改進(jìn)恒力矩法測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

楊達(dá)曉 張家偉 楊耀輝 陳學(xué)文 姚雪 譚仁兵

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院， 重慶 401331)

改進(jìn)恒力矩法測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

楊達(dá)曉 張家偉 楊耀輝 陳學(xué)文 姚雪 譚仁兵

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院， 重慶 401331)

針對(duì)大學(xué)物理專業(yè)課中剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定問(wèn)題進(jìn)行研究。選擇合適的砝碼及塔輪半徑組合，讓系統(tǒng)進(jìn)行一次減速運(yùn)動(dòng)和一次加速運(yùn)動(dòng)，以測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。采用改進(jìn)恒力矩的測(cè)定方法，實(shí)驗(yàn)阻力矩隨角速度變化對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響程度減小，測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確性得到提高，誤差減小。

阻力矩； 剛體； 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 恒力矩

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課中，常采用落體法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。落體法原理簡(jiǎn)單，但受測(cè)量過(guò)程中各種因素的干擾，測(cè)量結(jié)果精度不高，誤差較大。有研究者建議，測(cè)量時(shí)盡量選擇小質(zhì)量砝碼和小半徑塔輪[1-2]。也有研究者認(rèn)為，可通過(guò)多次反復(fù)實(shí)驗(yàn)，篩選合適的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)此問(wèn)題，研究者提出了多種方法[3-8]。目前尚無(wú)方法徹底避免或減小阻力矩隨角速度變化的影響，本次研究嘗試將改進(jìn)的恒力矩法用于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)貫量測(cè)量。

1 測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理

剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若所受的合外力矩為M，此時(shí)的角加速度為β，該剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則根據(jù)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律有：M=Jβ。此時(shí)，只需測(cè)出力矩M和角加速度β，則可計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。

1.1 落體法的原理

在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，所測(cè)剛體需要放置在一個(gè)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量未知，需要先給空實(shí)驗(yàn)臺(tái)一定初始角速度使其作減速轉(zhuǎn)動(dòng)，再通過(guò)細(xì)線將質(zhì)量為m的砝碼繞在半徑為r的實(shí)驗(yàn)臺(tái)塔輪上，使砝碼下落；系統(tǒng)在恒外力作用下將作加速運(yùn)動(dòng)，記錄減速、加速轉(zhuǎn)動(dòng)角位移與時(shí)間的關(guān)系，并假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)所受力矩為恒力矩，通過(guò)對(duì)應(yīng)公式計(jì)算空實(shí)驗(yàn)臺(tái)角加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。同理，在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上放置待測(cè)剛體，測(cè)出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理，計(jì)算待測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在測(cè)量過(guò)程中，系統(tǒng)作減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的初始角速度不受限制，隨意性較大。已有研究證實(shí)，阻力矩隨角速度變化，導(dǎo)致多次測(cè)量結(jié)果不一致，且相對(duì)誤差偏大。

1.2 改進(jìn)恒力矩法的原理

為了改變測(cè)量過(guò)程中系統(tǒng)作減速運(yùn)動(dòng)時(shí)初始角速度的隨意性，對(duì)恒力矩法加以改進(jìn)。圖1所示為改進(jìn)恒力矩法實(shí)驗(yàn)臺(tái)與砝碼的運(yùn)動(dòng)示意圖。

圖1 改進(jìn)恒力矩法實(shí)驗(yàn)臺(tái)與砝碼的運(yùn)動(dòng)示意圖

將質(zhì)量為m1的砝碼用細(xì)線繞在半徑為r1的塔輪上，使砝碼下落，系統(tǒng)在恒外力作用下將作勻加速運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)臺(tái)加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，受阻力矩Mf和拉力矩rFT1的作用，角加速度大小為β1。砝碼受重力m1g和繩拉力FT1作用，加速度大小為a1。設(shè)實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，忽略滑輪摩擦力矩及質(zhì)量。根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有

m1g-FT1=m1a1=m1r1β1

(1)

r1FT1-Mf=J1β1

(2)

則有

m1r1(g-r1β1)-Mf=J1β1

(3)

再將質(zhì)量為m2的砝碼用細(xì)線繞在半徑為r2的塔輪上，給實(shí)驗(yàn)臺(tái)一定的初始角速度，使塔輪通過(guò)細(xì)線帶動(dòng)砝碼上升，系統(tǒng)在恒外力作用下將作勻減速運(yùn)動(dòng)。有

FT2-m2g=m2a2=m2r2β2

(4)

(5)

(6)

(7)

同理，若實(shí)驗(yàn)臺(tái)放置被測(cè)物體后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，利用對(duì)應(yīng)質(zhì)量砝碼和半徑塔輪組合，測(cè)出作勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)的角加速度大小分別為β3與β4，可得

(8)

以上各式中，β1、β2、β3、β4均取絕對(duì)值。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加原理，被測(cè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J3=J2-J1

(9)

