結(jié)構(gòu)化：一種必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

夏玉英

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以數(shù)學(xué)本質(zhì)為源，關(guān)注單元知識(shí)與階段性知識(shí)結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)，通過(guò)整體架構(gòu)，倒逼知識(shí)解構(gòu)與再建構(gòu)，在解構(gòu)與建構(gòu)中尋求聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化；思維訓(xùn)練；核心素養(yǎng)

布魯姆說(shuō)過(guò)：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”，數(shù)學(xué)學(xué)科也不例外，它除了本身知識(shí)、技能等結(jié)構(gòu)元素外，還包含各個(gè)構(gòu)成元素之間的聯(lián)系，而主動(dòng)建構(gòu)這種聯(lián)系，就要幫助學(xué)生形成“結(jié)構(gòu)化”的思維.在教學(xué)前有統(tǒng)領(lǐng)教材整體意識(shí)，以數(shù)學(xué)本源為線(xiàn)索，有效整合教材知識(shí)，關(guān)注單元知識(shí)與階段性知識(shí)結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)，通過(guò)整體架構(gòu)，倡導(dǎo)小學(xué)高年級(jí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，并立足學(xué)生的思維水平，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，以思維結(jié)構(gòu)化為導(dǎo)向，在解構(gòu)與建構(gòu)中尋求聯(lián)系，樹(shù)立系統(tǒng)教學(xué)理念，從知識(shí)的整體性這個(gè)高度出發(fā)，訓(xùn)練學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化，關(guān)注師生之間“教”與“學(xué)”關(guān)系的重建，再造課堂結(jié)構(gòu)、教學(xué)流程，為“教”與“學(xué)”增值，更有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).那么，如何實(shí)現(xiàn)在教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)呢？

一、關(guān)注單元知識(shí)結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有的教師往往缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，只關(guān)注“點(diǎn)”的呈現(xiàn)，局限于課時(shí)教學(xué)，容易割裂知識(shí)的結(jié)構(gòu)，削弱或偏離了數(shù)學(xué)學(xué)科的課程目標(biāo)，其次缺乏對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的整體設(shè)計(jì)，滿(mǎn)足于當(dāng)前教參的活動(dòng)設(shè)計(jì)，視野短期化，忽略甚至局限了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)能力的長(zhǎng)期培養(yǎng)，作為教師，應(yīng)該樹(shù)立系統(tǒng)的教學(xué)理念，教學(xué)前關(guān)注單元知識(shí)結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)，將相關(guān)領(lǐng)域的知識(shí)通過(guò)橫向架構(gòu)，有機(jī)滲透，融入在教學(xué)過(guò)程中，使學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)得到整體提升，這才是我們要做的.

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)完“多邊形面積”復(fù)習(xí)后完成練習(xí)（圖1左）題時(shí)，

出現(xiàn)這道求陰影部分的面積，幾乎所有的學(xué)生都采用S陰=S梯-S三來(lái)求得，而當(dāng)接下來(lái)的練習(xí)中再次出現(xiàn)此類(lèi)題但是缺少一個(gè)已知條件（圖1右）的時(shí)候，學(xué)生束手無(wú)策，很多教師也用了假設(shè)法來(lái)進(jìn)行講解，這顯然違背了教材的本意，其實(shí)我們?cè)诮虒W(xué)三角形面積的推導(dǎo)時(shí)，如果從教材常規(guī)思路這個(gè)基點(diǎn)出發(fā)，再次有意識(shí)深入引導(dǎo)，設(shè)計(jì)以下環(huán)節(jié)，我想會(huì)有效得多.① 出示長(zhǎng)方形和平行四邊形，都被對(duì)角線(xiàn)分成兩個(gè)完全一樣的三角形，探究得出三角形和長(zhǎng)方形（平行四邊形）之間的關(guān)系——等底等高，從而得到三角形的面積一定是與它等底等高的長(zhǎng)方形（平行四邊形）面積的一半；② 出示（圖2）比較：把三角形的一個(gè)頂點(diǎn)沿著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)不斷移動(dòng)，可以得到很多形狀不同的三角形，那么這里的三角形是不是都是長(zhǎng)方形面積的一半？為什么？那么你能否推想得出下列三角形和平行四邊形面積之間的關(guān)系呢？

