橫場中具有周期性各向異性的一維XY模型的量子相變?

宋加麗 鐘鳴 童培慶2)

1)(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 210023)

2)(江蘇省大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)值模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210023)

橫場中具有周期性各向異性的一維XY模型的量子相變?

宋加麗1)鐘鳴1)?童培慶1)2)?

1)(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 210023)

2)(江蘇省大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)值模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210023)

周期性各向異性XY模型,量子相變,各向同性鐵磁相,馮·諾依曼熵

1 引 言

低維量子系統(tǒng)是人們用來了解量子關(guān)聯(lián)的一個(gè)重要模型,其中一維自旋模型得到廣泛研究.一方面,此類模型相對比較簡單,可以通過解析和數(shù)值方法深入理解它們的性質(zhì),有助于預(yù)測和解釋其他復(fù)雜模型的相關(guān)性質(zhì),并且某些自旋模型還可直接用來解釋很多實(shí)驗(yàn)上的物理現(xiàn)象[1,2].另一方面,復(fù)雜模型可以借助一些方法映射到此類簡單模型,比如一些絕緣化合物可以看作是相互獨(dú)立的自旋單鏈的集合,這樣將模型簡單化,只需研究單鏈就能得到很多重要的物理信息[3].此外一維自旋模型在生命科學(xué)[4?6]、金融經(jīng)濟(jì)[7]等領(lǐng)域也有著重要的應(yīng)用.

眾多一維自旋模型中研究最多的是橫場中各向異性XY模型.這類簡單且具有廣泛代表性的模型大多是精確可解的[8,9].目前,關(guān)于XY自旋模型,人們除了在理論上取得了很多豐碩的成果,在實(shí)驗(yàn)上也已經(jīng)能制備出一些與理論描述符合得很好的樣品[10,11].幾十年來,人們從多個(gè)角度對這類模型的物理性質(zhì)進(jìn)行了非常深入的研究,其中討論得最多的性質(zhì)之一就是零溫下的量子相變.當(dāng)改變一個(gè)自旋系統(tǒng)的某些參數(shù)時(shí),相變就有可能產(chǎn)生.研究表明均勻的XY模型存在兩種類型的量子相變,分別是Ising相變[12]和各向異性相變[13].目前,人們用來研究自旋系統(tǒng)量子相變性質(zhì)的方法有很多.一般情況下,我們會借助一些序參量,如磁矩、磁化率和自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)來描述量子相變.隨著量子信息、量子通信等領(lǐng)域的發(fā)展,一些方法和概念,如量子糾纏[14?16]、量子失協(xié)[17?19]、保真度[20,21]也被用來描述量子相變.人們發(fā)現(xiàn)均勻XY模型的量子糾纏與量子相變有關(guān):相變點(diǎn)處的糾纏行為與子鏈長的對數(shù)呈線性關(guān)系,但在Ising相變和各向異性相變情況下對數(shù)前系數(shù)是不一樣的[14,15].

上述這些模型基本上都是均勻的,但在自然界中存在著大量非均勻(周期、準(zhǔn)周期、無序等)的系統(tǒng).所以,無序和準(zhǔn)均勻結(jié)構(gòu)對模型相變的影響一直是統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)物理領(lǐng)域中研究的熱點(diǎn).人們通過重整化群的方法研究了無序?qū)sing相變和各向異性相變的影響,發(fā)現(xiàn)無序改變了系統(tǒng)相變的普適類[22,23].1993年,Luck[24]指出兩類準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)對橫場中Ising鏈的量子相變的影響是不同的,第一類準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)不改變系統(tǒng)量子相變的普適類;第二類準(zhǔn)周期Ising鏈的量子相變的普適類與無序鏈的相同.但是,最近張振俊等[25]的工作表明第二類準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)的自旋鏈量子相變與無序情況是有區(qū)別的.為了解釋以上問題,人們對周期性結(jié)構(gòu)的自旋模型的量子相變做了大量的研究,例如橫場中具有周期性最近鄰相互作用的XY模型[26?29],發(fā)現(xiàn)模型的最近鄰交換相互作用周期地取不同值時(shí),相對于均勻XY模型,系統(tǒng)會出現(xiàn)更多的相變點(diǎn).在這些模型中主要研究了周期性交換相互作用對系統(tǒng)量子相變的影響,但不同格點(diǎn)的各向異性參數(shù)都是一樣的.本文研究周期性各向異性參數(shù)對系統(tǒng)量子相變的影響.發(fā)現(xiàn)當(dāng)周期為二且兩個(gè)各向異性參數(shù)值之比α=?1時(shí),系統(tǒng)會出現(xiàn)新的相.

