基于滑模觀測補償的四旋翼飛行器魯棒動態(tài)逆控制

陳 誠, 韋常柱, 琚嘯哲, 劉鵬云

(1. 哈爾濱工業(yè)大學航天學院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2. 北京控制與電子技術研究所, 北京 100038)

0 引 言

四旋翼飛行器作為一種可垂直起降、空中懸停、成本低廉的旋翼飛行器,在軍事、建筑、工業(yè)、商業(yè)等領域已經被廣泛應用。但四旋翼飛行器模型難以精確建立,結構參數不確定性大,且具有強非線性、強耦合、欠驅動的系統(tǒng)特性,因此其飛行控制系統(tǒng)的設計具有一定難度[1]。

針對四旋翼飛行器,目前主要有3種控制策略:線性控制、非線性控制和智能控制。

線性控制策略即是基于小擾動線性化思想將四旋翼模型線性化處理,然后利用線性控制方法進行控制器設計。為克服模型本身欠驅動特性帶來的控制困難,文獻[2]將四旋翼飛行器進行位置、姿態(tài)雙回路分層,對兩回路分別進行PID控制器設計,并通過仿真驗證了雙回路PID控制的有效性?；谧顑?yōu)控制思想,文獻[3-4]均利用線性二次型調節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)設計了姿態(tài)穩(wěn)定控制器,能夠實現飛行器姿態(tài)快速穩(wěn)定控制和參考輸入的快速跟蹤。但是,線性控制設計過程中需要忽略模型中的耦合項以及非線性項,這將導致實際飛行中線性控制性能較差。

為應對四旋翼飛行器的非線性特性,反步法、滑?？刂频确蔷€性控制方法被應用到控制器設計中。文獻[5]基于反步法設計了四旋翼飛行器的姿態(tài)跟蹤控制器,并通過模糊監(jiān)督規(guī)則在線選取控制參數,最后通過仿真證明了所設計控制器相較于線性控制方法具有更好的性能。文獻[6]設計了H2/H∞控制器,通過求解線性矩陣不等式獲取反饋控制律,并采用抗飽和算法提高了控制器的實用性。文獻[7]考慮了四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)欠驅動、強耦合的特性和非零初始誤差的條件,設計了L1自適應控制器,能夠保證在具有較大的結構參數不確定性時的高品質飛行性能,且具有較強的魯棒性。上述非線性控制方法能夠有效解決控制對象的非線性問題,但是或對模型精確度提出了較高要求,或無法同時考慮結構參數不確定性和外界干擾對飛行性能的影響,其在實際控制的具體應用中還需進一步深入研究。

為應對四旋翼飛行器模型的大不確定性可采用智能控制方法進行處理。目前研究較多的智能控制方法主要有神經網絡控制和模糊控制。文獻[8]針對四旋翼無人機的垂直起飛和降落控制問題,設計了一種模糊神經網絡控制器能夠使無人機能夠在外部噪聲、時變環(huán)境和不確定性下穩(wěn)定飛行。文獻[9-10]設計了改進的模糊控制方法,大幅縮短了四旋翼飛行器控制動態(tài)過程的穩(wěn)定時間、超調量和振蕩,提高了控制系統(tǒng)性能。智能控制方法的性能在一些特性上優(yōu)于線性控制和非線性控制,但是其算法的計算量大,對飛控芯片性能的要求較高,目前還難以實現工程應用。

通過上述四旋翼飛行器控制策略的分析發(fā)現,非線性控制性能較好且工程應用具有一定的可行性,因此基于非線性控制方法進行四旋翼無人機的控制器設計。為實現在大參數不確定和外部擾動情況下的四旋翼飛行器魯棒與高精度控制性能的兼顧,本文在經典雙回路控制框架的基礎上將新型針對不確定范數有界的魯棒控制律與Super-twisting滑模控制算法相結合,構建了具備較強魯棒性與抗擾性的四旋翼飛行器擴展魯棒動態(tài)逆控制系統(tǒng),具有擾動精確補償、模型依賴性低、離線設計任務量小、實用性強等特點。

