基于受力分析的系泊系統(tǒng)優(yōu)化模型

焦韓雪， 熊燦龍， 陳相蕾， 張 勇

近淺海觀測網(wǎng)的傳輸節(jié)點由浮標(biāo)系統(tǒng)、系泊系統(tǒng)和水聲通信系統(tǒng)組成,其中系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題是海洋動力學(xué)中經(jīng)常涉及的重要問題[1]。如何在海洋中盡量穩(wěn)定地固定物體,是系泊系統(tǒng)設(shè)計時的關(guān)鍵。2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題給出了某型傳輸節(jié)點的簡化結(jié)構(gòu)：其中浮標(biāo)系統(tǒng)可簡化為一圓柱體；系泊系統(tǒng)由鋼管、鋼桶、重物球、電焊錨鏈和抗拖移錨組成；水聲通信系統(tǒng)安裝在鋼桶內(nèi)。各部分組成的具體形狀與重量等數(shù)據(jù)在題目及附件中給出。系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題要求對于給定的環(huán)境,嘗試確定錨鏈的型號、長度和重物球的質(zhì)量,使得浮標(biāo)的吃水深度、浮標(biāo)的游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角度均盡可能小。因此,系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題可以歸結(jié)為多目標(biāo)的優(yōu)化問題。近淺海觀測網(wǎng)中采用的系泊系統(tǒng)屬于單點單浮筒多成分的系泊系統(tǒng)。在進行該系泊系統(tǒng)的設(shè)計時,需要考慮的主要環(huán)境因素有風(fēng)速、水流速度、水深3方面。本文以2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題中的系泊系統(tǒng)為研究對象,結(jié)合題目所給定的環(huán)境條件,進行受力分析,得出了不同情況下系泊系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計方案。

1 基本假設(shè)

為簡化問題,便于模型的建立與求解,針對題目給出的系泊系統(tǒng)(如圖1所示)進行以下假設(shè)：

1)假設(shè)風(fēng)和水流速度的方向均在同一平面內(nèi)；

2)由于重物球、錨、錨鏈體積未知且通常體積較小,忽略其浮力及水流對它們的作用力；

3)假設(shè)錨鏈的每一節(jié)都是有質(zhì)量但沒有體積的均勻剛性直桿,每節(jié)錨鏈之間通過節(jié)點連接；

4)系泊系統(tǒng)中所有部件的質(zhì)量都是均勻分布的,質(zhì)心即為物體的幾何中心。

圖1 系泊系統(tǒng)示意圖

2 系泊系統(tǒng)的設(shè)計分析

2.1 系泊系統(tǒng)的受力分析

基于基本假設(shè),對整個系統(tǒng)由上到下進行受力分析[2-3]。其中,浮標(biāo)是一個底面直徑為2 m、高為2 m的圓柱體,受到重力、浮力、風(fēng)力、第一根鋼管(以下簡稱鋼管1,以此類推)的拉力作用。近似認(rèn)為浮標(biāo)受力的作用點集中于圓柱體中心軸線的中點上,滿足受力平衡。作出浮標(biāo)的受力示意圖(僅表示力的方向,不表示力的大小,下同)如圖2所示。

圖2 浮標(biāo)的受力示意圖

對于四根直徑50 mm、長1 m的圓柱形鋼管,它們的受力情況基本是一樣的,都受到重力、浮力、上面所連接物體的拉力、下面所連接物體的拉力。其中,重力和浮力的作用點可以認(rèn)為在鋼管中心軸線的中點上；兩個拉力的作用點應(yīng)該分別在鋼管上下表面的圓心上。這4個力應(yīng)該滿足受力平衡和力矩平衡。作出單根鋼管的受力示意圖如圖3所示。

圖3 單根鋼管的受力示意圖

鋼桶受重力、浮力、鋼管4的拉力、錨鏈的拉力和重物球的拉力。其中,重力和浮力的作用點可以認(rèn)為在鋼桶中心軸線的中點上；3個拉力的作用點分別在鋼桶上下表面的圓心上。這5個力應(yīng)該滿足受力平衡和力矩平衡。作出鋼桶的受力示意圖如圖4所示。