2 模型和公式

考慮一個(gè)一維均勻橫場中各向異性XY模型(N個(gè)格點(diǎn)),其哈密頓量為

通過Jordan-Wigner變換[12],系統(tǒng)哈密頓量可以改寫成如下無自旋費(fèi)米子形式:

矩陣A和B的非零元素為本文只考慮N為偶數(shù)的情況,因此取反周期性邊界條件[26],即不失一般性,取J=1.

再應(yīng)用Bogoliubov變換,得到對角化的哈密頓量:

其中,

在本模型中Λk總是非負(fù)的,所以根據(jù)方程(3),系統(tǒng)基態(tài)能量寫為

系統(tǒng)基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)之間的能隙?=min{Λ?k},其對應(yīng)的波矢k0滿足

當(dāng)?=0,系統(tǒng)第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)之間沒有能隙.隨著參數(shù)的變化,如果?由非零值變?yōu)榱?說明系統(tǒng)發(fā)生了相變;如果?一直是零值,則說明系統(tǒng)處在一個(gè)無能隙的狀態(tài).

2.1 關(guān)聯(lián)函數(shù)

選取兩格點(diǎn)的長程關(guān)聯(lián)函數(shù)作為序參量來描述系統(tǒng)的相變行為.其定義為

Lieb等[12]給出了兩格點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的計(jì)算方法.通常把Cx=Cy=0的相叫作順磁(PM)相;把Cx>Cy>0的相叫作沿x方向的鐵磁有序(FMx)相;把0 6Cx

2.2 馮·諾依曼熵

對于一維自旋模型塊與塊之間的量子糾纏的研究,馮·諾依曼熵是一個(gè)非常重要的物理量.所以本文采用馮·諾依曼熵來研究一維各向異性XY模型的量子糾纏.當(dāng)由兩個(gè)子系統(tǒng)A,B構(gòu)成的系統(tǒng)處于態(tài)|ΨAB?時(shí),其馮·諾依曼熵(又叫部分糾纏熵)的定義為

其中約化密度矩陣

設(shè)子系統(tǒng)A有L個(gè)連續(xù)自旋,其馮·諾依曼熵在非相變點(diǎn)區(qū)域是常數(shù)[15],而在相變點(diǎn)附近存在著奇異性:

對于均勻各向異性XY模型,在Ising相變點(diǎn)處系數(shù)c=1/6;在各向異性相變點(diǎn)處系數(shù)c=1/3.

3 結(jié)果與討論

系統(tǒng)發(fā)生相變時(shí),第一激發(fā)態(tài)和基態(tài)之間的能隙為零,所以我們可以通過計(jì)算單粒子能譜最小值?=0來確定可能的對應(yīng)相變的點(diǎn).得到的解析結(jié)果如下.

1)當(dāng)γ=0時(shí),系統(tǒng)對應(yīng)的是橫場中各向同性XY模型.因此,橫場h∈[0,1]所對應(yīng)的系統(tǒng)是無能隙的.

2)當(dāng)α≠且γ≠0時(shí),系統(tǒng)在

處的?為零,而在其他h處?均大于零,如圖1所示.圖1(a)和圖1(b)分別對應(yīng)α=1,0時(shí)不同h情況下系統(tǒng)的單粒子能譜(不失一般性,取γ=0.5).這說明系統(tǒng)在hc1點(diǎn)發(fā)生了相變. 特別地,當(dāng)α=1時(shí),系統(tǒng)就變成了均勻XY模型,對于這種模型的量子相變,我們已經(jīng)取得了很多豐富的成果[15,30,31].因此,從計(jì)算結(jié)果及能譜圖可以看出,α≠1時(shí)模型的相變行為與均勻XY模型相似,只是相變點(diǎn)位置發(fā)生了變化.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)α取不同值時(shí),橫場中各向異性參數(shù)周期為二的一維XY模型不同區(qū)域的單粒子能譜 (a)α=1;(b)α=0;(c)α=?1;γ=0.5,N=500Fig.1.(color line)The single particle energy spectra of the period-two anisotropic XY chains in a transverse field with different α for:(a)α =1;(b)α =0;(c)α = ?1.Here γ =0.5,N=500.