全文的安排如下：第1節(jié)中對四旋翼飛行器的結構和飛行原理進行簡析并建立考慮不確定性的飛行動力學模型;第2節(jié)基于時標分離原則對動力學模型進行多回路分層,并基于Lyapunov理論給出魯棒控制律以及該控制律的全局收斂性證明;第3節(jié)給出基于Super-twisting 算法的滑模干擾觀測器的設計過程和觀測原理論證;第4節(jié)對大結構不確定性和外部擾動情況下四旋翼飛行器進行仿真,以驗證所設計的基于滑模觀測補償魯棒動態(tài)逆控制的有效性。

1 四旋翼飛行器動力學建模

1.1 四旋翼飛行器結構和飛行原理簡析

本文以圖 1所示的四旋翼飛行器為研究對象,其重量和尺寸如表 1所示。該飛行器在結構上由起落架、基座(云臺)、2根支架、4個直流無刷電動機、旋翼等部分組成。2根支架彼此正交,4個旋翼對稱布置安裝在2根支架上,并且與飛行器重心等距[11]。

圖1 選用的四旋翼飛行器實體圖Fig.1 Adopted quad-rotor unmanned vehicle

結構參數數據正常重量/kg1．13旋翼直徑/m0．24飛行器機高/m0．165起落架的對角長度/m0．64旋翼中心到整機重心的距離/m0．32

四旋翼通過改變旋翼轉速實現機動飛行,其飛行原理如圖2～圖5所示,通過實現不同旋翼的不同轉速變化,進而實現飛行器的垂向、俯仰、偏航、滾轉運動。

圖2 四旋翼垂向運動 圖3 四旋翼俯仰運動Fig.2 Vertical move of quad-rotor Fig.3 Pitch move of quad-rotor

圖4 四旋翼偏航運動 圖5 四旋翼滾轉運動Fig.4 Yaw move of quad-rotor Fig.5 Roll move of quad-rotor

1.2 考慮不確定性的四旋翼飛行器建模

考慮四旋翼飛行器模型存在的結構參數不確定性,定義如下符號:

Δa4=ΔJx/Jx,Δa5=ΔJy/Jy

Δa6=ΔJz/Jz,Δa7=Δm/m

Δa12=Δjrz/jrz,Δa13=ΔCQ/CQ

[12]可知,四旋翼飛行過程中所受擾動力主要形式為近地時變風,將擾動力Fdx,Fdy,Fdz引入參考文獻[13]中飛行力學模型,則可構建考慮不確定性和外部擾動的四旋翼飛行器運動學與動力學方程為

(1)

2 四旋翼飛行器Lyapunov魯棒動態(tài)逆控制器設計

2.1 基于時標分離原則的雙回路模型建立

四旋翼飛行動力學模型為欠驅動模型,即通過四維度的旋翼轉速變量控制六自由度運動。該特性使得各通道之間存在強耦合,給控制器設計帶來了一定難度。因此采用“時標分離”方法[14],將四旋翼控制回路按對狀態(tài)向量的響應速度不同進行劃分,分為快回路和慢回路。其中,快回路為姿態(tài)跟蹤回路;慢回路用來跟蹤四旋翼的位置和速度。各回路使用虛擬控制量進行控制器設計。

多回路模型系統(tǒng)結構圖如圖6所示。

圖6 雙回路四旋翼飛行器控制系統(tǒng)結構圖Fig.6 Structure of double-loop quad-rotor control system

(2)

下文將基于該雙回路控制系統(tǒng)結構進行四旋翼飛行器的控制系統(tǒng)設計。

2.2 基于Lyapunov方法的控制律設計

基于式(1)和姿態(tài)小角度假設,對系統(tǒng)模型中非線性項進行線性化處理,同時消除各通道間的耦合項,則可將外環(huán)位置回路和內環(huán)姿態(tài)回路表示為

(3)

式中

用e1代表飛行器的指令跟蹤誤差:e1=x-xd,同時定義如下兩個變量:

(4)