圖4 鋼桶的受力示意圖

錨鏈的受力分析較為復(fù)雜。錨鏈的每一節(jié)都可以看作是一節(jié)短桿。由于錨鏈較細(xì),忽略其受到的浮力,將一節(jié)鏈環(huán)簡化為有質(zhì)量但沒有體積的均勻剛性直桿。每節(jié)錨鏈均受到重力、上下物體對它的拉力。其中重力的作用點在直桿的中點處,上下拉力的作用點分別在兩個端點。這3個力應(yīng)該滿足受力平衡和力矩平衡。做出單節(jié)錨鏈的受力示意圖如圖5所示。

圖5 單節(jié)鏈環(huán)的受力示意圖

根據(jù)以上受力分析,我們可以對每個對象列出受力平衡和力矩平衡的方程,結(jié)合水深的限制條件,求解這些方程,就可以得到整個系統(tǒng)的姿態(tài)。

當(dāng)增加水流速度的影響后,依然可以利用以上方法進行受力分析,并得到相應(yīng)的受力平衡方程和力矩平衡方程。

2.2 系泊系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計

當(dāng)錨鏈的型號和長度確定時,系泊系統(tǒng)的設(shè)計問題主要是重物球質(zhì)量的單目標(biāo)優(yōu)化問題。根據(jù)受力分析,重物球質(zhì)量變大,浮標(biāo)的吃水深度增加。為了找到滿足條件的最優(yōu)系泊系統(tǒng),以重物球的質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo),以物體滿足的受力平衡、力矩平衡方程組作為約束條件,同時加上水深和角度的限制條件作為約束條件,共同構(gòu)造出重物球質(zhì)量求解的單目標(biāo)優(yōu)化模型。求解該模型,可得到滿足系泊系統(tǒng)工作條件的最小重物球質(zhì)量。

當(dāng)錨鏈型號、長度和重物球質(zhì)量均不確定時,系泊系統(tǒng)的設(shè)計變成多目標(biāo)的優(yōu)化問題。分析傾角和系泊系統(tǒng)各個參數(shù)間的關(guān)系,找到優(yōu)化目標(biāo),仍然以受力平衡和力矩平衡方程組、水深角度的限制條件作為約束條件,建立多目標(biāo)優(yōu)化模型。通過對不同型號的錨鏈分別求解,得到不同錨鏈對應(yīng)的最優(yōu)系泊系統(tǒng)設(shè)計。再將這幾個方案進行對比,找到最優(yōu)的系泊系統(tǒng)設(shè)計方案。

3 基于受力分析的系泊系統(tǒng)姿態(tài)模型

淺海觀測網(wǎng)的系泊系統(tǒng)可以認(rèn)為是由浮標(biāo)、4節(jié)鋼管、鋼桶、重物球、錨鏈和錨組成的。在海風(fēng)、重力等作用力的影響下,整個系泊系統(tǒng)的各個組成部分之間最終會達(dá)到相對靜止,此時應(yīng)當(dāng)滿足受力平衡和力矩平衡兩個條件。為了便于模型敘述,先對系泊系統(tǒng)的各個部分進行編號如表1所示。

表1 系泊系統(tǒng)各部分編號

設(shè)系泊系統(tǒng)所處的水深為H；系統(tǒng)靜止時浮標(biāo)的吃水深度為d0；編號為i的圓柱體底面半徑為ri,高為di；編號為i的物體所受的浮力為Ti；編號為i-1的物體對編號為i的物體的拉力為Fi-1,i,拉力與豎直方向的夾角為θi-1；編號為i的物體的傾斜角度為αi。

3.1 系泊系統(tǒng)的受力平衡

通過對各物體分別進行受力分析,可得到在水平和垂直方向上滿足的受力平衡方程,聯(lián)立得到受力平衡方程組：

3.2 系泊系統(tǒng)的力矩平衡分析

作用在物體上的作用力與力臂的乘積稱為力矩。對于穩(wěn)定的系泊系統(tǒng),系統(tǒng)中每一個物體都應(yīng)該滿足力矩平衡；否則,物體會產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。當(dāng)一個物體在靜態(tài)平衡時,靜作用力是零,對任一點的合力矩也是零[4]。

