培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的教學(xué)思考

陳志鳳

牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜測(cè)就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”確實(shí)，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是起源于猜想，比如，牛頓通過(guò)砸在頭上的蘋(píng)果發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法……數(shù)不勝數(shù)的事例告訴我們，孩子們還是需要猜想能力的.所謂的數(shù)學(xué)猜想，是“指以一定的數(shù)學(xué)事實(shí)為根據(jù)，通常是應(yīng)用類(lèi)比、歸納的方法提出的，或者是在靈感中、直覺(jué)中閃現(xiàn)出來(lái)的.”如何培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)學(xué)猜想能力呢？筆者覺(jué)得應(yīng)該從數(shù)學(xué)猜想的幾個(gè)步驟著手——大量事實(shí)的觀察、驗(yàn)證、類(lèi)比、歸納概括等提出猜想，下面筆者就結(jié)合一些課堂實(shí)踐談一談對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的思考與嘗試：

一、鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷觀察、大膽猜想，培養(yǎng)猜想的自發(fā)性

猜想前，要經(jīng)歷一定的觀察活動(dòng)，否則學(xué)生們很難開(kāi)始猜想.比如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”前，筆者出示的是故事：唐僧師徒四人西去取經(jīng)，化緣得到三張餅，要將三張餅平均分給四個(gè)人，可以怎么分？結(jié)合三張圓形紙片分一分.于是得到兩種不同的分法，先分一張餅，每人分得一張餅的14，三人共分得3個(gè)14，就是3×14=34；也可以將三張餅摞在一起，平均分成4份，就是3÷4=34.基于這個(gè)操作活動(dòng)和等式，猜想還是有一定難度的，教師可以手勢(shì)輔助點(diǎn)撥，引發(fā)孩子們對(duì)于分?jǐn)?shù)除法的猜想，即除以一個(gè)數(shù)，就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).

猜想的前提必須要經(jīng)歷，經(jīng)歷操作、練習(xí)、觀察，只有親身體驗(yàn)了，才能提出自己的猜想.當(dāng)然，這一過(guò)程中，也有些學(xué)生羞于猜想，怕說(shuō)不對(duì)，同學(xué)會(huì)嘲笑，這時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生們大膽地將猜想表達(dá)出來(lái).由于這里的是初步猜想，說(shuō)對(duì)或錯(cuò)，教師們不要急于否定或肯定，更不能打擊，對(duì)于肯猜想的、愿意表達(dá)的要給予表?yè)P(yáng)，以此激發(fā)更多學(xué)生的參與度和自發(fā)性.

二、鼓勵(lì)孩子遷移知識(shí)、類(lèi)比猜想，培養(yǎng)猜想的可靠性

沒(méi)有數(shù)學(xué)事實(shí)作依據(jù)、天馬行空般隨意猜想是不能稱(chēng)為猜想的，因此，數(shù)學(xué)猜想不是無(wú)根之木、無(wú)水之源，它必須要建立在相關(guān)知識(shí)的遷移之上.在鼓勵(lì)學(xué)生們大膽猜想、自發(fā)生成初步論斷的同時(shí)，更要鼓勵(lì)學(xué)生們遷移相關(guān)知識(shí)，做有據(jù)可尋的猜想判斷.

比如，筆者在教學(xué)六年級(jí)“分?jǐn)?shù)拆分問(wèn)題”前，先出示了一系列的填空題：12×3=1（）-1（），13×4=1（）-1（），19×10=1（）-1（），……學(xué)生們基于五年級(jí)的知識(shí)邊做邊發(fā)現(xiàn)，分母中的兩個(gè)數(shù)都相差1，可以直接拆分成兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位直接相減.在這些練習(xí)的積累上，當(dāng)學(xué)生們遇到這樣一道算式：1n×（n+1）=1（）-1（），也會(huì)水到渠成地生成這樣一道猜想式.

同樣，在這些知識(shí)遷移后，再進(jìn)行分母相差2，分子是2的分?jǐn)?shù)拆分猜想時(shí)，學(xué)生們會(huì)更加有導(dǎo)向、有方法，學(xué)生們會(huì)試著猜想這類(lèi)拆分題，再出題套用、驗(yàn)證此前的猜想，同樣也會(huì)生成出分母相差幾，分子是幾的分?jǐn)?shù)拆分猜想.