③ 拓展（圖3）：兩個(gè)長(zhǎng)方形（平行四邊形）形狀相同、面積相等，比較兩個(gè)三角形的面積，誰(shuí)大一些？④ 深入推理：如，在長(zhǎng)方形中，分割了兩個(gè)三角形（圖4），那么這兩個(gè)三角形的面積和長(zhǎng)方形面積有什么關(guān)系？分成三個(gè)？四個(gè)呢？⑤ 延伸：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，你能對(duì)下圖兩個(gè)三角形的面積轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形的面積嗎？如此設(shè)計(jì)，那么對(duì)于如（圖5）“已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)25厘米、寬10厘米，求陰影部分的面積”此類(lèi)有關(guān)題型，學(xué)生都能迎刃而解，自然地，剛剛前面的陰影部分也可以根據(jù)這一規(guī)律轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形的面積求得（圖6）.教師通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)幫助學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化聯(lián)系中更直觀(guān)地發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律，為后續(xù)高階段的結(jié)構(gòu)化思維做了良好的積淀.

從上面的例子可以看出，在實(shí)際的教學(xué)中，如果教師能注重?cái)?shù)學(xué)的本源，立足知識(shí)的整體性，尋找不同知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，從小處入手，關(guān)注課時(shí)知識(shí)與課時(shí)知識(shí)之間的整合，可以更好地梳理和構(gòu)建橫向邏輯框架，為培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維提供可能.

二、關(guān)注階段性知識(shí)結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)

教師除了關(guān)注課時(shí)與課時(shí)之間的橫向知識(shí)結(jié)構(gòu)化整體性的把握，更要關(guān)注階段性知識(shí)之間的思維整體的結(jié)構(gòu)化，構(gòu)建縱向的邏輯框架，同時(shí)，關(guān)注知識(shí)本源與學(xué)習(xí)本源之間的溝通，在聯(lián)系與溝通中發(fā)展遷移抽象的能力.比如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”，在分?jǐn)?shù)意義的應(yīng)用過(guò)程中，學(xué)生很容易混淆用來(lái)表示數(shù)量倍比關(guān)系的分?jǐn)?shù)以及用來(lái)表示具體數(shù)量的分?jǐn)?shù).我們可以努力嘗試尋找相關(guān)的舊知識(shí)，將新舊知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，把分?jǐn)?shù)與整數(shù)構(gòu)建整體性聯(lián)系起來(lái).

我們?cè)诮虒W(xué)例2、3伊始，先由“把8塊餅干平均分給4個(gè)小朋友，每人分得多少塊？”來(lái)引入，得出基本數(shù)量關(guān)系，總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)，由此，從總數(shù)的“8塊”不斷地縮小為“3塊”“1塊”，其余條件問(wèn)題不變，得出，數(shù)量關(guān)系不變，仍然是求每份數(shù)，仍用除法來(lái)列式計(jì)算，再借助直觀(guān)形象的實(shí)物圖，通過(guò)動(dòng)手操作演示說(shuō)明得出兩種不同的分法，引申出兩種含義：一塊餅的四分之三，三塊餅的四分之一，都是四分之三塊，說(shuō)明求每份數(shù)是求具體量，后面有單位“塊”，由此，借助除法的意義拓展了分?jǐn)?shù)的意義：分?jǐn)?shù)不僅表示部分與整體之間的關(guān)系，還表示求出的每份數(shù)（不滿(mǎn)1時(shí)可以用分?jǐn)?shù)表示）.同樣，例4的教學(xué)，也是如此，從“紅彩帶4米，黃彩帶8米，黃彩帶的長(zhǎng)是紅彩帶的幾倍？”入手，得出基本數(shù)量關(guān)系：幾倍數(shù)÷一倍數(shù)=倍數(shù)，接著，從“黃彩帶8米”，不斷地縮小為“2米”，“1米”明確數(shù)量關(guān)系不變，仍是求倍數(shù)，仍用除法來(lái)計(jì)算，得出分?jǐn)?shù)還表示兩個(gè)數(shù)量倍比的結(jié)果（沒(méi)有單位名稱(chēng)）后，再回到第一課時(shí)分?jǐn)?shù)的意義，教材第52頁(yè)的練一練，第1題中的六分之一、七分之五……四分之三其實(shí)也可以看作：“1塊三角是6塊三角（六邊形）的幾分之幾”，“5塊方塊是9塊方塊（正方形）的幾分之幾”……“3份圓圈是4份圓圈（一個(gè)整體）的幾分之幾”再次拓展、豐富了分?jǐn)?shù)的意義，突出了“分?jǐn)?shù)”這一概念的內(nèi)涵：不僅表示部分與整體的關(guān)系的結(jié)果，還表示兩個(gè)數(shù)量之間比較的結(jié)果，更好地把握了分?jǐn)?shù)與整數(shù)的關(guān)系，感受分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是整數(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，那么如上提到的第57頁(yè)的練習(xí)的解決也能水到渠成，同時(shí)，為后面學(xué)習(xí)稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題做了很好的鋪墊.

