意想不到的反轉(zhuǎn)

劉金龍

數(shù)學(xué)最吸引人的地方，有時(shí)候是因?yàn)樗半y”，“難”到實(shí)際情況與表面現(xiàn)象不符，甚至完全相反。正是這樣的情況讓人不由得想要開(kāi)動(dòng)腦筋，一探究竟。

錄取比例引發(fā)的爭(zhēng)議

學(xué)校新開(kāi)設(shè)了一個(gè)藝術(shù)社團(tuán)，同學(xué)們紛紛踴躍報(bào)名，以致于報(bào)名人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了社團(tuán)所能容納的人數(shù)。于是，社團(tuán)采取了選拔錄取的方式來(lái)控制入社人數(shù)。

選拔結(jié)束后，團(tuán)長(zhǎng)葛麗麗拿著名單慌慌張張地來(lái)到校長(zhǎng)辦公室：“校長(zhǎng)，不好了，不好了！”

校長(zhǎng)知道葛麗麗平時(shí)處事很穩(wěn)重，詫異地問(wèn)道：“怎么了？出什么事了？”

葛麗麗報(bào)告說(shuō)：“男生說(shuō)我們的社團(tuán)選拔本來(lái)挺好的，讓有特長(zhǎng)的同學(xué)能更好地學(xué)習(xí)、發(fā)揮，可他們不能容忍社團(tuán)的性別歧視行為?！?/p>

校長(zhǎng)更驚詫了，學(xué)?？墒枪綄?duì)待每位學(xué)生的，怎么可能會(huì)出現(xiàn)這種情況？

“性別歧視？怎么說(shuō)？”

葛麗麗繼續(xù)說(shuō)道：“某位數(shù)學(xué)尖子生看了社團(tuán)的錄取名單公示后，說(shuō)我們社團(tuán)有性別歧視，女生的錄取率是男生的2倍。我們一算，還真是這樣?！?/p>

校長(zhǎng)雖然不解，但是對(duì)這個(gè)錄取情況更感興趣了：“哦，還有這樣的情況？我們可是公平、公開(kāi)、公正地選拔。你把錄取情況拿給我看看。”

葛麗麗將社團(tuán)錄取情況統(tǒng)計(jì)表遞給校長(zhǎng)。

校長(zhǎng)笑著夸獎(jiǎng)葛麗麗：“你辦事還真是細(xì)心，這份表格一目了然！”

“謝謝校長(zhǎng)夸獎(jiǎng)！女生的錄取率是42%，而男生的錄取率僅有21%，這樣對(duì)男生好像確實(shí)不公平。”葛麗麗大著膽子說(shuō)。

校長(zhǎng)聽(tīng)完后哈哈大笑：“你們啊，都被那位同學(xué)帶到了一個(gè)誤區(qū)，走進(jìn)了一個(gè)悖論里?！?/p>

葛麗麗聽(tīng)得一頭霧水，卻又看不出這里有什么不對(duì)。

我看社團(tuán)確實(shí)存在性別歧視，錄取的女生明顯比男生多。

別這么輕易下結(jié)論，學(xué)校對(duì)待每位學(xué)生都是公平的，哪有什么性別歧視，且聽(tīng)聽(tīng)校長(zhǎng)怎么說(shuō)吧。

哪支球隊(duì)實(shí)力更強(qiáng)

校長(zhǎng)召集大家開(kāi)會(huì)的消息傳開(kāi)了。聽(tīng)說(shuō)要解釋社團(tuán)男女生錄取比例的問(wèn)題，那些未被選上的學(xué)生，尤其是男生，早早來(lái)到操場(chǎng)，都想聽(tīng)聽(tīng)校長(zhǎng)怎么說(shuō)。

看著黑壓壓的一大片學(xué)生，校長(zhǎng)說(shuō)道：“同學(xué)們，大家對(duì)藝術(shù)的熱忱，我都看到了。今天我想給大家講個(gè)故事?！比巳褐幸魂囼}動(dòng)，不是說(shuō)給大家解釋社團(tuán)招新的事嗎？怎么變成講故事了？

校長(zhǎng)緩緩地說(shuō)道：“故事講完后，我有個(gè)問(wèn)題需要大家和我一起探討?！?/p>

一聽(tīng)到要和校長(zhǎng)一起探討問(wèn)題，大家都安靜了下來(lái)。

“曾經(jīng)，幾位籃球業(yè)余愛(ài)好者臨時(shí)組建了一支籃球隊(duì)，他們想知道自己的實(shí)力，于是決定和專業(yè)的籃球隊(duì)進(jìn)行50場(chǎng)比賽。他們先與高水平球隊(duì)比賽10場(chǎng)，只勝了1場(chǎng)。隨后，他們又與普通球隊(duì)比賽40場(chǎng)，結(jié)果勝了20場(chǎng)。所以，他們總的獲勝概率是42%，成績(jī)好像還不錯(cuò)?！?/p>

