平面幾何中的不等關(guān)系在解決最值問(wèn)題中的應(yīng)用

張柳桃

【摘要】平面幾何中有關(guān)不等關(guān)系的公理和定理很多，比如，“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”“直線(xiàn)外一點(diǎn)和直線(xiàn)上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短”“分別在兩條平行直線(xiàn)上的兩點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短”等.這些公理和定理不僅可以解決平面幾何自身的有關(guān)問(wèn)題，同時(shí)解析幾何、立體幾何甚至貌似與此不相關(guān)的代數(shù)方面的最值問(wèn)題經(jīng)?？梢酝ㄟ^(guò)化歸進(jìn)而利用這些原理加以解決.本文擬結(jié)合實(shí)際事例對(duì)此進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】化歸；最值；距離；對(duì)稱(chēng)

一、定直線(xiàn)（平面）上動(dòng)點(diǎn)和該直線(xiàn)（平面）外兩定點(diǎn)間的距離的和與差的最大、最小值問(wèn)題

原理解析：

類(lèi)型1平面內(nèi)，已知點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l的異側(cè)，直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)P滿(mǎn)足下列條件之一，若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

（1）|PA|+|PB|最大；（2）|PA|+|PB|最小；

（3）||PA|-|PB||最大；（4）||PA|-|PB||最小.

解析（1）直線(xiàn)l上不存在點(diǎn)P使|PA|+|PB|取得最大值.

原因是點(diǎn)P與AB和l的交點(diǎn)C距離越大，|PA|+|PB|也越大.

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與AB和l的交點(diǎn)C重合的位置時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值，最小值是|AB|.事實(shí)上，如果點(diǎn)Q是直線(xiàn)l上異于C的點(diǎn)時(shí)，由“三角形兩邊之和大于第三邊”可得|QA|+|QB|>|AB|.

（3）如果點(diǎn)A和B與直線(xiàn)l的距離不相等，設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則點(diǎn)P是直線(xiàn)A′B與l的交點(diǎn)D時(shí)，|A′B|是||PA|-|PB||的最大值.事實(shí)上，如果點(diǎn)Q是直線(xiàn)l上異于D的點(diǎn)時(shí)，由“三角形兩邊之差小于第三邊”可得||QA|-|QB||<|A′B|.

如果點(diǎn)A和B與直線(xiàn)l的距離相等，不存在點(diǎn)P使||PA|-|PB||最大.

（4）||PA|-|PB||的最小值是0.當(dāng)點(diǎn)P是直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)取到.

類(lèi)型2已知點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l的同側(cè)，直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)P滿(mǎn)足下列條件之一，若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

（1）|PA|+|PB|最大；（2）|PA|+|PB|最??；

（3）||PA|-|PB||最大；（4）||PA|-|PB||最小.

可以通過(guò)對(duì)稱(chēng)化歸成類(lèi)型1.

另外，如果把題意中的直線(xiàn)換成平面，那么只要把點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)變成點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)變成直線(xiàn)和平面的交點(diǎn)，問(wèn)題可以得到類(lèi)似解決.

例題分析：

例1已知x-y=1，求：

（1）x2+y2+（x-3）2+y2的最小值；

（2）|x2+（y+4）2-（x-3）2+y2|的最大值.

解析這兩道題目如果用代數(shù)方法解決可以由x-y=1，得到y(tǒng)=x-1，代入所求最值的代數(shù)式，進(jìn)而化成關(guān)于x的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決，運(yùn)算量之大不言而喻.但是如果我們利用幾何意義，則問(wèn)題變得十分簡(jiǎn)單.

解（1）設(shè)直線(xiàn)l：x-y=1，d=x2+y2+（x-3）2+y2，點(diǎn)O（0，0），A（3，0），則d的幾何意義是直線(xiàn)l上的點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)O，A的距離之和.顯然點(diǎn)O、A在直線(xiàn)l的異側(cè)且兩點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離不等.故dmin=|OA|=3.

（2）設(shè)直線(xiàn)l：x-y=1，d=|x2+（y+4）2-（x-3）2+y2|，點(diǎn)A（3，0），B（0，-4），則d的幾何意義是直線(xiàn)l上的點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)A，B的距離之差的絕對(duì)值.顯然點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l的同側(cè).故dmax=|AB|=5.

二、直線(xiàn)外一點(diǎn)和直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離中，垂線(xiàn)段最短問(wèn)題

原理解析：由直角三角形的斜邊大于直角邊容易證明結(jié)論的正確性.

