初中數(shù)學(xué)中圖形面積與反比例函數(shù)的結(jié)合問(wèn)題分析

莊光新

在新課程改革背景下，初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)當(dāng)逐步形成以知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決以及情感態(tài)度為核心的四維目標(biāo).上述目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)結(jié)果會(huì)直接影響對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的考評(píng)結(jié)果.近年來(lái)，通過(guò)對(duì)中考試題的觀察與分析，不難發(fā)現(xiàn)，幾何圖形與函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合已成為考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.為進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，關(guān)鍵應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過(guò)程中積極探索圖形面積與反比例函數(shù)相結(jié)合的方法，以培養(yǎng)學(xué)生解決圖形面積與反比例函數(shù)結(jié)合問(wèn)題的能力，突破思維定式方面的局限性，達(dá)到更為理想的教學(xué)效果.

一、研究基本圖形，掌握?qǐng)D形特征

如，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)一般解析式y(tǒng)=kx圖像相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程中，常常遇到這樣的結(jié)論：“已知某反比例函數(shù)y=kx，且過(guò)圖像上任意一點(diǎn)A（a，b）分別向x軸以及y軸作垂線，構(gòu)成矩形面積為ab，由于點(diǎn)A在圖像上，故ab=k.”根據(jù)這一關(guān)系可知：同一個(gè)反比例函數(shù)圖像的點(diǎn)構(gòu)成這樣的矩形面積都相等，以此作為基本圖形，可以為教師后續(xù)有關(guān)圖形面積與反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的深入探究提供基礎(chǔ)，進(jìn)而促進(jìn)知識(shí)點(diǎn)的深入掌握.

二、重視基本圖形，解決相關(guān)問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)將關(guān)注學(xué)生在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的主體地位，盡可能引導(dǎo)學(xué)生自主探究，以培養(yǎng)他們良好的創(chuàng)新能力.應(yīng)引起學(xué)生對(duì)基本圖形的重視，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題解決能力的提高.以下結(jié)合例題進(jìn)行說(shuō)明：

例1 如圖1所示，過(guò)y軸正半軸任意一點(diǎn)P作與x軸相平行的直線，且分別與該坐標(biāo)系中反比例函數(shù)y=-4x與反比例函數(shù)y=2x交叉于A點(diǎn)以及B點(diǎn).假定C點(diǎn)為x軸上任意一點(diǎn)，連接線段AC與BC，求△ABC的面積取值.

分析 在求解該題的過(guò)程中，解題的關(guān)鍵在于尋找已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將已有結(jié)構(gòu)圖形面積與反比例函數(shù)相結(jié)合，以簡(jiǎn)化分析過(guò)程，得出準(zhǔn)確結(jié)果.故在探究該題目的過(guò)程中，可以連接OA以及OB，根據(jù)圖形面積基本性質(zhì)可知△AOP與△BOP的面積之和為△AOB的面積，均為3.在此基礎(chǔ)之上，需要利用三角形圖像性質(zhì)“兩個(gè)同底等高三角形面積一致”推導(dǎo)出△ABC與△ABO屬于同底等高三角形，故面積一致，因此△ABC面積同樣為3.除此以外，還可分別過(guò)點(diǎn)A以及點(diǎn)B作x軸的垂線，所得到的矩形圖像面積為6，然后將需要求解的△ABC面積轉(zhuǎn)換為12矩形面積問(wèn)題，以得出正確的結(jié)果.

由此可見(jiàn)，學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形面積與反比例函數(shù)相結(jié)合知識(shí)點(diǎn)的靈活掌握，能夠在求解題目的過(guò)程中積極尋找所熟悉的基本圖形，并應(yīng)用圖形面積特點(diǎn)以得出準(zhǔn)確結(jié)果，提供多種不同的求解思路與方法，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及發(fā)散性思維也是非常重要的.

三、加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系，培養(yǎng)問(wèn)題解決能力

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師必須對(duì)教學(xué)觀念進(jìn)行積極更新，以促進(jìn)師生思維層面的積極影響，主動(dòng)展開(kāi)對(duì)相關(guān)問(wèn)題的思考，形成更富新意的思維結(jié)構(gòu).因此，在圖形面積與反比例函數(shù)相結(jié)合知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)牢牢抓住知識(shí)環(huán)節(jié)，重視能力發(fā)展與知識(shí)結(jié)構(gòu)的結(jié)合，積極引導(dǎo)學(xué)生提高自身能力，以提高問(wèn)題解決的整體能力.以下結(jié)合例題進(jìn)行說(shuō)明：

例2 如圖2所示，已知存在某雙曲線y=kx（且滿足k>0）經(jīng)Rt△OAB中斜邊OB中點(diǎn)D，同時(shí)與直角邊AB相交于C點(diǎn).假定△OBC面積為6，求k的值.

分析 在求解該題的過(guò)程中，需要在復(fù)雜的圖形中找準(zhǔn)需要進(jìn)行分析求解的圖形，以尋找突破口，即△OAC，根據(jù)反比例函數(shù)與圖形面積之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知△OAC面積為k2，同時(shí)△OAB的面積可表示為2k+6.加之題目給出已知條件“雙曲線y=kx（且滿足k>0）經(jīng)Rt△OAB中斜邊OB中點(diǎn)D，同時(shí)與直角邊AB相交于C點(diǎn)”，根據(jù)以上表述可知DH與OA呈垂直關(guān)系，再根據(jù)圖形面積特點(diǎn)可知△ODH面積同樣可用2k的方式表示，故可根據(jù)中位線得知△OAB與△ODH在面積間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即△OPB=4×△ODH，故可形成等式關(guān)系“k2+6=2k”，解得k值為4.

四、結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合筆者教學(xué)實(shí)踐工作經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，在初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)實(shí)踐中，滲透數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的內(nèi)容與目標(biāo)之一.而數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中的最佳體現(xiàn)就是圖形面積與反比例函數(shù)的相關(guān)性問(wèn)題.因此，教師必須將圖形面積與反比例函數(shù)相結(jié)合知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)以及相關(guān)問(wèn)題的求解分析作為教學(xué)重點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生掌握兩種知識(shí)點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)歸納與總結(jié)的能力，在主動(dòng)且有效的探究性學(xué)習(xí)過(guò)程中，不斷提高對(duì)圖形面積以及反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，最終促進(jìn)數(shù)學(xué)成績(jī)的不斷提高.endprint