基于空間解析幾何方法的立體幾何問(wèn)題初探

焦阿妮

【摘要】在經(jīng)濟(jì)和社會(huì)持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的現(xiàn)今，我國(guó)各個(gè)領(lǐng)域逐漸深入研究，并取得了更為突出的優(yōu)異成績(jī).數(shù)學(xué)問(wèn)題一直被視為我國(guó)教育領(lǐng)域重點(diǎn)研究的話題內(nèi)容，深化數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究，提高數(shù)學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用能力，是現(xiàn)今社會(huì)不可忽視的重要任務(wù).向量運(yùn)算與解析幾何、立體幾何以及函數(shù)和三角之間存在著密切的聯(lián)系，同時(shí)也是近幾年高考考題的重要趨勢(shì).本文旨在分析基于空間解析幾何方法的立體幾何問(wèn)題，以便為立體幾何問(wèn)題的解決提供一個(gè)代數(shù)化的有效方法.

【關(guān)鍵詞】空間解析幾何；立體幾何

立體幾何所要解決的主要問(wèn)題包括空間圖形中的平行、垂直以及距離、夾角等方面，立體幾何問(wèn)題較為常用的解決方法則是通過(guò)定理和概念以及幾種不同圖形的變化狀態(tài)，對(duì)其進(jìn)行邏輯化推理，從而深入研究出空間圖形的性質(zhì).這些問(wèn)題的出現(xiàn)往往存在著一定的技巧性和隨機(jī)性，需要學(xué)生自身具備著較強(qiáng)的空間想象能力和作圖能力，通過(guò)空間解析幾何方法對(duì)立體幾何問(wèn)題進(jìn)行深入研究，在一定程度上可將復(fù)雜的問(wèn)題變得更為簡(jiǎn)單化、直觀化.本文將空間解析幾何方法應(yīng)用于立體幾何問(wèn)題的解決，從而確保立體幾何問(wèn)題的解決目標(biāo)得以順利實(shí)現(xiàn).

一、基于空間解析幾何方法以解決空間圖形平行和垂直關(guān)系的問(wèn)題

空間圖形中存在的平行關(guān)系包括線線平行、線面平行、面面平行這三種類型，為此，可以將其分別轉(zhuǎn)化成為向量平行、向量共面以及垂直問(wèn)題對(duì)其進(jìn)行解決.假設(shè)直線l的方向向量表示為s，平面π的法向向量則表示為n，兩條直線分別為l1和l2，這兩條直線的方向向量則分別設(shè)為s1和s2，其平面顯示的π1和π2，二者的法向量則分別為n1和n2，那么上述提到的問(wèn)題，其向量之間的關(guān)系則可以將其具體表示為：

（1）線線平行：l1∥l2s1∥s2s2=ks1（其中k∈R）；

（2）線面平行：l∥πs⊥ns·n=0，或者是s與π之間存在的兩個(gè)相交的向量a，b是共面的；

（3）面面平行：π1∥π2n1∥n2n2=kn1（其中k∈R）.

另外，空間圖形中存在的垂直關(guān)系則包括線線垂直、線面垂直以及面面垂直這三種類型.為此，可以將其分別轉(zhuǎn)化成為向量垂直、向量平行來(lái)進(jìn)行解決.為此，根據(jù)上述已經(jīng)存在的假設(shè)依據(jù)，其向量之間的關(guān)系可將其具體表示為：

（1）線線垂直：l1⊥l2s1⊥s2s1·s2=0；

（2）線面垂直：l⊥πs∥ns=kn，或者是s與π之間存在的兩個(gè)相交向量a，b之間是垂直的.也就是說(shuō)，s·a=0，s·b=0；

（3）面面垂直：π1⊥π2n1⊥n2n1·n2=0.

比如，2012年新課標(biāo)全國(guó)卷例題，如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，且DC1⊥BD，那么需證明DC1⊥BC，而這種證明往往表示的是線線之間的垂直關(guān)系.

證明過(guò)程如下：以C點(diǎn)位置為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，CA，CB，CC1則分別設(shè)定為x軸、y軸以及z軸的正向，并以此建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，假設(shè)AC=1，那么直三棱柱ABC-A1B1C1中？韉閽謐晗瞪系淖攴直鷂狝（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），D（1，0，1），且DC1⊥BCDC1·BC=0，因?yàn)镈C1=（-1，0，1），BC=（0，-1，0），DC1·BC=0+0+0=0，所以，DC1⊥BC.