最后，再進(jìn)行分子和兩個(gè)分母的差不同的分?jǐn)?shù)拆分，學(xué)生們應(yīng)用此前猜想已經(jīng)沒(méi)辦法解答此類(lèi)題目.這時(shí)教師可以出示幾組題：14×7=（）（），14-17=（）（），14×7=14-17×（），……力求使學(xué)生們?cè)趲捉M題組中遷移出相關(guān)拆分知識(shí)，類(lèi)比猜想出這類(lèi)拆分的規(guī)律，并用字母表示出：na×（a+m）=1a-1a+m×nm.這樣的歸納，概括了所有類(lèi)型的拆分類(lèi)型，具有統(tǒng)一性的同時(shí)，也更加簡(jiǎn)約.

三、鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用直觀、歸納猜想，培養(yǎng)猜想的簡(jiǎn)約性

猜想的表達(dá)形式，可以是文字，也可以是公式化的，具有簡(jiǎn)約性，如上例的猜想結(jié)果.其實(shí)簡(jiǎn)約性不僅體現(xiàn)在結(jié)果，還體現(xiàn)在過(guò)程之中.猜想這種直覺(jué)思維若想準(zhǔn)確、可靠，通常是貼近邏輯思維而行進(jìn)，讓學(xué)生們的直覺(jué)更加有據(jù)可尋.但是，邏輯思維一般不抽象，因此，我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生思維的可靠性時(shí)，可以鼓勵(lì)學(xué)生們應(yīng)用幾何直觀來(lái)判斷同伴的猜想或疑問(wèn)是否成立.

比如，教學(xué)“釘子板上的多邊形”一課時(shí)，皮克定理的公式是數(shù)，是公式，但如果脫離圖形去探究，則失去了依托.教學(xué)中，先在釘子板上圍了幾個(gè)內(nèi)部釘子數(shù)是0的長(zhǎng)方形，引發(fā)學(xué)生猜想多邊形邊上的釘子數(shù)和面積間的關(guān)系；再?lài)鰞?nèi)部釘子數(shù)是2的多邊形，猜想S=N÷2-1在這些圖形中是否適用？圖形內(nèi)部有什么變化呢？數(shù)一數(shù)每個(gè)圖形內(nèi)部有幾枚釘子？面積分別是多少？?jī)H僅考慮邊上的釘子數(shù)行嗎？想一想怎樣計(jì)算？在直觀的圖形導(dǎo)引下，學(xué)生們猜想出S=N÷2+1.依此探究步驟，學(xué)生們得出內(nèi)部釘子數(shù)是1的多邊形S=N÷2；內(nèi)部釘子數(shù)是3的多邊形S=N÷2+2……這樣的公式寫(xiě)也寫(xiě)不完，于是就生成出了統(tǒng)一公式：S=N÷2+A（其中N是邊上的釘子數(shù)，A表示內(nèi)部釘子數(shù)）.

幾何直觀既可以運(yùn)用在數(shù)形結(jié)合的猜想上，還可以用于其他題上，結(jié)合了圖形加以輔助思考，猜想也變得更加強(qiáng)勁，同時(shí)也大大簡(jiǎn)化了思考過(guò)程.

四、鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用思想（方法）、應(yīng)用猜想，提升猜想的靈活性

猜想除了需要知識(shí)遷移、直觀圖形輔助猜想之外，更需要數(shù)學(xué)思想的支撐.有時(shí)候，面對(duì)稍復(fù)雜的題目時(shí)，我們可能無(wú)法下手，找不到任何知識(shí)作支撐，這時(shí)候數(shù)學(xué)思想可能來(lái)得更加給力.教學(xué)五年級(jí)“多邊形面積計(jì)算”時(shí)，筆者更加側(cè)重教學(xué)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及排空法、公式法、轉(zhuǎn)化法等方法，這時(shí)，學(xué)生們是用數(shù)學(xué)方法（思想）在進(jìn)行猜想，它大大提升了孩子們猜想的靈活性.

思維靈活性是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方面，是我們教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)一以貫之的內(nèi)容，學(xué)生只有掌握了正確的思維策略，培養(yǎng)了良好的思維品質(zhì)，才會(huì)在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)得輕松，游刃有余.

綜上所述，孩子們的數(shù)學(xué)猜想能力需要從觀察、類(lèi)比、歸納概括開(kāi)始，需要從心理、知識(shí)、技能、思想方法等方面訓(xùn)練，力求培養(yǎng)出孩子們猜想的自發(fā)性、可靠性、簡(jiǎn)約性及靈活性.借助猜想，讓學(xué)生在小學(xué)階段形成良好的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之途才會(huì)平坦而快樂(lè)，才會(huì)走得長(zhǎng)遠(yuǎn).endprint