雙曲守恒律方程的Lax—Wendroff時間離散WENO格式

李興華+孫陽+艾曉輝

摘 要：雙曲守恒型方程的高精度、高分辨率計算格式的研究一直是計算流體力學(xué)的熱點問題。針對原WENOJS格式分辨率較低和計算量偏大的不足問題，提出利用簡單的重構(gòu)數(shù)值通量的方法以提高計算效率，構(gòu)造了新的簡單限制器的5階迎風(fēng)型WENO格式。通過MATLAB軟件的仿真對LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡單限制器的WENO格式的實驗結(jié)果進行了分析，并比較了這四種計算格式的計算效率和計算精度。數(shù)值實驗表明：新格式LaxWendroff簡單限制器WENO格式在保持原WENO分辨率的前提下，計算速度有明顯提高，減少了20%的計算時間。

關(guān)鍵詞：高精度；WENO；RungeKutta；LaxWendroff；時間離散

DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.026

中圖分類號： O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2017）06-0134-06

Abstract：The research of high accuracy and high resolution schemes have been a hot topic in computational mathematics. According to low resolution and large amount of calculation of the original WENOJS scheme， we propose a simple new limiter fifth order upwind WENO scheme to reconstruct the numerical flux of the simple structure to improve the computational efficiency. Compared with other efficient high accuracy schemes such as ENO and WENO， it is shown that the computational cost of this scheme is less than that of WENOJS in the same accuracy. By use of MATLAB software， we compared and analyzed computational efficiencies and computational accuracies of LaxWendroff WENOJS scheme， LaxWendroff simple limiter WENO scheme， RungeKutta simple limiter WENO scheme and RungeKutta WENOJS scheme. The numerical results show that the new LaxWendroff simple limiter WENO scheme can improve the computing speed and reduce the computing time by 20% while maintaining the original WENO resolution.

Keywords：high accuracy； WENO； RungeKutta； LaxWendroff； time discretization

0 引 言

雙曲守恒律方程（組）為科學(xué)理論和工程應(yīng)用研究中一類非常重要的偏微分方程（組）?？諝鈩恿W(xué)、爆炸力學(xué)、流體力學(xué)等許多力學(xué)問題的求解都與其密切相關(guān)。由于即使在初始條件充分光滑的條件下，雙曲型守恒律方程的解仍可能出現(xiàn)間斷。因此，為了能夠更加高效地捕捉到間斷，并且避免間斷附近出現(xiàn)數(shù)值振蕩，計算流體力學(xué)及計算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域一直致力于研究穩(wěn)定高效的數(shù)值計算方法[1-5]。

低階精度的離散方法可能會對許多流動結(jié)構(gòu)造成“失真”模擬，不能真實反映真實的流動現(xiàn)象。高精度格式具有較小的耗散誤差和色散誤差，能夠更準(zhǔn)確地模擬雙曲守恒律方程的時空多尺度特性，在同樣網(wǎng)格條件下比低階格式能分辨出更加精細(xì)的流場、捕捉到其更細(xì)微的結(jié)構(gòu)變化。然而，高階精度格式也存在不足：求解在間斷處可能出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象即產(chǎn)生偽物理振蕩，從而導(dǎo)致非線性不穩(wěn)定現(xiàn)象。因此，發(fā)展高分辨率、高精度離散格式是計算流體力學(xué)發(fā)展中的迫切需要，成為計算流體力學(xué)工作者的一大研究方向[6-10]。

TVD格式的出現(xiàn)，標(biāo)志著計算流體力學(xué)步入了高精度計算格式階段，大量高精度計算格式不斷出現(xiàn)，而WENO格式由于其良好的計算穩(wěn)定性，已經(jīng)成為一類極為重要的計算格式。眾所周知，經(jīng)典的WENOJS格式存在分辨率較低和計算量偏大兩方面問題，因此計算數(shù)學(xué)工作者嘗試對其改進，構(gòu)造了諸如WENOZ、WENOM等很多改進格式。根據(jù)文獻(xiàn)[11]的基本思想構(gòu)造的簡化限制器的5階WENO格式是對原WENO格式的很好的補充和修正。

在時間離散方面，本文研究了LaxWendroff型時間離散格式，其具有較RungeKutta方法更為優(yōu)秀的計算效率。本文將WENO格式與LaxWendroff型時間離散相結(jié)合，得到了一種時空同步離散的新數(shù)值方法——基于LaxWendroff型時間離散的WENO格式。本文研究可以說是對高精度數(shù)值方法研究方面的有益補充和探索。

