間斷分解方法。③FCT差分格式。④Roe差分格式。

為探索基于激波場(chǎng)張量的彈丸跟蹤，本文提出建立三維Euler方程求解來(lái)確立激波捕捉張量，通過(guò)激波捕捉陣列多聲信號(hào)融合處理，實(shí)現(xiàn)對(duì)高精度反演激波聲場(chǎng)位置解算和跟蹤。

1 彈丸激波場(chǎng)

由空氣動(dòng)力學(xué)原理可知，當(dāng)彈丸以超聲速在空中飛行時(shí)，勢(shì)必造成對(duì)彈丸頭部周邊空氣的擠壓，而使得彈尾部空氣稀疏。因而在頭部形成壓縮波（高壓波），在尾部形成稀疏波。通常將其壓縮波稱(chēng)為彈丸激波。是一種非線性大氣聲學(xué)現(xiàn)象，如圖1所示。由激波形成的某一區(qū)域稱(chēng)為激波場(chǎng)。

在二維空間分析，激波的高壓區(qū)傳播速度大于聲速，而低壓區(qū)則低于聲速。因而，通常形成起伏狀波形，形似英文字母“N”，所以俗稱(chēng)為“N”波。

彈丸“N”波的形成過(guò)程大體上可分為4個(gè)階段［7］如圖 2所示。

2 彈丸激波捕捉

2.1 激波張量分析

二維Euler方程是分析空氣動(dòng)力學(xué)的基本模型。為了抑制振蕩和過(guò)沖現(xiàn)象，將通量項(xiàng)分解為對(duì)流通量項(xiàng)和壓力項(xiàng)，在文獻(xiàn)［8-9］的基礎(chǔ)上拓展，采用理想氣體模型建立三維Euler方程（1）。采用張量捕捉方法的優(yōu)勢(shì)在于信號(hào)更全面、更精確，利于分析處理。

其中，

其中，ρ為壓力，u，v和 w 分別為 x，y，z方向上的速度分量，e，E為單位體積內(nèi)的內(nèi)能和總能。

方程（1）可轉(zhuǎn)化為守恒型形式：

由式（1）、式（2）可得

解得非線性雅可比系數(shù)特征值矩陣ΛA如下，同理可解得 ΛB、ΛC。

解得A特征矢量矩陣RA如下，同理可解得B、C 的特征矢量矩陣 RB、RC。

2.2 激波捕捉累積多聲信號(hào)融合算法

根據(jù)文獻(xiàn)［10］建立的二維守恒型Euler方程，在任一點(diǎn)（x，y）處，將體積采用有限體積法可得：

其中，Rx，y表示流出控制體的凈通量，在某一定點(diǎn)（i，j）處，凈通量以通量形式可表示為

在α角度上，令信號(hào)空間U1與V1張成，噪聲子空間由U2與V2張成，將其進(jìn)行進(jìn)行奇異值分解［11］

以i方向的通量為例，將通量計(jì)算公式改為：

對(duì)于由M*N矩陣組成的聲矢量傳感器陣列

在i-1/2界面處的壓強(qiáng)p可表示為

進(jìn)行奇異值分解可得

式中：∑'1為非零奇異值矩陣。U'1和V'1張成信號(hào)子空間，U'2和V'2張成與信號(hào)子空間正交的噪聲子空間。

考慮到實(shí)際接收的數(shù)據(jù)矩陣長(zhǎng)度有限，因此，對(duì)循環(huán)相關(guān)矩陣取最大似然估計(jì)

其中，L為快拍數(shù)。

3 彈丸運(yùn)動(dòng)跟蹤

超聲速?gòu)椡杩罩酗w行時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡影響因素多、不易捕捉、具有一定隨機(jī)性。試驗(yàn)與反演以某彈丸對(duì)空射擊背景，航路參數(shù)為：等速直線水平飛行1 000 m，高度500 m，捷徑400 m，目標(biāo)航速200 m/s，航向由北向南。通過(guò)測(cè)試與反演彈目偏差解算跟蹤彈丸，檢驗(yàn)彈丸運(yùn)動(dòng)跟蹤濾波效果。

經(jīng)激波聲場(chǎng)3 500個(gè)采樣點(diǎn)后提取彈丸運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示。采用ENO格式處理后的的軌跡如圖4所示，采用Godunov法處理后的軌跡如圖5所示，采用本文提出的激波張量捕捉法處理后的波形如下頁(yè)圖6所示。

仿真實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)比較分析，在3 500點(diǎn)采樣數(shù)據(jù)中，相對(duì)于初始數(shù)據(jù)，采用3種方法處理后的殘差曲線統(tǒng)計(jì)，采用ENO格式法的跟蹤誤差為18.5%，采用Godunov法的跟蹤誤差為15.6%，采用本文提出的激波張量捕捉法的跟蹤誤差減小到8.9%。

4 結(jié)論

當(dāng)前，采用彈丸激波場(chǎng)對(duì)彈丸進(jìn)行跟蹤的研究還不夠深入。本文探討了基于激波場(chǎng)張量的彈丸跟蹤仿真，實(shí)驗(yàn)和反演表明，提出的激波張量捕捉法收斂效果好，精度較高，有效解決了復(fù)雜激波聲場(chǎng)中彈丸跟蹤精度和收斂速度的矛盾，為超聲速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位和跟蹤提供了一種新方法。

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