三、關(guān)注教材重組結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)

作為教師不僅要注重教材橫向和縱向的研究設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，有時(shí)對(duì)教材本身的解讀也需要有反思意識(shí)，通過(guò)對(duì)教材的重組整合，整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，重新設(shè)計(jì)新的思路，盡可能使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)有拓展延伸性，訓(xùn)練學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維，提升學(xué)生綜合性地、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力.如，教學(xué)“簡(jiǎn)易方程”時(shí)，先教學(xué)等式的性質(zhì)，然后再利用等式的性質(zhì)進(jìn)行解方程，舍棄了傳統(tǒng)的利用四則運(yùn)算的六種關(guān)系來(lái)解簡(jiǎn)易方程，是不利于關(guān)于方程解法的中小學(xué)的銜接，也不利于學(xué)生體會(huì)“同解變形”這一解方程的核心思想，在教材的練習(xí)中回避了除數(shù)和減數(shù)為未知數(shù)的方程，不過(guò)在解決實(shí)際問(wèn)題中，很難避免會(huì)列出形如a-x=b這類(lèi)的方程，學(xué)生往往會(huì)束手無(wú)策，一方面，我注重對(duì)于含有字母的式子（代數(shù)式）進(jìn)行恒等變形的強(qiáng)化訓(xùn)練，更啟發(fā)他們靈活應(yīng)用等式的性質(zhì)進(jìn)行思考，體會(huì)“同解變形”這一核心思想之外，另一方面，引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)過(guò)四則混合運(yùn)算的六種關(guān)系這一舊知來(lái)思考，幫助他們從不同角度理解方程的解法，說(shuō)明利用等式的性質(zhì)和四則混合運(yùn)算的互逆關(guān)系解方程兩者并不矛盾，并對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較分析，最后把這一性質(zhì)應(yīng)用拓展到有關(guān)圖形面積的計(jì)算，例如，（圖7）甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，求CE的長(zhǎng)度.根據(jù)條件得出甲的面積=乙的面積+6，利用等式性質(zhì)，在等式的左右兩邊同時(shí)加丙的面積，就可以轉(zhuǎn)化成正方形的面積=三角形的面積+6，算出三角形面積從而使問(wèn)題得到解決，這樣的課例，感覺(jué)才是等式性質(zhì)的最好體現(xiàn)和應(yīng)用.endprint

通過(guò)課前的設(shè)計(jì)，后期的實(shí)際教學(xué)，學(xué)生很好掌握了此類(lèi)知識(shí)，對(duì)這類(lèi)的探究過(guò)程形成清晰的認(rèn)識(shí)，在實(shí)際遇到的各類(lèi)有關(guān)圖形的面積關(guān)系都能靈活計(jì)算，教學(xué)就是這樣，深入知識(shí)內(nèi)部去整體把握，科學(xué)設(shè)計(jì)，擺脫了原有課時(shí)的束縛，充分尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，靈活使用教材，更有利于學(xué)生將新知主動(dòng)納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，更有利于發(fā)展學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維，那么對(duì)于如（圖8）：已知正方形甲的邊長(zhǎng)是5厘米，正方形乙的邊長(zhǎng)是4厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少？（第1317期《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》），學(xué)生不僅可以用一般方法求得，更可以連接AC用等底等高知識(shí)把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成右小正方形面積的一半，使計(jì)算更為簡(jiǎn)潔，思維更為明朗.