由于浮標(biāo)體積較大,可忽略其轉(zhuǎn)動效應(yīng),因此浮標(biāo)的合力矩為零,不進行分析。對于編號的鋼管,當(dāng)其靜態(tài)平衡時,對任一點的合力矩為零。為了計算簡便,選擇鋼管與上面物體相連的節(jié)點作為支點進行分析。可得到力矩平衡方程組：

同時,由于環(huán)境的客觀限制,有水深條件如下：

綜合上述,由式(1)～式(3)可得到系泊系統(tǒng)的姿態(tài)滿足的數(shù)學(xué)模型。求解系泊系統(tǒng)姿態(tài)模型,可得到鋼管與鋼桶的傾角αi(i＝1,2,3,4,5),錨鏈形狀及浮標(biāo)的吃水深度d0。

對于浮標(biāo)的游動區(qū)域,由于不同的風(fēng)向會導(dǎo)致浮標(biāo)向不同的方向浮動,由此知浮標(biāo)的游動區(qū)域為一圓形。在風(fēng)速一定的情況下,浮標(biāo)到錨的最大水平距離稱為游動區(qū)域半徑,表示為：

式中,di為編號i的器件的長度。

通過Matlab編程求解[5],我們得到了海面風(fēng)速為12 m/s、24 m/s和36 m/s時的系泊系統(tǒng)姿態(tài)。將系泊系統(tǒng)各個參數(shù)列表展示如表2所示。

表2 系泊系統(tǒng)姿態(tài)參數(shù)表

其中,風(fēng)速為12 m/s時,共有7.35 m的錨鏈接觸地面；風(fēng)速為24 m/s時,共有3.675 m的錨鏈接觸地面；風(fēng)速為36 m/s時錨鏈不存在拖地的情況。

4 系泊系統(tǒng)設(shè)計的優(yōu)化模型

4.1 重物球質(zhì)量的單目標(biāo)優(yōu)化模型

該系泊系統(tǒng)工作時,要求錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角不超過16°,鋼桶的傾斜角度(鋼桶與豎直線的夾角)不超過5°。當(dāng)系泊系統(tǒng)在某種環(huán)境條件下不能滿足工作要求時,需要改變重物球的重量。由于系泊系統(tǒng)要求吃水深度能夠盡可能小,則重物球的質(zhì)量應(yīng)盡可能小。因此以角度要求及系泊系統(tǒng)姿態(tài)模型為約束條件,以重物球質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo),建立單目標(biāo)優(yōu)化模型如下[6-7]：

系泊系統(tǒng)的角度約束：

求解上述優(yōu)化模型,即可得到滿足系泊系統(tǒng)設(shè)計要求的最小重物球質(zhì)量。

利用Matlab編程尋找合適的重物球質(zhì)量[8],得到風(fēng)速36 m/s時,滿足角度要求的條件下最小的重物球質(zhì)量為1 790 kg。求解得到的新的系泊系統(tǒng)的參數(shù)如表3所示。

表3 風(fēng)速36 m/s時的新系泊系統(tǒng)參數(shù)表

4.2 系泊系統(tǒng)設(shè)計的多目標(biāo)優(yōu)化模型

對于同一個系泊系統(tǒng),水深越深、風(fēng)速和水速越大、風(fēng)速和水速的夾角越小,鋼桶和錨鏈的傾角都會隨之增大,也就說明環(huán)境越惡劣。只要設(shè)計的系泊系統(tǒng)能夠在最惡劣環(huán)境下滿足工作要求,那么在其他環(huán)境中也一定可以滿足設(shè)計要求。由此得到使鋼桶和錨鏈點傾角盡可能大的極端惡劣環(huán)境條件：水深20 m,海水水流流向與風(fēng)向一致,海水流速為1.5 m/s,風(fēng)速為36 m/s。