2 利用1次勻加速和1次勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及計(jì)算

實(shí)驗(yàn)中，使用塔輪半徑r為15、20、25 mm，砝碼質(zhì)量分別為34.22、44.59、54.80 g，塔輪半徑和砝碼質(zhì)量根據(jù)m1gr1和m2gr2大小接近的原則進(jìn)行組合。圓盤質(zhì)量為491.46 g，直徑為240 mm，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值為0.003 539 kg·m2。

表1 利用勻加速和勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合一)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.003 455 kg·m2，相對(duì)誤差2.36%。

表2 利用勻加速和勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合二)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.003 478kg·m2，相對(duì)誤差1.72%。

表3 利用勻加速和勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合三)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.003 416 kg·m2，相對(duì)誤差3.46%。

表4 利用勻加速和勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合四)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.003 452 kg·m2，相對(duì)誤差2.43%。

表5 利用勻加速和勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合五)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.003 482 kg·m2，相對(duì)誤差1.61%。

表6 利用勻加速和勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合六)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.003 478 kg·m2，相對(duì)誤差1.70%。

根據(jù)式(1)、(3)、(4)、(6)可計(jì)算得到測(cè)量時(shí)組合一對(duì)應(yīng)的阻力矩和拉力矩(見(jiàn)表7)。其他組合阻力矩和拉力矩以此類推。

2.2 結(jié)果分析

由表1 — 表6可知，使用不同砝碼質(zhì)量和塔輪半徑組合測(cè)量時(shí)，系統(tǒng)做勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的角加速度大小略有不同。每次測(cè)量過(guò)程角速度變化范圍、阻力矩大小稍有差別，最終測(cè)得圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值和理論值有差別。此外，不同組合中系統(tǒng)做勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的角加速度大小差異程度不同，角速度變化范圍不同，摩擦阻力矩大小雖然會(huì)發(fā)生變化。但是，系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)還會(huì)產(chǎn)生細(xì)繩拉力矩，由表7可知摩擦阻力矩占系統(tǒng)所受合力矩的比例約為13%，故測(cè)量過(guò)程中系統(tǒng)所受合力矩變化較小。不同組合所得結(jié)果誤差大小雖有所差別，但相對(duì)誤差均較小，為3%左右，符合實(shí)驗(yàn)要求。

表7 利用勻加速和勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合一)

從6種砝碼質(zhì)量和塔輪半徑組合的測(cè)量結(jié)果來(lái)看，實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果差別約為1.91%；實(shí)驗(yàn)臺(tái)和圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果差別約為1.26%；圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果差別約為1.93%。每種結(jié)果差別都較小，說(shuō)明利用改進(jìn)恒力矩法測(cè)得結(jié)果準(zhǔn)確性好，解決了實(shí)驗(yàn)時(shí)阻力矩隨角速度變化影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確性問(wèn)題。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)重新組合

3.1 利用2次勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量

理論上也可以利用2次勻加速運(yùn)動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則對(duì)應(yīng)公式需要修改。若計(jì)算時(shí)β1、β2、β3、β4均取絕對(duì)值，則有

(10)

同理，若在實(shí)驗(yàn)臺(tái)放置被測(cè)物體后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，利用對(duì)應(yīng)質(zhì)量砝碼和半徑塔輪組合，測(cè)出作勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)的角加速度大小分別為β3與β4，可得

(11)

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加原理，被測(cè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J3=J2-J1

(12)

利用這種方法，根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)，重新整理數(shù)據(jù)并計(jì)算圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，結(jié)果如表8 — 表10所示。

表8 利用勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合一)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.004 523 kg·m2，相對(duì)誤差27.83%。

3.2 利用2次勻加速測(cè)量結(jié)果分析

由表8 — 表10可知，利用2次勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)，使用不同砝碼質(zhì)量和塔輪半徑組合測(cè)量結(jié)果相對(duì)誤差均較大。實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果最小值為0.006 381 kg·m2，最大值為0.008 370 kg·m2，兩者誤差為31.2%；實(shí)驗(yàn)臺(tái)和圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果最小值為0.009 253 kg·m2，最大值為0.012 956 kg·m2，兩者誤差約為40%；圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果最小值為0.002 866 kg·m2，最大值為0.004 586 kg·m2，兩者誤差約為60%。

表9 利用勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合二)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.002 866 kg·m2，相對(duì)誤差19.0%。

表10 利用勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合三)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.004 586 kg·m2，相對(duì)誤差29.6%。

3.3 利用2次勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量

當(dāng)然，理論上也可以利用兩次勻減速運(yùn)動(dòng)測(cè)量計(jì)算物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則對(duì)應(yīng)公式需要修改．如計(jì)算時(shí)β1、β2、β3、β4均取絕對(duì)值，有

(13)

同理，若在實(shí)驗(yàn)臺(tái)放置被測(cè)物體后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，利用對(duì)應(yīng)質(zhì)量砝碼和半徑塔輪組合，測(cè)出作勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)的角加速度大小分別為β3與β4，可得