二、基于空間解析幾何方法以解決空間圖形夾角和距離的問(wèn)題

立體幾何問(wèn)題中存在的異面直線夾角、直線與平面之間的夾角以及二面角的平面角等方面的確定，針對(duì)這些方面的向量運(yùn)算則可以將其表示為：兩條直線分別設(shè)為l1和l2，這兩條直線的方向向量則設(shè)為s1和s2，二者之間呈現(xiàn)出的角可將其稱為兩直線的夾角，為此，可以通過(guò)公式對(duì)其進(jìn)行確定.其公式如下：

cosφ=|ccs（s1，s2）|=|s1·s2||s1||s2|.

假設(shè)直線l與其所在平面π上面出現(xiàn)的投影夾角為φ，因?yàn)棣?π2-（s，n），

所以，sinφ=|cos（s，n）|=|s·n||s||n|.

如果假設(shè)兩個(gè)平面之間的夾角表示為φ，而兩個(gè)平面分別通過(guò)π1和π2表示，二者的法向量通過(guò)n1和n2表示，那么當(dāng)0≤（n1，n2）≤π2時(shí)，那么這兩個(gè)平面之間的夾角則為（n1，n2），如果π2<（n1，n2）≤π時(shí)，那么兩個(gè)平面夾角則可以通過(guò)π-（n1，n2）的形式予以表示，為此，cosφ=|cos（n1，n2）|=|n1·n2||n1||n2|.

平面外一個(gè)點(diǎn)到平面之間的距離，假定此點(diǎn)為P，則P表示的是平面π外一點(diǎn)，平面π的法向量則為n，A表示的是平面π內(nèi)的任意一點(diǎn)，AP與平面π之間的夾角為θ0<θ<π2.

那么d=|AP？糡X→〗|sinθ=|AP|cos（AP，n）=|AP·n||n|.

也就是說(shuō)AP在n上的投影存在的絕對(duì)值.

異面直線之間的距離：假定異面之間存在的兩條直線分別為l1和l2，其方向向量分別為s1和s2.n是直線l1和直線l2的公垂線共線的向量表示.根據(jù)n⊥s1n·s1=0，n⊥s2n·s2=0，最終可求得n的解.在直線l1和直線l2上面分別取點(diǎn)，兩點(diǎn)設(shè)為A、B，那么由此就可以求出AB在n上的投影絕對(duì)值，則d的表達(dá)公式如下：d=|AB·n||n|.

比如，2012年上海卷，在四棱柱P-ABCD中，底面為ABCD的矩形，且PA⊥底面ABCD，E在PC的中點(diǎn)位置，已知AB=2，AD=2，PA=2.求異面直線BC與AE之間所成角的大小.

證明過(guò)程如下：將A作為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP則作為x軸、y軸以及z軸的正向，由此建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.那么有A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，2，1）.所以，AE=（1，2，1），BC=（0，2，0）.假設(shè)AE，BC之間的夾角為φ，那么cosφ=|cos（AE，BC）=|AE·BC||AE||BC|=22，φ=π4.所以，異面直線BC與AE所成角的大小為π4.

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，通過(guò)空間解析幾何的方式解決立體幾何中的問(wèn)題是十分重要的措施，同時(shí)也產(chǎn)生了良好的解決效果，在一定程度上具備著簡(jiǎn)單化、有效化的價(jià)值.其中，最為關(guān)鍵的部分就是以幾何圖形的垂直關(guān)系為依據(jù)，進(jìn)而建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)體系，通過(guò)立體幾何圖形中的一些相關(guān)點(diǎn)來(lái)對(duì)向量予以表示，從而促使立體幾何的問(wèn)題關(guān)于線線、線面以及面面，乃至夾角和距離等問(wèn)題得以順利轉(zhuǎn)化為向量之間需要重視解決的問(wèn)題，最后將向量運(yùn)算的最終結(jié)果通過(guò)上述提到的立體幾？撾侍庋細(xì)癖硎境隼矗傭迪至⑻寮負(fù)撾侍獾撓行Ы餼？.

【參考文獻(xiàn)】

[1]崔秋珍.基于空間解析幾何方法的立體幾何問(wèn)題解析[J].教育教學(xué)論壇，2012（37）：186-188.

[2]史洪波.高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題的解析方法探討[J].課程教育研究，2014（4）：150-151.endprint