式中,α1,α2均為正常值控制增益?；谑?4)定義可知:

r(t)→0?e2(t)→0?e1(t)→0

由于內外環(huán)模型形式相同,下面僅以外環(huán)位置控制為例,進行控制律設計過程敘述。結合式(3)、式(4),可以得出系統(tǒng)跟蹤誤差模型:

(5)

考慮到系統(tǒng)模型存在結構誤差,且外部干擾存在,系統(tǒng)的輸入矩陣g包含不確定項,將g轉化為

g=g0Δg

(6)

式中,g0∈Rn×n為名義模型的輸入矩陣;Δg∈Rn×n為不確定矩陣,該矩陣為一個對角陣,反映了系統(tǒng)參數m,Jx,Jy,Jz的不確定性。

實際工程中結構模型不確定性矩陣Δg一般滿足不等式:

1-ε≤‖Δg‖i∞≤1+ε

(7)

式中,ε∈(0,1)是一個已知的正值。

將式(6)代入式(5)可得

(8)

(9)

可以設定[16-17]:

(10)

根據上述推導以及式(4),設計控制律:

(11)

將式(11)代入系統(tǒng)跟蹤誤差模型(5),可得閉環(huán)跟蹤誤差系統(tǒng)為

(12)

第2.3節(jié)將對該控制律的穩(wěn)定性進行證明。

2.3 控制律全局漸進穩(wěn)定性證明

定理1若式(11)中參數k1足夠大,且β滿足以下條件[18]:

(13)

其中,各參數定義與第2.2節(jié)中定義相同,α1>0.5,α2>0.5,β,α1,α2,k參數可調節(jié)系統(tǒng)的超調量、跟蹤精度等,從而改善系統(tǒng)的控制性能,則控制律(11)能夠滿足系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性:

‖e1(t)‖→0，t→∞

首先引入引理1。

(14)

式中

L(t)=rT(Nd(t)-Δgβsgn(e2))

(15)

若式(13)條件滿足,則可以推出不等式

(16)

因此,由式(16)可以得出P(t)≥0。

接下來對定理1進行證明。

證明定義非負函數V(w,t):Ω×[0,∞)→R:

(17)

若式(13)中條件能夠滿足,則V(w,t)滿足不等式

U1(w)≤V(w,t)≤U2(w)

(18)

式中,正定函數U1(w),U2(w)∈R具體形式為

U1‖w‖2,U2‖w‖2

(19)

基于以上定義,對式(17)關于時間t求導可得

(20)

對式(20)進行整理消元,可得

(21)

考慮式(7)與式(9),同時利用不等式

(22)

則式(21)滿足不等式

(1-ε)k1‖r‖2+ρ(‖z‖)‖z‖‖r‖

(23)

對式(23)右半部分進行轉化,即

(24)

由于(1-ε)>0,k1>0,同時基于α1、α2的最小值推導出

‖z‖2

(25)

當k1足夠大時,從式(25)可以推導出

(26)

V(w,t)→0|t→0

(27)

根據式(16)可以得到

V(w,t)→0?e1→0,e2→0,r→0

(28)

至此,可以證明閉環(huán)誤差跟蹤系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定至0的。

證畢

3 基于Super-twisting算法的滑模干擾觀測器設計

基于Lyapunov方法的魯棒控制器在結構不確定性范圍內的收斂性已經在第2節(jié)進行了理論證明。然而,由于四旋翼飛行器體積小,質量輕,在飛行中易受到外部擾動影響,且在前述線性化模型推導時忽略了飛行動力學中的非線性項和耦合項,因此必須對包括外部擾動在內的復合擾動進行觀測并補償,進而增強控制器的抗擾動性能,提高控制器的實際應用可行性。

3.1 基于Super-Twisting算法的滑模觀測器設計

考慮四旋翼飛行器在飛行過程中易受到外部擾動影響,且主要以擾動力形式存在,對軌跡跟蹤回路影響大,為了降低實際應用的復雜度,考慮僅對慢回路進行滑模干擾觀測器設計,以補償校正外部擾動力的影響。

