線性代數教學中逆向思維能力的培養(yǎng)

劉敏

【摘要】線性代數雖然是基礎性課程，但因為其課程內容、定義、定理及公式等等都過于抽象，就要求授課教師要多多采用不同的切實有效的教學方法進行課堂教學.不同的思維方式的運用，在線性代數的教學中能收到不一樣的效果，尤其是逆向思維能力的運用，能使學生對線性代數知識的理解更加深刻.本文著重闡釋了逆向思維在線性代數教學中的重要性和培養(yǎng)方法.

【關鍵詞】逆向思維；線性代數；矩陣；行列式；線性方程組

思維區(qū)別于客觀物質，形成于人腦中，可以具體反映事物的本質和事物規(guī)律性.我們在日常的思維運用上，可以采用不同的思維技巧，其中有歸納思維、演繹思維、側向思維、求異思維（也叫發(fā)散思維）、求證思維、橫向思維、逆向思維、推理思維、交叉思維、跳躍思維、直覺思維等.而大多數的思維方式和技巧都可以運用到線性代數的學習和解題中.本文以逆向思維方式為例，談談逆向思維能力在線性代數的教學中如何應用.

一、線性代數及逆向思維定義

線性代數主要研究行列式、矩陣、線性變換、線性方程組和二次型.線性代數作為理工科的一門基礎課程，日益受到重視.在當前大學理工科類的課程中，一般大一就會開設線性代數課程，其教學中一般采用類比思維、發(fā)散性思維、任務驅動性思維、歸納性思維及逆向思維等思維方法進行教學，經過實踐的檢驗，不同的思維方式能使學生提高不同方面的能力，同時在教學效果上也是有一定差異性的.[1]

逆向思維，簡單說，就是從事物的反面來思考問題，看看會得到什么樣的結果.經過多年的教學實踐，證明逆向思維在線性代數的教學中的作用不可小看，其有一定的教學意義.第一，逆向思維簡單地理解，就是針對某一問題，逆向地對問題進行思考，這種獨特的思維方式是數學研究的一個重要內容，其在數學研究和教學中都有著不可忽視的地位和作用，是數學教學，特別是高等數學教學不可缺少的教學內容之一.第二，經過多年的研究實踐證明，逆向思維在高等數學，尤其是線性代數的教育中，對于學生邏輯思維能力以及學生解題思路都有很大的要求，逆向思維的應用能很好地滿足學生對于邏輯思維能力和解題思路的需求，是學生進行學習和研究不可缺少的必備能力.第三，逆向思維是要求學生在正向思維后，根據已知條件求解后，在通過得到的結論反過來，往回推演，以檢驗自己的結論是否正確.這種思維方式，在對知識的理解和掌握上更加準確，基本概念更加簡練，基本理論更加系統，基本方法更加實用，解題的思路更加清晰.[2]

二、逆向思維在線性代數課堂教學實踐中的運用

（一）矩陣

矩陣是線性代數的重要知識點，其重要性表現在其貫穿整個線性代數的教學過程中，表明，矩陣是線性代數教學的重中之重.在矩陣知識點教學過程中，如果利用逆向思維教學思想，并以串珍珠項鏈的形式進行講？？.“黑白珍珠項鏈”即相關知識點：矩陣不可逆、矩陣奇異、行列式為零、矩陣不滿秩、矩陣的秩為矩陣的階數、矩陣的列向量組線性無關、矩陣的行向量組線性無關、矩陣可以表示為初等矩陣的乘積、矩陣與單位矩陣等價、齊次線性方程組只有零解、非齊次線性方程組有唯一解、矩陣的任一特征值不為零.通過珍珠項鏈的形式，把相關知識點進行串聯，把學過的知識點進行歸納，并通過舉例來論證其在矩陣教學中的位置和作用，通過這樣的教學方式，可以大大培養(yǎng)學生的逆向思維能力.

（二）向量組

向量是線性代數的一個重要內容，向量是特殊的矩陣，既然是矩陣就有矩陣的共性，但其也有其獨特的性質，特別是在向量組的線性相關性上，對初學者來說，是最難理解的一個知識點之一.這主要是因為其抽象概念很多，沒接觸過的初學者看這些概念如讀天書，而且，這些抽象概念間的互相關系復雜，定理也是很多，很難一下就記住理解.基于這個實際情況，在線性代數的教學中，大多數教師都通過借用逆向思維的教學方法，把向量組的相關性和無關性擺出來，對著講解，并結合前面矩陣的可逆與否知識串聯起來講，能有效提高學生對相關概念理解的精準度.[3]

（三）線性方程組

線性方程組在線性代數的具體教學中，進行了相應的系統化和理論化的處理，并給出了線性方程組的多種完善的理論解法，如，克萊姆法則、高斯消元法、基礎解系法等.在線性方程組的具體講解中借用逆向思維的數學思想，把齊次線性方程組的基礎解系理解為系數矩陣屬于零特征值的特征向量問題，結合教學實際舉例講解，能達到方便求解的目的.

