整體思想巧解方程

蘇有焱

整體思想就是從整體上考慮題目中的數(shù)量關(guān)系及性質(zhì)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理。

在學(xué)習(xí)《簡易方程》這個單元時，如果能靈活運用整體思想，往往給我們帶來意想不到的效果。

例1：已知a+b+b=18，a+b=14，a和b各是多少？

【分析】部分同學(xué)一看到題中有兩個未知數(shù)便覺得無從下手。其實通過仔細觀察、分析，可以看出把第二個條件“a+b=14”整體代入到第一個條件“a+b+b=18”中，則可消除一個未知數(shù)a，式子變?yōu)椤?4+b=18”，從而輕松求出b=4，a=10。在這個問題中，我們選擇整體代換的方法，根據(jù)問題的條件，選擇“a+b=14”，將它們看成一個整體，進行等量代換，達到減少計算量的目的。

例2： 3個連續(xù)自然數(shù)的和是66，那么這3個數(shù)分別是多少？

【分析】相鄰的自然數(shù)之間相差“1”，學(xué)生習(xí)慣上會設(shè)第一個數(shù)為x，第二個數(shù)是x+1，第三個數(shù)是x+2，然后列出的方程為x+x+1+x+2。其實如果從整體考慮，以中間的數(shù)為基礎(chǔ)設(shè)未知數(shù)，即設(shè)這三個數(shù)分別是x-1，x，x+1，則有x-1+x+x+1=66，整理得3x=66，進而解得x=22，可知這三個數(shù)分別為：21，22，23。整個解題過程，從整體出發(fā)、聯(lián)想，以中間的數(shù)為基礎(chǔ)設(shè)未知數(shù)，通過相消部分數(shù)字，使方程和計算都更為簡單。

變式訓(xùn)練

3個連續(xù)奇數(shù)的和是69，那么這三個數(shù)分別是多少？

提示：設(shè)這三個數(shù)分別是x-2，x，x+2。

例3：小剛和小明兩人一起去商店購買同樣的光盤，小剛買了8張，小明買了12張，兩人一共花了160元。每張光盤幾元？

【分析】不少同學(xué)習(xí)慣利用“小剛買光盤花的錢+小剛買光盤花的錢=160元”的等量關(guān)系來列方程。其實，考慮到每張光盤價錢是一樣的，可以先求購買數(shù)量，再利用“單價×數(shù)量=總價”的等量關(guān)系來列方程。即，設(shè)每張光盤元，則有（8+12）x=160，即20x=160，解得x=8。解決問題時，我們往往習(xí)慣于“化整為零”，但有時候若能仔細觀察問題的特點和具體要求，從全局出發(fā)把握整體則會事半功倍。

例4：媽媽今年的年齡是小蘭的3倍，她們今年一共44歲。小蘭和媽媽今年分別是多少歲？

【分析】題中有兩個未知量，并且是倍數(shù)關(guān)系，為了方便理解和計算，我們習(xí)慣上以小的量為基礎(chǔ)設(shè)未知數(shù)，即設(shè)小蘭今年歲，則媽媽今年歲。依據(jù)題意有x+33x=44，整理得4x=44，解得x=11，所以媽媽的年齡為11×3=33（歲）。

運用整體思想解題可以使我們不必糾纏于局部細節(jié)，而能拓寬思路和開闊眼界。其實，對數(shù)學(xué)而言，不僅僅是細節(jié)，看待問題需要將細節(jié)與整體相結(jié)合，利用化歸與集成的思維去研究問題。它能夠很好地讓問題化繁為簡，化難為易。

（答案在本期找）