四、關(guān)注階段性復(fù)習(xí)中教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

教師除了從教材出發(fā)在教學(xué)前整體把握內(nèi)容框架，關(guān)注知識(shí)的整體性以外，在實(shí)際的教學(xué)中，更要立足學(xué)生的思維水平，以思維結(jié)構(gòu)化為導(dǎo)向，在每個(gè)單元的復(fù)習(xí)階段根據(jù)教學(xué)進(jìn)程及教學(xué)內(nèi)容設(shè)置感性的積累環(huán)節(jié)，在豐富的表象積累的基礎(chǔ)上，對(duì)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組，也就是倒逼知識(shí)重新建構(gòu)，在解構(gòu)和建構(gòu)的動(dòng)態(tài)交互過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系以往的知識(shí)，整體把握各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，訓(xùn)練學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)有深度的思考，用結(jié)構(gòu)化的方法理解題意，有效表達(dá)，主動(dòng)結(jié)構(gòu)和完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維方式，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用推理和歸納等高級(jí)的抽象的概括思維去解決問(wèn)題，達(dá)到舉一反三觸類(lèi)旁通的目的，顯得尤為重要.如，有關(guān)長(zhǎng)方形和平行四邊形的周長(zhǎng)與面積的比較，教材一共出現(xiàn)以下三種類(lèi)型：（1）平行四邊形面積推導(dǎo)過(guò)程中，沿著平行四邊形的一條高剪下一個(gè)三角形或梯形平移后可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形；（2）把一個(gè)由木條釘成的長(zhǎng)方形木框拉成平行四邊形；（3）（圖9）20本練習(xí)本摞成長(zhǎng)方體，它的前面是長(zhǎng)方形，再把這摞練習(xí)本均勻地斜放，前面變成了一個(gè)平行四邊形.

學(xué)生思維的深度決定學(xué)生思維水平的高度，通過(guò)設(shè)置豐富生動(dòng)的前置性體驗(yàn)活動(dòng)，課上探究活動(dòng)和后續(xù)鞏固活動(dòng)，積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，從這三個(gè)典型的實(shí)例中通過(guò)對(duì)比觀(guān)察，探究實(shí)踐分別從題目本身、解決方法、結(jié)論等角度抽象概括共同特征，找出規(guī)律性的知識(shí)來(lái)，所以，在復(fù)習(xí)期間出現(xiàn)的如，“同樣長(zhǎng)的兩根鐵絲，分別圍成長(zhǎng)方形和平行四邊形，比較它們的面積和周長(zhǎng)的大小”時(shí)，學(xué)生很快能借助假設(shè)、畫(huà)圖、列舉等策略（圖10）.如，當(dāng)周長(zhǎng)都為4厘米的時(shí)，平行四邊形的底和高之間的差越小，即底和高越接近正方形，面積越大，而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之間的差越大，即形狀越扁，則面積越小，從而很輕松得出“周長(zhǎng)不變，面積無(wú)法確定”這一結(jié)論，不會(huì)再受到思維定式的影響，而是自覺(jué)把掌握的知識(shí)提煉成簡(jiǎn)潔的原理性結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化思維，系統(tǒng)解決問(wèn)題.同樣，在六年級(jí)復(fù)習(xí)中，這種階段性知識(shí)之間的整體結(jié)構(gòu)化的體現(xiàn)最為明顯，如，在復(fù)習(xí)比的性質(zhì)時(shí)，通過(guò)商不變規(guī)律——分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)-比的性質(zhì)，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的把握和把握結(jié)構(gòu)后自主建構(gòu)學(xué)習(xí)的積極狀態(tài)中，這樣有結(jié)構(gòu)、有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，長(zhǎng)久以往，一定能形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀(guān)念、數(shù)學(xué)思維方式和探究技能、促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的持續(xù)結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生的理性思維不斷走向成熟.

“教是為了不教”，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)化思維是用于解決所有問(wèn)題最關(guān)鍵的一把鑰匙，如果教師能夠從教材本源這個(gè)高度出發(fā)，合理把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體框架，從橫向或縱向的角度或?qū)滩牡闹亟M整合，架構(gòu)結(jié)構(gòu)化教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中邊學(xué)邊串聯(lián)，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步整體化、結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生的思維走向自主建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就不再是紙上談兵了.endprint