三、以實例闡釋在線性代數教學中培養(yǎng)學生的逆向思維能力

（一）線性代數定義的可逆性，是線性代數知識的一個特點.對于初學者來說，難度都是非常的大.而在線性代數的解題中，定義法又是經常用到的解題法之一，由于線性代數定義的抽象特點，使得很多學生不習慣、不知道，甚至不會把定義進行逆向的思考，從而造成這種有效的解題思維方法被忽視.實際上，數學中的定義很多都是可逆的，其正確的解也是唯一的，重要的是逆向運用定義，會使解題更加簡單明了.因此，在線性代數的教學中，教師要在授課過程中著重鍛煉學生的逆向思維能力，這種不僅可以使學生對概念深刻理解，還能增強學生對數學的學習興趣，從而擴展學生解題的方法，提高其解題的靈活性.例如，利用逆向伴隨矩陣的定義求代數余子式.

（二）利用定義、公理的可逆性，培養(yǎng)學生的逆向思維能力.線性代數的定義非常抽象，但其可逆性也是可以運用的，而線性代數的定理、公式相對于定義，則通俗易懂、簡單明了，其可逆性也是經常被運用，只是學生在解題習慣上習慣于正向運用定義、定理、公式.但一旦逆向運用會發(fā)現，解題變得輕松簡單，而且會獲得一種新的解題方式.

（三）線性代數是工程、理工科的基礎學科，其中有些問題本身就是反問題，在實際的課堂教學中，教師可以利用這些反問題來好好培養(yǎng)學生的逆向思維能力.如，可逆矩陣的反問題、線性方程組的反問題、特征值特征向量的反問題等.

（四）通過反例來論證正向命題的正確性，也是培養(yǎng)學生逆向思維能力的一個好方法.數學這門學科本身就是奧妙多多、內涵深厚的學科，其中有的問題用不同的解法能得到意想不到的結果.而我們初高中學習的真命題、假命題的推論，就類似于逆向思維的解題方法.也就是說，把問題反過來進行思考推論，如果能推論出已知條件的存在，那么就證明解是正確的.如果要想證明這個命題是假的，只要反過來往回推論，而往回推的過程，只要能舉出一個反例就可以了，也就是說要證明一個命題是真的，需要一些證明，而如果要說明這個命題是假的，只要能舉出一個反例，就可以推翻這個命題的正確性.在線性代數的課堂教學中，教師可以通過引導學生構造反例，來證明原命題的真?zhèn)?而這種構造反例的論證方法就是逆向思維的運用，而且在構造反例過程中，可以調動學生所有的數學知識和經驗，充分利用數學思維的各種思維技巧，也能在最大限度上充分發(fā)揮逆向思維在線性代數解題上的作用.[4]endprint

（五）反證法在線性代數解題中經常被使用，它是通過對已知條件進行某種假設，通過對這種假設的推論，得出與已知條件不符的結論，從而證明題設的對錯.而這種思維方式正是逆向思維方式的運用，通過這樣的解題過程，也能大大提高學生的逆向思維能力.數學中的反證法是逆向思維解題法中具有代表性的一種方法，通過對學生反證法論證題目的訓練，讓學生對命題的解從未知到已知，不僅學習到了新的解題方法，而且在一定程度上學生的逆向思維能力得到了培養(yǎng)和提高.

四、在線性代數教學中逆向思維能力培養(yǎng)的意義

（一）重視和培養(yǎng)學生的逆向思維能力，可以有效幫助學生更加深刻地理解線性代數的知識，可以幫助線性代數的初學者完善相關的知識鏈接和儲備，最重要的是學生的解題靈活性和解題思路得到了拓寬.

（二）重視和培養(yǎng)學生的逆向思維能力，能在一定程度上簡化線性代數某些問題的解題難度，對線性代數的初學者來說，不至于打擊其對線性代數學習的積極性.同時，也可避免學生對線性代數學習的畏懼感，一切變得簡單了，學習興趣也上來了.

（三）重視和培養(yǎng)學生逆向思維能力，不僅僅能夠在學習方面幫助到學生，而且逆向思維能力對于學生的思考方式也有一定的改善，輻射到其他學科的學習上，逆向思維能力的提升和逆向思維方式的運用，也可以對其他學科的學習起到一定的提升作用.

五、結束語

線性代數是高等院校理工科的基礎課之一，它的重要性是不言而喻的，而學習線性代數的困難程度也是不容忽視的.線性代數課程內容本身的抽象性，定理、公式相互關系的復雜性等都是初學者面臨的問題，如何突破這些內容抽象難懂所帶來的困難，關鍵在于授課教師的授課方法.線性代數的教學，可以運用多種思維方式解決多種不同的問題，而逆向思維方式被認為是簡單的，并最容易接受的解題思維方式.因此，在線性代數的教學中，對學生進行逆向思維方式的培養(yǎng)，成了授課教師的一個重要教學內容.現實生活中，學生在學習中，對于逆向思維的把握，對于學生的學習有很大的幫助，不僅提高了學生解題的速度，還擴展了學生的思路范圍，這種能力輻射到學生的各學科的相應學習中，對學生的整體學習水平的提高都有一個極大的促進作用.

【參考文獻】

[1]陳平炎.線性代數課程教學改革的探索與實踐[J].高等教育，2012（5）：125-130.

[2]藍月歡.數學教學中數學思想方法的滲透[J].中山大學學報論叢，2013（8）：67-70.

[3]李永樂.線性代數輔導講義[M].西安：西安交通大學出版社，2015：166-170.

[4]任樟輝.數學思維理論[M].南寧：廣西教育出版社，2014：216-217.endprint