將受擾動的四旋翼飛行動力學表述為

(29)

式中,u表示動態(tài)逆控制器產生的控制量;w(t)表示系統(tǒng)所受外部擾動;f(x)描述了參考模型的系統(tǒng)變化特性。

由式(29)可以推出

(30)

式中,ud為外部擾動設計補償控制量,能使得w(t)+ud→0,即ud的相反數為外部擾動的滑模觀測值。

基于Super-twisting算法,可以設計滑?？刂坡蒣19]為

(31)

代入式(30)中可以得到

(32)

至此,基于滑模觀測補償的魯棒動態(tài)逆四旋翼無人機控制器已經設計完成,結構框圖如圖7所示。

圖7 基于滑模觀測補償的魯棒動態(tài)逆控制系統(tǒng)結構圖Fig.7 Structure of robust dynamic inversion control system based on sliding mode observation and compensation

3.2 滑模觀測器收斂性證明

將式(32)轉化為

(33)

假設外部干擾w(t)是可微的,且滿足

?t≥0

(34)

式中,δ為一個正常數。

(35)

則系統(tǒng)(32)能夠在有限時間內收斂到原點。

證明取對稱正定矩陣

對ζ求導可得

(36)

(37)

令Q=-(ATP+PA+δ2CTC+PBBTP),則

(38)

由式(36)可得

(39)

此時,當系統(tǒng)參數滿足式(35)時,容易得出矩陣Q為正定矩陣,根據Lyapunov穩(wěn)定性定義可知,系統(tǒng)能夠收斂到原點。

證畢

4 仿真驗證

4.1 仿真條件設置

基于文獻[21]設計四旋翼飛行器參考軌跡,具體要求為:軌跡在機動結束點處飛行器的加速度和速度均為0,且到達目標點,其參考軌跡形式為

(40)

設計參考軌跡飛行30 s,其中機動飛行20 s,后10 s為懸停狀態(tài),全機動飛行參考軌跡為

(1)t≤10

(2) 20≥t>10

將四旋翼飛行器的結構不確定性設定為

‖Δa4‖<0.1, ‖Δa5‖<0.1, ‖Δa6‖<0.1

‖Δa7‖<0.1, ‖Δa8‖<0.2, ‖Δa9‖<0.2

‖Δa10‖<0.2, ‖Δa11‖<0.2, ‖Δa12‖<0.1

‖Δa13‖<0.2

考慮在仿真過程中施加時變外部風干擾為

其中,前10 s動態(tài)飛行過程中外部風擾動為正余弦疊加形式,10 s后額外引入幅值為1 N的常值風干擾。

通過調試,將位置回路和姿態(tài)回路魯棒控制律參數分別設計為

姿態(tài)回路

并將三通道的滑模觀測器參數設計為

設定四旋翼飛行器初始狀態(tài)為

單位: m

4.2 仿真結果與分析

首先在仿真中僅考慮四旋翼飛行器的結構參數不確定性,不引入外部風干擾,同時不引入Super-twisting干擾觀測補償器,則仿真結果如圖8所示。

圖8 考慮結構參數不確定性的一維飛行軌跡及誤差圖Fig.8 One dimensional curve of flight and tracking error with the existence of structural parameter uncertainty

圖8(a)為飛行軌跡圖,圖8(b)為跟蹤誤差圖。分析圖像可得,在較大結構參數誤差情況下,飛行全程三方向跟蹤誤差小于0.1 m,且懸停狀態(tài)下穩(wěn)態(tài)誤差小于0.01 m,驗證了內外環(huán)魯棒控制器具有較強的魯棒性。

考慮在仿真中引入如第4.1節(jié)所示的風干擾模型,其他仿真條件不變,則全程滑模干擾觀測器觀測結果如圖9所示。

圖9 外部擾動觀測曲線Fig.9 Curve of observed external disturbance

從以上仿真曲線及仿真數據可以得出,由滑模觀測器觀測的外部擾動與實際擾動之間最大誤差小于0.2 N,且20 s飛行時間內誤差平均值小于0.1 N,表明滑模觀測器能夠實現對擾動較為精確的觀測。雖然曲線中存在振顫以及放大擾動等現象,這是由于內環(huán)控制器的控制誤差所致,即由于四旋翼飛行器姿態(tài)角無法完全跟蹤姿態(tài)角指令所帶來的附加擾動引起的。