例題分析：

例2已知m-n=1，求m2+n2-2m-4n+5的最小值.

分析本例可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于m或n的二次函數(shù)問(wèn)題求解.也可以利用以下方法化歸成點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題.

解設(shè)點(diǎn)P（m，n），d=m2+n2-2m-4n+5，則

d=m2+n2-2m-4n+5=（（m-1）2+（n-2）2）2表示直線(xiàn)l：x-y=1上的點(diǎn)P（m，n）到直線(xiàn)外定點(diǎn)A（1，2）的距離的平方，d的最小值是點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離的平方.

所以dmin=|1-2-1|22=2.

三、分別在兩平行直線(xiàn)上的點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短問(wèn)題

原理解析：分別在兩平行直線(xiàn)上的點(diǎn)的連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短問(wèn)題.

例題分析：

例3已知m+n=2，p+q=6，求（m-p）2+（n-q）2的最小值.

解法一設(shè)點(diǎn)A（m，n），B（p，q），則點(diǎn)A，B分別在平行直線(xiàn)l：x+y=2和t：x+y=6上.（m-p）2+（n-q）2的幾何意義是分別在平行直線(xiàn)上的兩點(diǎn)間的距離的平方，其最小值等于兩平行直線(xiàn)間的距離的平方.即422=8.

解法二由題意n=2-m，q=6-p，所以

（m-p）2+（n-q）2=（m-p）2+（2-m-6+p）2=2[（m-p）+2]2+8.

當(dāng)m-p=-2時(shí)，（m-p）2+（n-q）2的最小值為8.

四、圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)之間的距離的最大、最小值問(wèn)題

原理解析：如圖，圓外一點(diǎn)A和圓O上所有點(diǎn)的連線(xiàn)中AC、AB分別達(dá)到最大和最小值.

例題分析：

例4已知x2+y2=4，求（x-3）2+（y-4）2的最大值和最小值.

解令P（3，4），d=（x-3）2+（y-4）2，顯然點(diǎn)P在圓O：x2+y2=4之外.d的幾何意義是點(diǎn)P到圓上點(diǎn)之間的距離的平方.

dmin=（|OP|-|OB|）2=（5-2）2=9；

dmax=（|OP|+|OC|）2=（5+2）2=49.

另外，本題又可以用三角換元法來(lái)解，但是比較麻煩.

五、與圓相離的直線(xiàn)上的點(diǎn)和圓上的點(diǎn)之間的距離最短問(wèn)題

原理解析：如果直線(xiàn)l和圓O相離，直線(xiàn)m∥l，m和圓O相切于點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)n交l于Q.則|PQ|是直線(xiàn)l上的點(diǎn)和圓O上的點(diǎn)的所有連線(xiàn)中最短的.也就是說(shuō)：如果直線(xiàn)和圓相離，那么直線(xiàn)上的點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的最短距離等于圓心到直線(xiàn)的距離與半徑之差.

例題分析：

例5已知3a+4b=10，x2+y2=1，求：d=（x-a）2+（y-b）2的最小值.

解設(shè)點(diǎn)A（a，b），B（x，y），直線(xiàn)l：3x+4y=10，圓O：x2+y2=1，顯然點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，點(diǎn)B在圓O上，直線(xiàn)l和圓O相離.d的幾何意義是直線(xiàn)l上的點(diǎn)和圓O上的點(diǎn)之間的距離.所以dmin=|10|32+42-1=1.

六、分別在外離兩圓上的兩點(diǎn)之間的距離的最大、最小值問(wèn)題

原理解析：如果相離兩圓的半徑分別為R、r，圓心距為l，那么分別在兩圓上的兩點(diǎn)之間的距離的最大值為l+R+r，最小值為l-R-r.

例題分析：

例6已知a2+b2=4，（m-3）2+（n-4）2=1，求d=（m-a）2+（n-b）2的最大值和最小值.

解設(shè)P（a，b），Q（m，n）則P，Q分別在圓A：x2+y2=4，圓B：（x-3）2+（y-4）2=1上，顯然圓A和圓B外離，兩圓半徑分別為R=2，r=1，圓心距l(xiāng)=5，所以，

dmin=5-2-1=2，dmax=5+2+1=8.

七、結(jié)語(yǔ)

以上是本人在教學(xué)實(shí)踐中關(guān)于應(yīng)用平面幾何中的不等關(guān)系解決最值問(wèn)題的點(diǎn)滴體會(huì)，不妥之處在所難免，望同行不吝賜教.endprint