化工原理中伯努利方程的教學探討

秦正龍

(江蘇師范大學化學化工學院，江蘇 徐州 221116)

流體流動原理不但是流體輸送、攪拌、過濾等動量傳遞過程的理論基礎，也是熱量傳遞、質(zhì)量傳遞過程中各種單元操作的理論基礎，而伯努利方程又是流體流動中最重要、最核心的內(nèi)容，是貫穿整個化工原理教學過程的重點和難點[1,2]。因此，準確理解和掌握伯努利方程對于學好化工原理顯得尤為重要。然而，在實際教學過程中我們發(fā)現(xiàn)，學生上課時似乎聽懂了，方程也記住了，但遇到實際問題時卻又不知從何著手[3]。為此，我們在教學方法上作了一點探索。

1伯努利方程的表達形式

化工原理是化工類各專業(yè)重要的專業(yè)基礎課程，主要研究流體流動、輸送、傳熱、非均相機械分離、傳質(zhì)等單元操作的過程原理、過程計算、設備選型等[4,5]，具有較強的工程特性。尤其是對于少學時化工原理的教學，過分強調(diào)理論知識和傳遞知識基礎，未必能收到好的教學效果[6]。因此，我們在教學過程中教材上所有公式的推導一律刪除不講，把重點放在加強學生對方程物理意義的理解上，在應用上多挖掘公式的內(nèi)涵，為學生熟練掌握公式、應用公式奠定基礎。

伯努利方程是理想流體在定常態(tài)下流動的動力學方程，即在重力場中，同一流管上的任何一個截面處，流體的位能、動能和壓強能之和是一個常數(shù)。伯努利方程的表達形式主要有四種。

(1)

(2)

(3)

(4)

以上四式雖然表達形式不同，表示能量的單位也不同，但其實質(zhì)是一樣的，應用時可靈活選擇。

如果令上述四式中的u1=u2=0，則四式均變?yōu)椋?/p>

p2=p1+ρg(z1-z2)

(5)

式(5)即為流體靜力學方程?？梢?，流體靜力學方程是伯努利方程的一種特殊形式，同時也說明了“靜止是運動的一種特殊形式”這一哲學思想。

2伯努利方程的適用條件

伯努利方程的適用條件在教學過程中是比較容易被忽視的。盡管伯努利方程的推導過程在課堂上沒有具體的講解，但它是在一定條件下得到的，因此，其適用條件必須向?qū)W生交待清楚。具體的使用條件[7,8]是：①理想流體作定常流動，在系統(tǒng)中沒有其它的吸入和損失。由于流體沒有粘性，所以在流動過程中沒有摩擦阻力。②流體不可壓縮，其密度不隨壓強變化而變化。液體一般可以認為是不可壓縮流體；對于氣體，兩衡算截面間的壓強變化不能超過20%。③流體流動過程中沒有熱量的加入和引出，流體的溫度恒定，內(nèi)能不變。④作用在流體上的體積力只有重力。

3伯努利方程的解題技巧

3.1 實際流體伯努利方程

由于化工生產(chǎn)中處理的流體都是實際流體，所以在流動過程中使一部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，造成機械能的損失。為了保證流體作定常態(tài)流動，必須用泵等作功機械給流體補充能量。因此，在截面1流體輸入的機械能與輸送設備所作的有效功的能量之和一定等于截面2 輸出的機械能及兩截面之間流體的阻力損失之和，即

(6)

或

(7)

式(6)、(7)為實際流體伯努利方程，也稱機械能守恒方程。其中的hf、Hf分別是單位質(zhì)量流體、單位重量流體從截面1流到截面2損失的機械能，且滿足gHf= hf。We、He依次是單位質(zhì)量流體、單位重量流體從輸送設備獲得的機械能，且滿足gHe= We。

3.2 伯努利方程的解題要點

在化工原理的“流體流動”和“流體輸送設備”兩個章節(jié)中，有關大型的計算題幾乎都要用到伯努利方程，這也是考研的一個重點。如果掌握了伯努利方程的解題技巧，可以大大地簡化計算，很快得到結果。其解題要點是：

(1)根據(jù)題意，畫出過程的示意圖，確定衡算范圍。

(2)截面的選取。截面的選擇一般需要滿足以下四點。①截面必須處在流體的均勻流段，在兩個截面之間可以是急變流。②截面必須與流體的流動方向垂直，且在兩個截面之間流體是連續(xù)的。③所求的未知量應在兩個截面上或在兩個截面之間。④截面上的參數(shù)盡可能多是已知的。當然，截面既可選在管道入口、出口的內(nèi)側(cè)，也可選在管道入口、出口的外側(cè)。如果選擇內(nèi)側(cè)，則計算動能，局部阻力為零；相反，如果選擇外側(cè)，則計算局部阻力，動能為零。

(3)基準面的選擇?；鶞拭娴倪x取可以是任意的，但必須與地平面平行。一般選擇兩個截面中低的且通過其中心的面作為基準面。如果截面與基準面不平行，z必須取截面中心與基準面之間的垂直距離。

(4)統(tǒng)一方程中各個物理量的單位。在應用伯努利方程計算前，應把每個物理量的單位都換算成國際單位。特別是壓強，除了要用國際單位表示外，其表示方式兩邊也要統(tǒng)一，要么都用絕對壓，要么都用表壓，千萬不能混合使用。此外，還必須明確，壓力表的讀數(shù)是表壓，真空表的讀數(shù)是真空度；如果截面與大氣聯(lián)通，則該截面上的表壓為零；如果截面的面積比管路的橫截面積或其他截面的面積大得多，則該截面上流體的流速為零。

