且行且思，積累探索規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)

喬國鋒

【設(shè)計(jì)理念】

《多邊形的內(nèi)角和》是蘇教版四下的一節(jié)數(shù)學(xué)活動課，旨在讓學(xué)生通過觀察、操作、推理等具體的活動，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。教材是在學(xué)生探索了三角形內(nèi)角和及認(rèn)識了多邊形基本特征的基礎(chǔ)上展開設(shè)計(jì)的。教材從簡單圖形開始，依據(jù)三角形內(nèi)角和的結(jié)論，依次對四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和進(jìn)行探索，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思想求出這些簡單圖形的內(nèi)角和，然后對探究中獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析、推理，獲得多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，最后通過回顧與反思，積累稍復(fù)雜規(guī)律的探究經(jīng)驗(yàn)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“課標(biāo)”）明確指出：學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。因此，在設(shè)計(jì)本課時(shí)，為了調(diào)動學(xué)生在探索三角形內(nèi)角和時(shí)積累的活動經(jīng)驗(yàn)，筆者首先讓學(xué)生通過動手操作，即在撕一撕、畫一畫、填一填、找一找等活動中經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證的過程，然后讓學(xué)生在對比、感悟中掌握探究的方法，體驗(yàn)探索規(guī)律的一般步驟。具體的設(shè)計(jì)思路如下：

1.自主參與，真實(shí)經(jīng)歷探索過程。

課標(biāo)中多次強(qiáng)調(diào)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、驗(yàn)證等多種數(shù)學(xué)活動過程。只有學(xué)生自主參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，才能真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。在本課開始，筆者巧設(shè)教學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生對課題的興趣，讓學(xué)生自主建構(gòu)活動目標(biāo)；在課中，學(xué)生展示和比較極富個(gè)性的計(jì)算方法，激活深入探索的愿望；最終，學(xué)生通過對數(shù)據(jù)的觀察分析，用自己的語言和方法概括出多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。這些措施都將學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。

2.任務(wù)驅(qū)動，有效積累活動經(jīng)驗(yàn)。

教師是活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者，因此，筆者力圖創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，以任務(wù)驅(qū)動學(xué)生。教學(xué)伊始，筆者就讓學(xué)生根據(jù)課題提煉出本課的學(xué)習(xí)任務(wù)：多邊形內(nèi)角和的計(jì)算結(jié)果是多少？我們是怎么探索多邊形內(nèi)角和的？學(xué)生以這兩個(gè)大問題為目標(biāo)，進(jìn)行有目的的研究活動。在探索、積累數(shù)據(jù)后，學(xué)生創(chuàng)建并填寫統(tǒng)計(jì)表格，學(xué)生以“觀察表格數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律”為任務(wù)，通過推演分析，抽象概括出多邊形內(nèi)角和的計(jì)算法。在這些任務(wù)中，學(xué)生有了“有序思考”“從簡單的想起”“找一找規(guī)律”“抽象概括”的活動經(jīng)驗(yàn)，為以后的探索活動打下了基礎(chǔ)。

3.對比反思，關(guān)注核心素養(yǎng)培養(yǎng)。

核心素養(yǎng)是適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力?！抖噙呅蔚膬?nèi)角和》一課所涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、推理能力等，其中推理能力又是本課的重點(diǎn)。在四邊形內(nèi)角和探索中，學(xué)生在由特殊到一般的猜測、驗(yàn)證過程中進(jìn)行推理，初步體驗(yàn)推理思維；在將研究數(shù)據(jù)填入表格并對數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察、分析、概括的過程中，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生自主推理的能力，最終通過交流獲得了多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。在探索操作的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生充分借助幾何圖形，利用添畫輔助線的方法直觀感知多邊形內(nèi)角和與分成的三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，從而提升學(xué)生的分析與推理能力。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.學(xué)生經(jīng)歷提出問題、自主探索、觀察分析、歸納概括等活動，能利用分割三角形的形式求出多邊形的內(nèi)角和，并根據(jù)多邊形邊數(shù)與分割三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。

2.學(xué)生在活動中經(jīng)歷分一分、算一算、比較歸納等探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，加深對探索數(shù)學(xué)規(guī)律的一般方法的了解，積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升解決問題的能力；體會轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)觀察、比較、歸納和概括等思維能力，發(fā)展空間觀念。

3.學(xué)生在主動參與探索規(guī)律的活動中，獲得探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的成功體驗(yàn)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心；感受數(shù)學(xué)的奧妙，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。

【教學(xué)過程及意圖】

一、自主提問，產(chǎn)生核心問題

師：今天我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“多邊形的內(nèi)角和”，看到這個(gè)課題，你能提出哪些問題？

預(yù)設(shè)：什么是多邊形？什么是內(nèi)角和？多邊形的內(nèi)角和是多少度？怎么來研究多邊形的內(nèi)角和？

前兩個(gè)問題直接讓學(xué)生交流、解答。

師：多邊形的內(nèi)角和怎么去研究（過程）？研究的結(jié)果又是什么（結(jié)果）？這節(jié)課我們就帶著這兩個(gè)問題邊學(xué)邊思考。