為表述簡便性,將引入滑模干擾補償觀測的魯棒動態(tài)逆控制器描述為擴展魯棒動態(tài)逆(extended robust dynamic inversion, ERDI)控制器,考慮結構參數不確定性和外部干擾仿真條件下對比魯棒動態(tài)逆(robust dynamic inversion, RDI)控制器和ERDI控制器的控制效果,同時采用文獻[22]中PID控制方法進行仿真,得到如圖10所示的飛行軌跡。

圖10 不同控制方法作用下的飛行軌跡圖Fig.10 Flight curve of quad-rotors under control of different algorithm

其中,“☆”即為30 s后四旋翼飛行器懸停點,圖中放大的區(qū)域即為懸停點附近區(qū)域。

飛行軌跡跟蹤誤差曲線如圖11所示。

圖11 不同控制方法作用下的跟蹤誤差曲線Fig.11 Curve of tracking error under control of different algorithm

不同控制方法下飛行全程跟蹤誤差均方根如表2所示。

表2 不同控制器作用下跟蹤誤差均方根

分析圖 10、圖 11、表 2可得,ERDI控制精度和抗干擾能力明顯強于RDI控制器和PID控制器,驗證了引入滑模觀測補償控制器的必要性以及ERDI控制器的強魯棒性和抗擾性。

ERDI控制器作用下飛行全程四旋翼轉速變化曲線如圖12所示。

圖12 旋翼轉速變化曲線Fig.12 Curve of rotation speed of four rotors

分析圖12可以看出,飛行全程旋翼轉速變化較為平緩,且變化范圍在15～38 rad/s,需要說明的是,曲線中10 s時旋翼轉速出現短暫抖動,這是由突然施加的常值風干擾引起的,抖動持續(xù)時間小于1 s,進一步驗證了ERDI控制器的抗擾性和實用性。

5 結 論

本文對四旋翼飛行器進行飛行原理分析和包含不確定性的飛行動力學模型建立,基于“時標分離”原理對模型進行了雙回路分層,解決了飛行器欠驅動、強耦合等問題。在此基礎上,考慮四旋翼模型的結構不確定性,基于Lyapunov原則設計了魯棒控制律并給出全局收斂性證明。進一步,為應對飛行過程中的強外部擾動,利用Super-twisting算法設計了滑模干擾觀測器,并基于干擾觀測補償設計了綜合魯棒動態(tài)逆控制器。通過仿真驗證了本文所設計的基于滑模觀測補償的魯棒動態(tài)逆控制器的強魯棒性和強抗擾性。

參考文獻：

[1] CAI G, WANG B, CHEN B M, et al. Design and implementation of a flight control system for an unmanned rotorcraft using rpt control approach[J].Asian Journal of Control,2013,15(1): 95-119.

[2] SALIH A L, MOGHAVYEMI M, MOHAMED H A, et al. Modeling and PID controller design for a quadrotor unmanned air vehicle[C]∥Proc.of the IEEE International Conference on Automation Quality and Testing Robotics,2010: 1-5.

[3] 高青,袁亮,吳金強.基于新型LQR的四旋翼無人機姿態(tài)控制[J].制造業(yè)自動化,2014,36(10): 13-16.

GAO Q, YUAN L, WU J Q. Attitude control of a quadrotor UAV based on new LQR[J].Manufacturing Automation, 2014, 36(10): 13-16.

[4] KHATOON S, GUPTA D, DAS L K. PID & LQR control for a quad-rotor. modeling and simulation[C]∥Proc.of the IEEE International Conference on Advances in Computing, Communications and Informatics, 2014: 796-802.

[5] LIN F J, FUNG R F, LIN H H, et al. A supervisory fuzzy neural network controller for slider-crank mechanism[C]∥Proc.of the IEEE International Conference on Control Applications, 1999: 1710-1715.