4伯努利方程的應用

應用伯努利方程，可以計算流體的流速、流量及流體輸送所需要的壓頭和功率[9,10]。

4.1 確定設備間的相對位置

為了保證管路中一定的液體輸送能力，兩個設備之間必須要有一定的高度差。高度差小了，液體的流量低；高度差大了，液體的流量高。根據(jù)題意，把已知參數(shù)代入伯努利方程，即可求出。此類問題通常是求高位槽的高度。

4.2 計算管道中流體的流量

由于流體的流量未知，因此流體流動的摩擦阻力系數(shù)也無法獲得，只能采用試差法。首先假設一個摩擦阻力系數(shù)，然后代入伯努利方程計算流速，再計算雷諾準數(shù)，根據(jù)雷諾準數(shù)和相對粗糙度由莫狄圖

查得摩擦阻力系數(shù)，如果查得的摩擦阻力系數(shù)與假設的摩擦阻力系數(shù)相等，則假設成立，流速乘管路的橫截面積即為流量。如果查得的摩擦阻力系數(shù)與假設的摩擦阻力系數(shù)不相等，則重新假設，直到相等為止。

4.3 確定輸送設備的有效功率和軸功率

根據(jù)伯努利方程，計算出單位質(zhì)量流體從輸送設備處獲得的有效機械能，然后乘以流體的質(zhì)量流量即為輸送設備的有效功率，有效功率再除以流體輸送設備的效率得到軸功率。據(jù)此可以選擇適宜的流體輸送機械。

4.4 計算管道中流體的壓強

通過在已知壓強截面與管道中某截面之間列伯努利方程，即可得到某截面上流體的壓強，但兩個截面之間流體一定要連續(xù)。下面通過一個具體的例子來說明。

用一根虹吸管將水從池中吸出，水池液面與虹吸管出口的垂直距離為8 m，管路最高點與水面的垂直距離為2 m，求虹吸管出口處水的流速。已知水溫30 ℃，水的密度取1 000 kg/m3，大氣壓為101.3 kPa，水按理想流體處理。

解：取水池液面為截面1，虹吸管出口為截面2，并以截面2為基準面。則：

p1=p2=0(表壓)，u1=0，z1=8m，z2=0

將上述參數(shù)代入伯努利方程(3)，整理得：

絕大部分學生都是這樣做的。那么，上述方法對嗎？

我們可以作如下分析：首先假設截面1、2之間的流體水是連續(xù)的，則應用伯努利方程，可解出虹吸管出口流速為12.52 m/s。

顯然，在虹吸管的最高點流體的壓強最小。取虹吸管的最高點并與流體流動方向垂直的面為截面3，以截面1為基準面。則：

p1=1.013×105Pa，z1=0m，z3=2m，u1=0，u3= u2=12.52 m/s

將上述參數(shù)代入伯努利方程(3)，整理得：

p3= p1-(2+8)ρg=101 300-10×1 000×9.8=3 300 Pa

查得30 ℃時水的飽和蒸氣壓pV為4 242 Pa，顯然大于p3，故在最高點3附近流體水發(fā)生汽化，此時截面3處的壓強不再按伯努利方程的規(guī)律變化，而是保持流體的飽和蒸氣壓pV不變。因此，截面1、2之間的流體水不連續(xù)，伯努利方程不適用，虹吸管出口流速為12.52m/s無效。但截面1、3之間的流體是連續(xù)的，在截面1、3之間列伯努利方程，得：

這一習題表面上看是應用伯努利方程求流體的流速，實際上考察的是伯努利方程的使用條件，這一點學生往往容易忽略。

5結 語

有關伯努利方程的教學，絕大部分教師都十分重視方程的理論推導。但我們發(fā)現(xiàn)，由于學生的流體力學、高等數(shù)學等知識都比較欠缺，因此，往往是教師講了一節(jié)課、寫了一黑板，學生還沒理出個頭緒，反而影響了學生的學習興趣和對方程的理解。我們直接給出伯努利方程，把重點放在介紹方程中各參數(shù)的含義，講清方程的物理意義，強調(diào)方程適當?shù)臈l件，理清解題的思路，討論、總結相關計算的方法和技巧。經(jīng)過多年的實踐，收到了良好的效果。

[1] 孫喆,尹曉紅,盧世榮,等.理想流體伯努利方程在化工原理教學中的應用[J].化工高等教育,2012,(1):102～104.

[2] 邵友元.機械能守恒方程應用中的幾個問題的討論[J].廣州化工,2010,37(1):164～165.

[3] 張麗.淺談伯努利方程在流體力學中的應用[J].教育教學論壇,2016,(28):207～208.

[4] 王志祥,黃德春.制藥化工原理(第三版)[M].北京:化學工業(yè)出版社,2014:2.

[5] 馮尚華,何國芳,趙仁高,等.化工原理的案例教學[J].化工高等教育,2010,(6):79～81.

[6] 潘鶴林,齊鳴齋,黃婕,等.少學時化工原理課程教學改革初探[J].化工高等教育,2012,(4):97～100.

[7] 陳敏恒,叢德濨,方圖南,等.化工原理(上冊,第三版)[M].北京:高等教育出版社,2013:13～14.

[8] 張斌.伯努利方程的擴展討論[J].塔里木大學學報[J].2008,20(4): 32～33.

[9] 夏清,陳長貴.化工原理(上冊,修訂版)[M],天津:天津大學出版社,2010:33～35.

[10] 官葉斌.實際流體伯努利方程式教學的幾點討論[J].安慶師范學院學報(自然科學版),2012,18(2):122～123.