1 WENO5格式

針對以上兩種WENO格構(gòu)造不同的時間離散格式，能夠得到不同的數(shù)值方法。針對雙曲守恒律方程給出了具體的格式構(gòu)造過程，主要采用如下介紹的兩種時間離散方法LaxWendroff時間離散和TVD RungeKutta時間離散。下面，我們將介紹這兩種常用的時間離散方法。endprint

2 時間離散格式

目前雙曲守恒律方程最為常見的時間離散格式為TVD RungeKutta時間離散格式，也稱為SSP（strong stability preserving）RungeKutta時間離散。當(dāng)一階向前Euler迭代下的空間離散格式為TVD時，所構(gòu)造的全離散格式也TVD的。本文采用的RungeKutta時間離散格式為三階RungeKutta格式（簡記為RK3）[12-16]如下：

3 結(jié)果與分析

考慮線性對流方程和非線性方程兩種類型的方程的數(shù)值求解[17-20]，利用LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡單限制器的WENO格式四種格式進行數(shù)值模擬，研究數(shù)值方法的穩(wěn)定性、收斂性和計算效率等特性，所采用多的通量分裂為LaxFredrichs通量分裂。

表4和表5分別給出LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡單限制器的WENO格式計算結(jié)果。表4為四種格式的L1誤差和精度表，而表5為四種格式的L1誤差和精度表。

具有如下初值u（x，0）=0.5+sin（πx），計算到t=32π時刻，邊界條件為周期條件，N=400個計算點。此時在1.2～1.3之間的位置產(chǎn)生了一強激波，圖1和圖2為其計算結(jié)果。

計算結(jié)果中簡單限制器的WENO格式僅僅用到了2-3個計算點就可以識別激波，因此可以斷定簡單限制器的WENO格式的分辨率要高于WENOJS格式，而計算時間上，LaxWendroff時間離散具有一定的優(yōu)勢，WENO LW3和SWENO LW3兩種格式的計算時間為最少。

4 結(jié) 論

針對線性和非線性標(biāo)量守恒律方程進行了數(shù)值求解。研究了不同初值條件下的，LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡單限制器的WENO格式的計算效率和計算精度。LaxWendroff簡單限制器WENO格式不但形式簡單且便于應(yīng)用到CFD代碼中。算例表明，LaxWendroff WENO格式的分辨率與RungeKutta型WENO格式較為接近，而LaxWendroff簡單限制器WENO格式具有更好的激波及小尺度波分辨率，特別計算速度提高了WENO5的20%以上。本文從分析標(biāo)量雙曲守恒律方程解的性質(zhì)入手，分析了雙曲守恒律方程自身的特點和原有的WENOJS差分格式的優(yōu)缺點后，提出一種簡化限制器的WENO格式，新格式較原格式的分辨率有所提高。LaxWendroff時間離散格式由于其計算效率方面的優(yōu)勢，可以作為RungeKutta方法的一種時間離散改進格式。本文研究了四種不同的數(shù)值方法：LaxWendroff WENOJS格式、LaxWendroff簡單限制器WENO格式、RungeKutta WENOJS格式、RungeKutta簡單限制器的WENO格式計算了一維標(biāo)量守恒型方程，并給出了數(shù)值實驗的結(jié)果。數(shù)值試驗表明這四種方法均出了高精度高分辨的特性，都具有更好的分辨激波捕捉的能力，在激波間斷處不但保持了陡峭的的形狀，而且沒有出現(xiàn)偽物理振蕩。我們發(fā)現(xiàn)，對于同樣的問題，LaxWendroff簡單限制器WENO方法能在更短的時間和更小的儲存量。當(dāng)然，從數(shù)值實驗的結(jié)果來看，方法仍有改進的空間。未來需要關(guān)注的主要方面在于：在精度相同的情況下， LaxWendroff型的計算量要小于RungeKutta，因而更具有效率上的優(yōu)勢價值。然而，在推廣到雙曲守恒律方程組時，需要進行張量運算這給編程帶來了一定的困難。下一步作者將試著將推廣到高維守恒律方程方程組問題，現(xiàn)公式推到已經(jīng)完成，正在進行數(shù)值實驗，以得到較優(yōu)結(jié)果。

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（編輯：王 萍）endprint