3)當(dāng)α=?1時(shí),系統(tǒng)在

處的能隙?為零.圖1(c)給出了此種情形下不同h所對應(yīng)的系統(tǒng)的單粒子能譜.從圖1(c)我們可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí),單粒子能譜總有兩個(gè)零點(diǎn),對應(yīng)著一個(gè)無能隙的相;當(dāng)時(shí)能隙?均大于零.因此,系統(tǒng)的相變臨界線為

很明顯,α≠1和α=?1對應(yīng)的模型的相和相變行為是不一樣的.尤其是α=?1時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了一個(gè)無能隙的相,這值得我們進(jìn)一步研究,以確定相應(yīng)的相圖及系統(tǒng)糾纏熵的標(biāo)度行為.

3.1 關(guān)聯(lián)函數(shù)和相圖

圖2給出了參數(shù)α取不同值時(shí),XY模型的Cx,Cy關(guān)于h和γ的函數(shù)變化情況,不失一般性地取α=1,0,?1.圖2(a)和圖2(b)表示α=1的情況,即橫場中均勻XY模型,可以看到隨著h(不失一般性取γ=0.5)的增大,系統(tǒng)由FMx(Cx>Cy)相變?yōu)镻M(Cx=Cy=0)相,相變點(diǎn)為hc=1,對應(yīng)的是Ising相變;當(dāng)0Cy)相變?yōu)镕My(Cx0區(qū)域Cx>Cy,對應(yīng)FMx相;在hhc1區(qū)域Cx=Cy=0,對應(yīng)PM 相.比較α=1(均勻XY模型)和α≠±1兩種情況下系統(tǒng)的Cx,Cy,可知它們的相變行為相似:沿著h增大的方向,系統(tǒng)發(fā)生的都是Ising相變,并且系統(tǒng)相變點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果與解析式(11)得到的結(jié)果相吻合;而當(dāng)h

圖2 (網(wǎng)刊彩色)α取不同值時(shí),橫場中各向異性參數(shù)周期為二的一維XY模型的長程關(guān)聯(lián)函數(shù)分別關(guān)于h和γ的變化情況 (a),(b)對應(yīng)α=1的情形;(c),(d)對應(yīng)α=0的情形;(e),(f)對應(yīng)α=?1的情形Fig.2.(color line)The long-range correlations of the period-two anisotropic XY chains in a transverse field with different α as functions of γ and h for:(a),(b)α =1;(c),(d)α =0;(e),(f)α = ?1.

圖2(e)和圖2(f)給出的是α=?1時(shí)系統(tǒng)的Cx和Cy關(guān)于h和γ的變化曲線.隨著外場h增大,Cx,Cy同時(shí)由大于零的值變?yōu)榱?系統(tǒng)由有序相過渡到無序相.其相變發(fā)生位置為與解析計(jì)算得到的結(jié)果完全一致.在h>hc2區(qū)域內(nèi)Cx=Cy=0,系統(tǒng)所處的相仍然是PM相;而在h0,對應(yīng)的是一個(gè)新的有序相.為了描述方便,我們將其稱為各向同性鐵磁相,記為FMxx相.此時(shí)系統(tǒng)的Ising相變?nèi)匀淮嬖?各向異性相變消失.

為了了解FMxx相出現(xiàn)的原因,我們分析了系統(tǒng)的對稱性,發(fā)現(xiàn)當(dāng)α=?1時(shí)模型的哈密頓量在經(jīng)過變換之后保持不變.為此我們計(jì)算了最相鄰格點(diǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)隨外場h的變化曲線,如圖3所示.結(jié)果顯示第2i?1和2i格點(diǎn)間沿x(y)方向的關(guān)聯(lián)函數(shù)等于第2i和2i+1格點(diǎn)間沿y(x)方向的關(guān)聯(lián)函數(shù),因而導(dǎo)致了不同方向的長程關(guān)聯(lián)函數(shù)相等.正是存在這樣的對稱性,系統(tǒng)在hhc2區(qū)域表現(xiàn)為PM相.

