合理使用參數(shù)法進行化歸和轉(zhuǎn)化

高慧明

參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題.直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證.換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子.

辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律.參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系. 參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運動與變化的思想，其觀點已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個分支. 運用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍.

參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題.

縱觀近幾年高考對于參數(shù)法的考查，重點放在參數(shù)法在函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何、不等式、立體幾何等問題上應(yīng)用，主要考查適時合理的引入?yún)?shù)處理與函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何、不等式、立體幾何等問題. 要求學(xué)生有較強的轉(zhuǎn)化與化歸意識和準確的計算能力. 從實際教學(xué)來看，學(xué)生對引入?yún)?shù)的時機、引入什么樣的參數(shù)、引入?yún)?shù)的作用及引入?yún)?shù)的范圍的確定學(xué)生難以把握，不會靈活運用.分析原因，除了參數(shù)法較難把握外，主要是學(xué)生沒有真正掌握參數(shù)的實質(zhì)，以至于遇到需要用參數(shù)的題目便產(chǎn)生畏懼心理.

一、參數(shù)法在函數(shù)問題中的應(yīng)用

在求解函數(shù)問題時，特別是在求復(fù)合函數(shù)解析式、研究復(fù)合函數(shù)性質(zhì)、求復(fù)合函數(shù)值域或最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)中，常用“整體代換”的方法引入?yún)?shù)，往往起到高次化為低次、無理化有理、超越式化為代數(shù)式、復(fù)雜問題簡單化、陌生問題熟悉化的作用.

【點評】由橢圓方程，聯(lián)想到a2+b2=1，于是進行“三角換元”，通過換元引入新的參數(shù)，轉(zhuǎn)化成為三角問題進行研究.本題還要求能夠熟練使用三角公式和“平方法”，在由中點坐標公式求出M點的坐標后，將所得方程組稍作變形，再平方相加，即（cos？茲1+cos？茲2）2+（sin？茲1+sin？茲2）2，這是求點M軌跡方程“消參法”的關(guān)鍵一步.一般地，求動點的軌跡方程運用“參數(shù)法”時，我們可以將點的x、y坐標分別表示成為一個或幾個參數(shù)的函數(shù)，再運用“消去法”消去所含的參數(shù)，即得到了所求的軌跡方程.

六、參數(shù)法在立體幾何中的應(yīng)用

在解答立體幾何問題時常常引入?yún)?shù)溝通各量間的數(shù)量關(guān)系，通過建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，結(jié)合向量的有關(guān)知識，通過計證明平行、垂直問題，計算空間角等立體幾何問題.

【點評】設(shè)參數(shù)a而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問題.

綜上所述，引入?yún)?shù)便于揭示變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，溝通題中各量之間的內(nèi)在聯(lián)系或改變數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)，進而求出所需要確定的常數(shù)或變量，參數(shù)法在解題過程中常常起著“整體代換”“鋪路搭橋”“設(shè)而不求”“換元法”“待定系數(shù)法”等作用.

應(yīng)用參數(shù)法首先要選取恰當參數(shù)，引進參數(shù)后，要能使問題獲解，這是選取參數(shù)最基本的原則；其次引進參數(shù)必須合理，除了要考慮條件與結(jié)論的特點外，還必須注意某些量的取值范圍，必要時還要對參數(shù)的變化范圍進行討論.另外，要注意原問題并非關(guān)于參數(shù)的問題，參數(shù)并不是直接研究的對象，它只起“橋梁”和轉(zhuǎn)化作用，所以當求得間接解后要倒回去確定原問題的解.

在數(shù)學(xué)問題中參數(shù)的選取、消去、確定、討論很普遍，而且在解題中，參數(shù)的選取多種多樣，由于綜合性強，牽扯面廣，一般都需要根據(jù)問題的條件作出透徹分析，才能恰當?shù)剡x取參數(shù)，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題.

責(zé)任編輯 徐國堅