(14)

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加原理，被測(cè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J3=J2-J1

(15)

根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)，重新整理并計(jì)算，結(jié)果如表11 — 表13所示。

表11 利用勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合一)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.005 941 kg·m2，相對(duì)誤差67.9%。

表12 利用勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合二)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.005 215 kg·m2，相對(duì)誤差47.39%。

表13 利用勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(組合三)

注：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值為0.004 036 kg·m2，相對(duì)誤差14.06%。

3.4 利用2次勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量結(jié)果分析

由表11 — 表13可知，利用2次勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)，使用不同砝碼質(zhì)量和塔輪半徑組合測(cè)量結(jié)果相對(duì)誤差均較大，說(shuō)明測(cè)量結(jié)果也不準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果最小值為0.004 811 kg·m2，最大值為0.007 940 kg·m2，誤差約65%；實(shí)驗(yàn)臺(tái)和圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果最小值為0.010 752 kg·m2，最大值為0.013 155 kg·m2，誤差約為22%；圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果最小值為0.004 036 kg·m2，最大值為0.005 941 kg·m2，誤差約為47%。

4 結(jié) 語(yǔ)

以上分析結(jié)果表明，利用后2種方法測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，測(cè)量結(jié)果均不精確，且相對(duì)誤差大。理論上方法可行，但實(shí)際應(yīng)用效果不好。原因在于，同組數(shù)據(jù)中兩次測(cè)量得到的角加速度大小相差較小且有誤差，在計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，將2次測(cè)量得到的角加速度相減，相減得到的數(shù)值為分母。根據(jù)誤差理論，這種做法結(jié)果誤差必然很大。

利用改進(jìn)的恒力矩法進(jìn)行1次勻加速和1次勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)量，使用不同質(zhì)量的砝碼和塔輪半徑組合，測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，穩(wěn)定性和精確度均較好，相對(duì)誤差較小。這說(shuō)明改進(jìn)的恒力矩法能部分解決測(cè)量中摩擦阻力矩變化導(dǎo)致的數(shù)據(jù)不穩(wěn)定問(wèn)題。

[1] 班麗瑛.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中影響阻力矩因素研究[J].煤礦機(jī)械,2006，27(4)：603-604.

[2] 張艷亮.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定實(shí)驗(yàn)中阻力矩與角速度關(guān)系的研究[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn),2012，25(5)：51-53.

[3] 黃曉清，劉志成，謝鵬,等.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)恒力矩測(cè)量法數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析[J].中國(guó)醫(yī)學(xué)物理學(xué)雜志,2016，33(1)：98-102.

[4] 王海林，司嶸嶸，李相銀.落體法測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中引起測(cè)量值偏離的因素分析[J].物理實(shí)驗(yàn),2012，32(5)：25-28.

[5] 郭長(zhǎng)立，李三慶.落體法測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量方法比較[J].力學(xué)與實(shí)踐,2005，27(3)：69-72.

[6] 龐學(xué)霞，鄧澤超，李霞,等.恒力矩轉(zhuǎn)動(dòng)法測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中細(xì)線直徑的選擇[J].實(shí)驗(yàn)室科學(xué),2008 (6)：82-83.

[7] 袁樹(shù)青，范學(xué)東，樊林林.用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量誤差分析[J].電子測(cè)量技術(shù),2013(5)：63-65.

[8] 鄧鋰強(qiáng). 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀實(shí)驗(yàn)的誤差分析[J]. 實(shí)驗(yàn)室科學(xué),2013,16(4): 27-31.

AnImprovedConstantTorqueMethodofMeasuringtheRigidBodyMomentsofInertia

YANGDaxiaoZHANGJiaweiYANGYaohuiCHENXuewenYAOXueTANRenbing

(School of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331, China)

This paper focuses on the study of measurement of rigid body moment of inertia in specialized course of college physics. With the appropriate combination weights and cone radius, the system was carried out a deceleration movement and an acceleration movement, and the rigid body moment of inertia has been measured. With the improved method for measuring constant torque, the impact of variation of resisting moment according to the angular velocity was reduced, and the result was more accurate with smaller error.

resisting moment; rigid body; moment of inertia; constant torque

2017-09-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“重味強(qiáng)子的產(chǎn)生和衰變及其新物理效應(yīng)研究”(11347024)；重慶市科委基金項(xiàng)目“對(duì)撞機(jī)上重味強(qiáng)子產(chǎn)生和衰變機(jī)制的研究”(2014JCYJA00030)；重慶市教委基金項(xiàng)目“重味粒子產(chǎn)生和衰變機(jī)制的系統(tǒng)研究”(KJ1401313)；重慶科技學(xué)院重點(diǎn)培育基金項(xiàng)目“高亮度正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)上重味粒子的研究”(CK2016Z03)

楊達(dá)曉(1981 — )，男，碩士，講師，研究方向?yàn)榇髮W(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

O313

A

1673-1980(2017)06-0103-05