在參數(shù)α不同的情況下,通過研究Cx,Cy關(guān)于h和γ的函數(shù)行為,發(fā)現(xiàn)數(shù)值結(jié)果與前文中求出的解析式(11)和(13)相一致.于是,我們得到了系統(tǒng)在不同α取值情況下參數(shù)空間(h,γ)中的相圖,如圖4所示.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)α=?1時(shí),橫場中各向異性參數(shù)周期為二的一維XY模型最近鄰格點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)隨外場h的變化(a)實(shí)線、短劃線分別對應(yīng)(b)實(shí)線、短劃線分別對應(yīng)γ =0.5,N=500Fig.3.(color line)The short-range correlations of the period-two anisotropic XY spin models in a transverse field with α = ?1 as functions of h for:(a)The solid and dashed lines correspond to (b)the solid and dashed lines correspond to γ =0.5,N=500.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)橫場中各向異性參數(shù)周期為二的一維XY模型的相圖 (a)α=1,0;(b)α=?1Fig.4.(color line)Phase diagram of the period-two anisotropic XY chains in a transverse field for:(a)α=1,α=0;(b)α=?1.

3.2 馮·諾依曼熵

對于橫場中均勻XY模型,系統(tǒng)的馮·諾依曼熵在Ising相變和各向異性相變處與子鏈長的對數(shù)存在線性關(guān)系[15],但是在沿x(y)方向的各向異性鐵磁(FMx,FMy)相和PM相內(nèi)會很快收斂到一個(gè)常數(shù)值.這三個(gè)相都是有能隙的,而當(dāng)α=?1時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了一個(gè)無能隙的鐵磁(FMxx)相.因此,我們借助馮·諾依曼熵進(jìn)一步數(shù)值研究了不同α情形下系統(tǒng)的量子糾纏行為.

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)α≠1(圖5(a))時(shí)系統(tǒng)在相變點(diǎn)h=hc1附近的SL變化曲線和橫場中均勻XY模型(α=1)在Ising相變點(diǎn)處的糾纏行為相似,即與子鏈長L的對數(shù)呈線性關(guān)系,對數(shù)前系數(shù)為1/6.圖5(b)顯示的是當(dāng)α=?1時(shí)系統(tǒng)在FMxx相內(nèi)某點(diǎn)(不失一般性取h=0.55;γ=0.7,0.3,0)的馮·諾依曼熵SL隨log2L變化的曲線圖.與均勻XY模型的糾纏行為不同,結(jié)果表明在FMxx相內(nèi)SL也隨著子鏈長的對數(shù)log2L的增加而線性增長,且對數(shù)前系數(shù)c=1/3,這與橫場中均勻XY模型在各向異性相變點(diǎn)處的糾纏行為(圖中上三角曲線)相似.通過之前的分析可知,橫場中處在FMxx相上的XY模型和均勻XY模型在各向異性相變點(diǎn)處的單粒子能譜都有兩個(gè)取值不為零和±π/2的k0使?=0,因此FMxx相內(nèi)系統(tǒng)的馮·諾依曼熵與均勻XY模型在各向異性相變點(diǎn)處的糾纏行為相似.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)橫場中各向異性參數(shù)周期為二的一維XY模型的馮·諾依曼熵隨子鏈長L的變化 (a)h=1,γ=0.5,α=1;h=0.968246,γ =0.5,α =0;(b)α = ?1,h=0.55,γ =0.7,0.3,0Fig.5.(color line)SLof the period-two anisotropic XY chains in a transverse field of the system in the FMxx phase as functions of L(the size of the subsystem)for:(a)h=1,γ =0.5,α =1;h=0.968246,γ =0.5,α =0;(b)α=?1,h=0.55,γ=0.7,0.3,0.