系泊系統(tǒng)的設(shè)計目標(biāo)是使浮標(biāo)的吃水深度、游動區(qū)域和鋼桶的傾斜角度盡可能小,這3項目標(biāo)可轉(zhuǎn)化為新目標(biāo)——錨鏈鏈長L及重物球質(zhì)量盡可能小。

5種不同型號的錨鏈在相同的惡劣環(huán)境條件下可得到5種不同的最優(yōu)系泊系統(tǒng)設(shè)計,其中錨鏈長度和重物球質(zhì)量最小的設(shè)計即為最優(yōu)設(shè)計。

設(shè)wk( k＝1,2,3,4,5)為第i種錨鏈每節(jié)鏈環(huán)單位長度的質(zhì)量,vf為水流速度,ri( i＝0,1,2,3,4,5)是編號為 i的部件的半徑,則第 i( i＝1,2,3,4,5)個部件所受到的水流力為：

以錨鏈長度L和重物球質(zhì)量mq為目標(biāo)構(gòu)建雙目標(biāo)優(yōu)化模型[9]。

系泊系統(tǒng)的角度約束：

為了找到不同型號錨鏈對應(yīng)的系泊系統(tǒng)設(shè)計,需求解出每個型號對應(yīng)的優(yōu)化系泊系統(tǒng)設(shè)計方案后,再進行比較,找出給定環(huán)境下系泊系統(tǒng)設(shè)計方案的最優(yōu)解。

通過對每一種型號的錨鏈分別進行編程求解[10-11],我們得到了5種型號錨鏈各自的最優(yōu)系泊系統(tǒng)設(shè)計方案如表4所示?？梢钥吹?5種最優(yōu)方案的水深相對誤差都不超過3,認(rèn)為結(jié)果與實際情況偏差不大,可以接受。

表4 不同型號錨鏈的系泊系統(tǒng)設(shè)計方案

為了比較不同型號錨鏈最優(yōu)設(shè)計方案之間的優(yōu)劣,計算出每個方案的系泊系統(tǒng)姿態(tài)參數(shù),列表如表5所示。

表5 不同系泊系統(tǒng)姿態(tài)對比

以上5個系泊系統(tǒng)的吃水深度均為1.65 m,鋼桶的傾斜角度均為4.97°,型號Ⅴ的浮標(biāo)游動區(qū)域顯然最小,并且錨鏈起角也最小。因此,選定錨鏈型號Ⅴ對應(yīng)的設(shè)計方案為最優(yōu)設(shè)計方案。具體設(shè)計為：選定錨鏈型號為Ⅴ型,錨鏈長度為21.600 m,重物球質(zhì)量為3 590 kg。

5 結(jié)束語

本文建立了系泊系統(tǒng)姿態(tài)模型,得到了不同給定條件下系泊系統(tǒng)的姿態(tài)。對于不滿足工作要求但錨鏈型號與長度給定的系泊系統(tǒng),建立了重物球質(zhì)量的單目標(biāo)優(yōu)化模型,找到了合適的重物球質(zhì)量,從而調(diào)整系泊系統(tǒng)使之滿足工作要求。在錨鏈型號、長度、重物球質(zhì)量均不確定時,建立系泊系統(tǒng)設(shè)計的多目標(biāo)優(yōu)化模型,設(shè)計出在所給定環(huán)境下滿足工作要求的最優(yōu)設(shè)計方案。

模型的優(yōu)點在于模型精度高,所建立的系泊系統(tǒng)姿態(tài)模型可以很好地對系泊系統(tǒng)的姿態(tài)進行描述；模型的應(yīng)用范圍廣,所建立的系泊系統(tǒng)設(shè)計模型,可以適用于一定條件范圍內(nèi)的海域,應(yīng)用范圍較大。

缺點在于模型求解復(fù)雜,考慮利用懸鏈線模型改進[12]。在海水中受恒力作用的錨鏈可近似為數(shù)學(xué)中的懸鏈線,可利用懸鏈線近似錨鏈的姿態(tài),以此減少原模型求解過程中的遍歷次數(shù),可增大求解的便利性。

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