[6] EMAM M,FAKHARIAN A.Attitude tracking of quadrotor UAV via mixed H2/H∞ controller: an LMI based approach[C]∥Proc.of the 24th Mediterranean Conference on Control and Automation, 2016: 390-395.

[7] 王冬來,呂強,劉峰,等.基于L1自適應方法的四旋翼飛行器縱向控制[J].彈箭與制導學報,2011,31(6): 37-40.

WANG D L, Lü Q, LIU F, et al. Quadrotor longitudinal controller based onL1adaptive control method[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2011, 31(6): 37-40.

[8] KAYACAN E, MASLIM R. Type-2 fuzzy logic trajectory tracking control of quadrotor VTOL aircraft with elliptic membership functions[J]. IEEE/ASME Trans.on Mechatronics, 2017, 22(1): 339-348.

[9] RAHARJA N M, ISWANTO, WAHYUNGGO O, et al. Altitude control for quadrotor with mamdani fuzzy model[C]∥Proc.of the International Conference on Science in Information Technology, 2015: 309-314.

[10] SAFAEE B, MASHHADI S K M. Fuzzy membership functions optimization of fuzzy controllers for a quad rotor using particle swarm optimization and genetic algorithm[C]∥Proc.of the International Conference on Control, Instrumentation and Automation, 2006: 256-261.

[11] 李勁松,楊煉,王樂天.小型四旋翼無人直升機自適應優(yōu)化控制[J].上海交通大學學報, 2015, 49(2): 202-208.

LI J S, YANG L, WANG L T. Control of small scale quad-rotor helicopter using adaptive control-optimization[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University,2015,49(2): 202-208.

[12] ZHAO D J, YANG D G. Model-free control of quad-rotor vehicle via finite-time convergent extended state observer[J].International Journal of Control Automation & Systems,2016,14(1): 242-254.

[13] 黃依新.四旋翼飛行器姿態(tài)控制方法研究[D].成都: 西南交通大學,2014.

HUANG Y X. Research on attitude control for quad-rotor[D]. Chengdu: Southeast Jiaotong University, 2014.

[14] 王飛. 高超聲速飛行器QFT/μ魯棒動態(tài)逆控制技術研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工程大學, 2013.

WANG F.QFT/μ robust dynamic inversion control of hypersonic vehicle[D].Harbin: Harbin Engineering University,2013.

[15] LIN Q, CAI Z, YANG J, et al. Trajectory tracking control for hovering and acceleration maneuver of quad tilt rotor UAV[C]∥Proc.of the IEEE Control Conference, 2014: 2052-2057.

[16] BHASIN S, KAMALAPURKAR R, JOHNSON M, et al. A novel actor-critic-identifier architecture for approximate optimal control of uncertain nonlinear systems[J]. Automatica, 2013, 49(1): 82-92.

[17] BIDIKLI B, TATLICIOGLU E, BAYRAK A, et al. A new robust ‘integral of sign of error’ feedback controller with adaptive compensation gain[C]∥Proc.of the IEEE Conference on Decision and Control, 2013: 3782-3787.

[18] TON C T, MACKUNIS W. Robust attitude tracking control of a quadrotor helicopter in the presence of uncertainty[C]∥Proc.of the IEEE Conference on Decision and Control, 2012: 937-942.

[19] LEVANT A. Robust exact differentiation via sliding mode technique[J]. Automatica, 1998, 34(3): 379-384.

[20] MORENO J, OSORIO M. Strict Lyapunov functions for the super-twisting algorithm[J]. IEEE Trans.on Automatic Control, 2012, 57(4): 1035-1040.

[21] ABHIJIT D, FRANK L L. Sliding mode approach to control quadrotor using dynamic inversion[M]. Rijeka: InTech Press, 2011: 3-22.

[22] JUNIOR J C V, PAULA J C D, LEANDRO G V, et al. Stability control of a quad-rotor using a PID controller[J]. Brazilian Journal of Instrumentation & Control, 2013, 1(1): 15.