板書：結(jié)果 過程

【通過自主提問，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力；通過核心問題引領(lǐng)，增強(qiáng)了學(xué)生研究問題、探究規(guī)律的動力，同時(shí)也使研究更具方向性和目的性?！?/p>

二、簡單交流，確定研究思路

師：今天我們要對多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行研究，我們是從20邊形、30邊形這樣的復(fù)雜多邊形開始研究呢？還是有更好的切入口？

預(yù)設(shè)：只要學(xué)生提到邊數(shù)較少的多邊形，教師就指出：你們說的多邊形的邊數(shù)都較少，這樣的研究方法在數(shù)學(xué)上可以稱為——從簡單的想起。

板書：從簡單的想起

師：從幾邊形開始？（三角形）然后呢？

學(xué)生只要按順序說出圖形的名稱，教師就對其想法進(jìn)行評價(jià)：按順序進(jìn)行，能更便于我們獲得想要的結(jié)果。

板書：有序思考

師：行，我們就從三角形開始研究。

課件出示可以移動的三角形：移動三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，三角形的形狀在變化，三個(gè)角的度數(shù)也在變化，什么是不變的？（三角形內(nèi)角和始終是180度）

板書：三角形 180度。

【學(xué)生通過與教師的簡單對話交流，初步掌握了解決復(fù)雜問題的一般步驟，即從簡單想起，按序思考。】

三、動手操作，掌握探索方法

師：三角形的內(nèi)角和，我們以前探索過了，今天不再重復(fù)，接下來我們該研究四邊形的內(nèi)角和了。你認(rèn)為四邊形的內(nèi)角和是多少度？先猜猜看，再說說你是怎么想到的？endprint

預(yù)設(shè)：學(xué)生會根據(jù)長方形或正方形這兩個(gè)特殊的四邊形進(jìn)行猜想，由于這兩個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，所以學(xué)生會猜測四邊形的內(nèi)角和是360度。

師拖動四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，將它變成一般的四邊形。提問：現(xiàn)在這個(gè)四邊形的內(nèi)角和還是360度嗎？你打算用什么方法來驗(yàn)證呢？

學(xué)生從學(xué)具中取出一個(gè)四邊形進(jìn)行操作驗(yàn)證，完成后匯報(bào)結(jié)果。

組織學(xué)生匯報(bào)交流：

第一組：用“拼”的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

師評價(jià)：將四邊形的四個(gè)內(nèi)角撕下來，拼成一個(gè)周角，來說明四邊形的內(nèi)角和是360度，這種方法在研究三角形內(nèi)角和時(shí)就用過，這組同學(xué)能學(xué)以致用，值得大家學(xué)習(xí)。

第二組：用“分”的方法驗(yàn)證。

師（演示一位學(xué)生的操作）：這位同學(xué)只畫了四邊形的一條對角線，認(rèn)為這樣就能說明四邊形的內(nèi)角和是360度。你們能看懂嗎？

師用課件演示，先用動畫展示分成的第一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，再展示另一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，提問：兩個(gè)三角形內(nèi)角度數(shù)之和與原來四邊形的四個(gè)內(nèi)角度數(shù)之和有什么關(guān)系？（相等）

師：這說明分了以后，形狀變了，但內(nèi)角和不變。數(shù)學(xué)上把這種方法稱為轉(zhuǎn)化。

板書：轉(zhuǎn)化

師：你們也試著分一分，并說一說任意四邊形的內(nèi)角和是多少度？

板書：四邊形 180°×2

師：驗(yàn)證四邊形的內(nèi)角和時(shí)，有人用撕的方法，有人用轉(zhuǎn)化成三角形的方法來驗(yàn)證，你認(rèn)為哪種方法能更好地幫助我們研究更復(fù)雜的多邊形的內(nèi)角和？

【學(xué)生通過對四邊形進(jìn)行“剪拼”“分割”等操作，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、驗(yàn)證等過程，在對比感受中掌握多邊形內(nèi)角和的重要研究方法——轉(zhuǎn)化，這為后續(xù)開展更為深入的探究活動打下了基礎(chǔ)?！?/p>

四、方法應(yīng)用，解決復(fù)雜問題

師：請你再從信封中取出印有五邊形、六邊形的紙來，你能不能也用轉(zhuǎn)化成三角形的方法求出這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和？

學(xué)生操作后交流：

第一步：交流五邊形的內(nèi)角和。

預(yù)設(shè)學(xué)生分的形式：分成兩個(gè)四邊形、分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形、分成三個(gè)三角形。

師：在這幾種分法中，你對哪種分法有意見？說一說你的理由。

說明：從頂點(diǎn)到對邊來分，分成了兩個(gè)四邊形之后，就會產(chǎn)生多余的角（師在課件上指出），這時(shí)的內(nèi)角和就比實(shí)際的內(nèi)角和大，說明在分的時(shí)候只能從頂點(diǎn)到頂點(diǎn)來分。

