淺談代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的靈活應(yīng)用

趙靈瑤

【摘 要】 本文就主要從數(shù)學(xué)解題方式中的代換法入手，探討其在解決高中數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 代換法；高中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用方式

一、代換法概述

在數(shù)學(xué)解題方式中，代換法是極為有效的解題思路，可以解決數(shù)學(xué)問題中具有一定復(fù)雜性和含有多個(gè)未知條件的數(shù)學(xué)問題。在進(jìn)行解題的過程中，可以適當(dāng)利用知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，合理地轉(zhuǎn)化題目中的數(shù)量關(guān)系和變量條件，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單化。而在解決數(shù)學(xué)題目的過程中，如果可以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)解題代換法的靈活運(yùn)用，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而且還可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)有著一定的意義。

二、代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）在概率問題中的等量代換的應(yīng)用

高中時(shí)期的概率問題，通常要求一次解決實(shí)驗(yàn)中全部可能存在的結(jié)果，會(huì)涉及到排列、組合方面的知識(shí)，這就增加了解決數(shù)學(xué)問題的難度。對(duì)此，就需要將復(fù)雜的概率問題進(jìn)行簡(jiǎn)化。比如“袋子中放置了8個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除了顏色之外，其他特征都相同。若從袋子中隨機(jī)取出5個(gè)球，則取出紅球的概率是多少”。在解這一概率問題時(shí)，首先可以設(shè)未知量，如果使用x來代表取出紅球的數(shù)量，求p（x=3）的值。根據(jù)題意可得p（x=3）=CC/C=14/33≈0.42421，也就是說從袋子中取出的五個(gè)球中，約有0.42421的概率取出的是紅球。在這道概率題目中，這些球除了顏色之外都相同，并且在解題時(shí)使用了代換法，將個(gè)體間幾乎沒有區(qū)別的物品，假設(shè)為有區(qū)別的個(gè)體，然后對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，提高了解題的效率，同時(shí)也簡(jiǎn)化了解題的復(fù)雜性。

（二）在函數(shù)變量問題中變量代換的應(yīng)用

在解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)變量問題時(shí)，有很多函數(shù)題是利用已知函數(shù)等式求出結(jié)果值的。但面對(duì)一些較為復(fù)雜和綜合性的問題時(shí)，使用以往按部就班的解題方法，通常難以解決問題，此時(shí)就可以使用變量代替法來簡(jiǎn)化函數(shù)等式。比如：在解決“已知函數(shù)值f（1nx）=1-x，求f（x）的值”這一類似的問題時(shí)，就可以使用變量進(jìn)簡(jiǎn)化解題過程。在具體的解題過程中，首先假設(shè)n=1nx，再將變量n代入到已知函數(shù)中，得出f（n）=1-x，這樣就實(shí)現(xiàn)了函數(shù)的簡(jiǎn)化，然后求出x值，并將值代入到原等式中，最終就可以求出f（x）的值。由此可見，將代換法應(yīng)用在一些題目較為復(fù)雜的問題中，有助于簡(jiǎn)化等式，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)的解題效率。

（三）三角代換法的應(yīng)用

在解決高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，三角代換法屬于一種應(yīng)用較為廣泛的方法。并且在使用三角代換法時(shí)，簡(jiǎn)化了問題的復(fù)雜性，經(jīng)常會(huì)取得事半功倍的效果。比如：在例題“是否存在實(shí)數(shù)x∈（-1，1），并且使得x為無理數(shù)，而2x2-1，4x3-3x和16x5-20x3+5x都是有理數(shù)”中，在解決這一問題時(shí)，可以首先假設(shè)存在x∈（-1，1）這一實(shí)數(shù)，令其中的x=cosθ，則可以得出cosθ為無理數(shù)，而由于2x2-1=cos2θ，4x3-3x=cos3θ，16x5-20x3+5x=cos5θ都屬于有理數(shù)，從而可以得出α=cosθ+cos5θ屬于無理數(shù)。另外，由于α=cosθ+cos5θ=2cos3θcos2θ還是兩個(gè)不同有理數(shù)的乘積，可以得出α是有理數(shù)，但這一結(jié)論與前一結(jié)論中的“α=cosθ+cos5θ屬于無理數(shù)”發(fā)生矛盾，因此不存在滿足x∈（-1，1）這一條件的實(shí)數(shù)。在解決這一問題時(shí)，使用cosθ代替x，并經(jīng)過代換的轉(zhuǎn)變，簡(jiǎn)化了解題的過程，同時(shí)使原本較為抽象的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楦泳唧w的解題過程，不僅提高了對(duì)問題的理解，而且還提高了解題的效率。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 沈小芳. 代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 考試周刊，2015（25）.