聽(tīng)到這兒，有人提問(wèn)了：“如果他們一開(kāi)始就挑戰(zhàn)普通球隊(duì)，總的獲勝概率會(huì)不會(huì)更高？”

“可是，當(dāng)他們挑戰(zhàn)高水平球隊(duì)時(shí)，他們會(huì)輸?shù)煤軕K吧！”

校長(zhǎng)笑了笑，示意大家安靜，繼續(xù)說(shuō)：“這時(shí)候，又有另一支業(yè)余籃球隊(duì)組建起來(lái)了。他們同樣先挑戰(zhàn)了高水平球隊(duì)，連續(xù)比賽了40場(chǎng)，勝了6場(chǎng)。隨后，他們挑戰(zhàn)了普通球隊(duì)，賽了10場(chǎng)，全勝。所以，他們總的獲勝概率是32%?！?/p>

“他們挑戰(zhàn)普通球隊(duì)時(shí)是全勝啊，怎么會(huì)這樣？”

“是啊，看他們跟高水平球隊(duì)比賽的情況，也不比第一支球隊(duì)差?！?/p>

“同學(xué)們，你們當(dāng)中有很多是籃球愛(ài)好者，數(shù)學(xué)也很棒。大家覺(jué)得這兩支業(yè)余球隊(duì)，誰(shuí)更厲害？”校長(zhǎng)提問(wèn)。

“看數(shù)據(jù)，第一支球隊(duì)總的獲勝率更高?！?/p>

“我感覺(jué)第二支球隊(duì)的水平更高?！?/p>

“第二支球隊(duì)更厲害啊，都完勝普通球隊(duì)了?！?/p>

這是怎么回事？明明感覺(jué)是第二支球隊(duì)更厲害，可統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)卻顯示第一支球隊(duì)的獲勝概率更高。

和他們比賽的球隊(duì)不是都有水平層級(jí)嗎？條件不一樣得出的結(jié)論當(dāng)然不一樣了。你要好好思考，不可光看這個(gè)籠統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

聽(tīng)完大家的議論，校長(zhǎng)說(shuō)道：“按數(shù)據(jù)顯示，確實(shí)是第一支球隊(duì)總的獲勝概率要高一些，可光憑這個(gè)數(shù)據(jù)就判定兩支球隊(duì)的水平，顯然是不行的。很明顯，第二支球隊(duì)的實(shí)力要高于第一支球隊(duì)。大家看，第一支球隊(duì)與高水平球隊(duì)打的場(chǎng)次少，與普通球隊(duì)打的場(chǎng)次多，所以勝的總場(chǎng)次多。但其實(shí)他們與高水平球隊(duì)打時(shí)獲勝概率是10%，與普通球隊(duì)打時(shí)獲勝概率是50%。而第二支球隊(duì)與高水平球隊(duì)打的場(chǎng)次多，與普通球隊(duì)打的場(chǎng)次少，他們的獲勝概率：前者達(dá)到15%，后者達(dá)到100%。顯而易見(jiàn)，第二支球隊(duì)的實(shí)力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于第一支球隊(duì)?！?/p>

“感覺(jué)這個(gè)數(shù)據(jù)和社團(tuán)的錄取情況統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有些相似！”葛麗麗突然醒悟道。

“你們發(fā)現(xiàn)了嗎？在社團(tuán)招新中，音樂(lè)類和美術(shù)類的錄取率相差很大，音樂(lè)類的錄取率很高，而美術(shù)類的很低，同時(shí)男生女生的申請(qǐng)者分布比重相反。其中申請(qǐng)音樂(lè)類的男生錄取率為75%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于女生。美術(shù)類的錄取率雖然都偏低，但男生的錄取率同樣高于女生，所以我們切不可將兩者進(jìn)行簡(jiǎn)單地直接匯總，否則大家就掉入一個(gè)辛普森悖論的陷阱里了?！毙ｉL(zhǎng)笑著對(duì)大家說(shuō)道。

哇！部分和整體竟然有這么大的差別，真是不可用量來(lái)衡量質(zhì)?。?/p>

終于明白了吧！以后可要好好學(xué)數(shù)學(xué)，別再鬧出大笑話了。簡(jiǎn)單直接匯總分組數(shù)據(jù)，是不能反映真實(shí)情況的。為了避免辛普森悖論的出現(xiàn)，我們可以根據(jù)重要程度讓各分組數(shù)據(jù)乘以一個(gè)分?jǐn)?shù)。如果兩組數(shù)據(jù)同等重要，那么它們都乘以1/2，否則所乘分?jǐn)?shù)將不同，但兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和為1，以此消除各分組數(shù)據(jù)差異所造成的影響。