4 結(jié) 論

本文討論了橫場中具有周期性各向異性參數(shù)的一維XY模型的量子相變和量子糾纏.數(shù)值計(jì)算了兩格點(diǎn)長程關(guān)聯(lián)函數(shù)Cx,Cy,發(fā)現(xiàn)當(dāng)α≠1時(shí),系統(tǒng)的相變行為與橫場中均勻XY模型的相似;而當(dāng)α=?1時(shí)系統(tǒng)在h0,我們把這樣的相叫做各向同性鐵磁(FMxx)相.考慮系統(tǒng)的對稱性,我們發(fā)現(xiàn)α=?1所對應(yīng)的XY模型在經(jīng)過變換后,哈密頓量不變,導(dǎo)致了FMxx相的出現(xiàn).這樣就得到了系統(tǒng)在參數(shù)空間中的相圖.最后,采用馮·諾依曼熵研究了系統(tǒng)在FMxx相內(nèi)的糾纏行為.發(fā)現(xiàn)其與子鏈長L的對數(shù)呈線性關(guān)系,對數(shù)前系數(shù)c=1/3,這與橫場中均勻XY模型在各向異性相變點(diǎn)處的糾纏行為相似.

[1]Suzuki S,Inoue J I,Chakrabarti B K 2013Quantum Ising Phases and Transitions in Transverse Ising Models(Berlin:Springer-Verlag)p13

[2]de Gennes P G 1963Solid State Commun.1 132

[3]Bitko D,Rosenbaum T F,Aeppli G 1996Phys.Rev.Lett.77 940

[4]Vtyurina N N,Dulin D,Docter M W,Meyer A S,Dekker N H,Abbondanzieri E A 2016Proc.Nat.Acad.Sci.USA113 4982

[5]Fan B,Branch R W,Nicolau D V,Pilizota T,Steel B C,Maini P K,Berry R M 2010Science327 685

[6]Shi Y,Duke T 1998Phys.Rev.E58 6399

[7]Sornette D 2014 arXiv:1404.0243v1[q- fin.GN]

[8]Jin B Q,Korepin V E 2004I.Stat.Phys.116 79

[9]Islói F,Juhász R 2008Europhys.Lett.81 57003

[10]Babkevich P,Jeong M,Matsumoto Y,Kovacevic I,Finco A,Toft-Petersen R,Ritter C,M?nsson M,Nakatsuji S,R?nnow H M 2016Phys.Rev.Lett.116 197202

[11]Kenzelmann M,Coldea R,Tennant D A,Visser D,Hofmann M,Smeibidl P,Tylczynski Z 2002Phys.Rev.B65 144432

[12]Lieb E,Schultz T,Mattis D 1961Ann.Phys.NY16 407

[13]Pfeuty P 1970Ann.Phys.NY57 79

[14]Osterloh A,Amieo L,Falci G,Fazio R 2002Nature416 608

[15]Vidal G,Latorre J I,Rico E,Kitaev A 2003Phys.Rev.Lett.90 227902

[16]Franchini F,Its A R,Korepin V E 2008J.Phys.A:Math.Theor.41 025302

[17]Raoul D 2008Phys.Rev.B78 224413

[18]Guo J L,Wei J L,Qin W,Mu Q X 2015Quantum Int.Process14 1429

[19]Cheng W W,Li J X,Shan C J,Gong L Y,Zhao S M 2015Quantum Int.Process14 2535

[20]Zanardi P,Paunkovic N 2006Phys.Rev.E74 031123

[21]Quan H T,Song Z,Liu X F,Zanardi P,Sun C P 2006Phys.Rev.Lett.96 140604

[22]Fisher D 1994Phys．Rev．B50 3799

[23]Bunder J,McKenzie R 1999Phys.Rev.B60 344

[24]Luck J M 1993J．Stat．Phys.72 417

[25]Zhang Z J,Li W J,Zhu X,Xiong Y,Tong P Q 2015Acta Phys.Sin.64 190501(in Chinese)[張振俊,李文娟,朱璇,熊燁,童培慶2015物理學(xué)報(bào)64 190501]

[26]Tong P Q,Zhong M 2001Physica B304 91

[27]Zhong M,Tong P Q 2010J.Phys.A:Math.Theor.43 505302

[28]Tong P Q,Liu X X 2006Phys.Rev.Lett.97 017201

[29]Zhong M,Liu X X,Tong P Q 2007Int.J.Mod.Phys.B21 4225

[30]Latorre J I,Rico E,Vidal G 2004Quantum Int.Comput.4 48

[31]Sachdev S 2011Quantum Phase Transitions(Cambridge:Cambridge University Press)p133

Quantum phase transitions of one-dimensional period-two anisotropicXYmodels in a transverse field?