師：對于剩下的兩種分法，你又有什么看法？

分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形實(shí)際上和分成三個(gè)三角形是一樣的想法，一個(gè)四邊形的內(nèi)角和就相當(dāng)于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和，所以五邊形的內(nèi)角和就是180°×3=540°

板書：五邊形 180°×3

第二步：交流六邊形的內(nèi)角和

預(yù)設(shè)：（1）有學(xué)生通過六邊中間的點(diǎn)向各頂點(diǎn)連線，分出6個(gè)三角形的情況，讓學(xué)生觀察這樣分是否合理。

說明：在分的時(shí)候，線不能相交，相交就會產(chǎn)生多余的內(nèi)角，使原有的內(nèi)角和變大。

（2）正常的分法，將六邊形分成四個(gè)三角形。學(xué)生對這樣的分法進(jìn)行評價(jià)，共同說明六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。

析書：六邊形 180°×4

【運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略探究出五邊形、六邊形的內(nèi)角和，在運(yùn)用中充分暴露學(xué)生的問題，在討論中分辨方法，去偽存真，讓學(xué)生學(xué)會求出多邊形的內(nèi)角和?！?/p>

五、整理數(shù)據(jù)，觀察發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律

師：剛才我們研究了一些多邊形的內(nèi)角和，我們希望把研究的結(jié)果和過程都整理在表格中，除了多邊形的名稱，你還想整理哪些內(nèi)容？（課件出示）

根據(jù)學(xué)生的回答，教師利用課件自動匯制表格，主要的欄目有：邊數(shù)、分成的三角形的個(gè)數(shù)、內(nèi)角和。

師：我們已經(jīng)研究了一些多邊形，先把研究好的結(jié)果填入表中。（學(xué)生口述，教師在課件上填寫） 師：在你們的信封里也有這張表，請你取出來填一填。

填寫要求：（1）填一填：用今天學(xué)習(xí)的方法把七邊形與八邊形的內(nèi)角和求出來，并填在表里。（2）找一找，觀察表里的這些數(shù)據(jù)，找一找它們之間的聯(lián)系，想一想數(shù)據(jù)中藏著什么規(guī)律？（板書：找出規(guī)律）

交流：

（1）先匯報(bào)填寫的結(jié)果。

（2）說一說你從這些數(shù)據(jù)中有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：

（1）只看結(jié)果，每次內(nèi)角和都增加180度。

（2）單列看數(shù)據(jù)變化，如分成的三角形個(gè)數(shù)每次增加1，邊數(shù)每次增加1等。

備注：針對上述兩種情況，教師先肯定他們是豎著看每一列中的數(shù)據(jù)，并發(fā)現(xiàn)了這些規(guī)律，同時(shí)提醒學(xué)生能否橫向?qū)ふ覕?shù)據(jù)之間的聯(lián)系。

（3）三角形個(gè)數(shù)與內(nèi)角和之間的關(guān)系，即能分成幾個(gè)三角形，內(nèi)角和就是180度乘幾。

（4）邊數(shù)與分成的三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，即分成的三角形的個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2。

師：你們發(fā)現(xiàn)了這么多的聯(lián)系，那你能不能用一個(gè)公式表示多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。

板書：多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°

師：如果知道多邊形的邊數(shù)，你能不能求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和？比如十二邊形的內(nèi)角和是多少度？一百邊形的內(nèi)角和是多少度？（列出算式） 【學(xué)生在制作表格的過程中，學(xué)會對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析，通過對表格的橫向或縱向觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，通過邏輯推理得出多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法?！?/p>

六、反思應(yīng)用，深化學(xué)習(xí)內(nèi)涵

師：現(xiàn)在我們可以回到開始提出的兩個(gè)問題：今天研究的結(jié)果是什么？怎么研究的？

研究出多邊形的內(nèi)角和等于邊數(shù)減2的差再乘180度。

研究時(shí)，先從簡單的想起，按序思考，把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形進(jìn)行研究，并從得出的數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，得到求多邊形內(nèi)角和的方法。

師：如果你們以后遇到一個(gè)復(fù)雜的問題，你們會怎么做呢？

師利用課件出示：

777777777×999999999=？

師：如果讓你研究出算式的結(jié)果，你計(jì)劃怎么做？

結(jié)合學(xué)生的回答逐行板書：

7×9=63

77×99=7623

777×999=776223

…………

找找規(guī)律，說一說原來算式的計(jì)算結(jié)果是多少。

師：今天不僅研究出了多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，還掌握了研究復(fù)雜問題的一般步驟。今后遇到類似問題時(shí)，你們也要用今天學(xué)到的方法進(jìn)行思考，那樣你們會有更多的發(fā)現(xiàn)。

【與上課開始提出的核心問題相呼應(yīng)，通過反思，學(xué)生進(jìn)一步感受解決復(fù)雜問題、探索復(fù)雜規(guī)律所要經(jīng)歷的思考過程和基本步驟，通過方法的運(yùn)用，學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中獲得的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以深化?！俊?/p>

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤實(shí)驗(yàn)小學(xué)）endprint