Song Jia-Li1)Zhong Ming1)?Tong Pei-Qing1)2)?

1)(Department of Physics and Institute of Theoretical Physics,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China)

2)(Jiangsu Key Laboratory for Numerical Simulation of Large Scale Complex Systems,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China)

18 February 2017;revised manuscript

18 May 2017)

The quantum phase transitions of one-dimensional period-two anisotropicXYmodels in a transverse field with the Hamiltonian

where the anisotropy parametersγitakeγandαγalternately,are studied.The Hamiltonian can be reduced to the diagonal form by Jordan-Wigner and Bogoliubov transformations.The long-range correlationsCxandCyare calculated numerically.The phase withCx>Cy?=0(orCy>Cx?=0)is referred to as the ferromagnetic(FM)phase along thex(ory)direction,while the phase withCx=Cy=0 is the paramagnetic(PM)phase.It is found that the phase diagrams with the ratioα≠1 andα=?1 are different obviously.

For the case withα≠1,the lineseparates an FM phase from a PM phase,while the lineγ=0 is the boundary between a ferromagnetic phase along thexdirection(FMx)and a ferromagnetic phase along theydirection(FMy).These are similar to those of the uniformXYchains in a transverse field(i.e.,√α=1).Whenα=?1,the FMxand FMyphases disappear and there appears a new FM phase.The lineh=hc2= 1? γ2separates this new FM phase from the PM phase.The new phase is gapless with two zeros in single particle energy spectrum.This is due to the new symmetry in the system withα=?1,i.e.,the Hamiltonian is invariant under the transformationσ2xi→σ2yi+1,σ2yi→σ2xi+1.The correlation function between the 2i?1 and 2ilattice points along thex(y)direction is equal to that between the 2iand 2i+1 lattice points along they(x)direction.As a result,the long-range correlation functions along two directions are equivalent.In order to facilitate the description,we call this gapless phase the isotropic ferromagnetic(FMxx)phase.

Finally,the relationship between quantum entanglement and quantum phase transitions of 1 the system is studied.The scaling behaviour of the von Neumann entropy at each point in the FMxxphase isSL～3log2L+Const,which is similar to that at the anisotropic phase transition point of the uniformXYmodel in a transverse field,and different from those in the FMxand FMyphases.

period-two anisotropicXYmodel,quantum phase transition,isotropic ferromagnetic phase,von Neumann entropy

PACS:03.65.–w,75.10.Pq,75.50.Gg,68.65.–kDOI:10.7498/aps.66.180302

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11575087).

?Corresponding author.E-mail:mzhong@njnu.edu.cn

?Corresponding author.E-mail:pqtong@njnu.edu.cn

(2017年2月18日收到;2017年5月18日收到修改稿)

通過解析和數(shù)值計(jì)算的方法研究了橫場中具有周期性各向異性的一維XY自旋模型的量子相變和量子糾纏.主要討論了周期為二的情況,即各向異性參數(shù)交替地取比值為α的兩個(gè)值.結(jié)果表明,與橫場中均勻XY模型相比,α=?1所對應(yīng)的模型在參數(shù)空間的相圖存在著明顯的不同.原來的Ising相變?nèi)匀淮嬖?沒有了沿x和y方向的各向異性鐵磁(FMx,FMy)相,即各向異性相變消失,出現(xiàn)了一個(gè)新的相,并且該相內(nèi)沿x和y方向的長程關(guān)聯(lián)函數(shù)相等且大于零,我們稱新相為各向同性鐵磁(FMxx)相.這是由于系統(tǒng)新的對稱性所導(dǎo)致的.解析結(jié)果還說明系統(tǒng)在FMxx相中的單粒子能譜有兩個(gè)零點(diǎn),是一個(gè)無能隙的相.最后,利用馮·諾依曼熵?cái)?shù)值地研究了系統(tǒng)在新相內(nèi)各點(diǎn)的量子糾纏,發(fā)現(xiàn)該相內(nèi)每一點(diǎn)的馮·諾依曼熵的標(biāo)度行為與均勻XY模型在各向異性相變處的相似,即

10.7498/aps.66.180302

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11575087)資助的課題.

?通信作者.E-mail:mzhong@njnu.edu.cn

?通信作者.E-mail:pqtong@njnu.edu.cn