Orlicz序列空間的（k）性質(zhì)

左明霞+彭麗娜

摘 要：（k）性質(zhì)是Banach空間中一個(gè)重要的幾何性質(zhì)，它與弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)密切相關(guān)。利用Banach空間及Orlicz空間的幾何理論，研究（k）性質(zhì)在一類具體的Banach空間——Orlicz序列空間中的刻畫問題。給出了賦Luxemburg范數(shù)和賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間具有（k）性質(zhì)的判別準(zhǔn)則。作為推論，得到了這類空間具有弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的一個(gè)充分條件。

關(guān)鍵詞：Orlicz序列空間；Luxemburg范數(shù)；Orlicz范數(shù)；（k）性質(zhì)

DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.023

中圖分類號： O177.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2017）06-0122-05

Abstract：Property （k） is an important geometric property in Banach spaces，and it is closely associated with fixed point property.By the geometric theory of Banach spaces and Orlicz spaces， we investigated the characterization for property（k） in a special class of Banach spacesOrlicz sequence spaces. Criteria for property（k） in Orlicz sequence spaces equipped with both the Luxemburg norm and the Orlicz norm are given. As a corollary， the sufficient condition that this kind of spaces has weak fixed point property is obtained.

Keywords：Orlicz sequence space； Luxemburg norm； Orlicz norm； property （k）

0 引 言

不動(dòng)點(diǎn)問題自20世紀(jì)以來已成為人們研究的熱門課題之一。近年來，關(guān)于非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)理論得到了很大的發(fā)展，這些理論在微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)理論、經(jīng)濟(jì)均衡理論及控制論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。一些數(shù)學(xué)工作者利用Banach空間的幾何性質(zhì)討論了定義在非空的有界閉凸集上的非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)的存在性。例如，Browder和Kirk分別證明了一致凸和具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的Banach空間上的非擴(kuò)張映射具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)[1，2]。這些結(jié)果將Banach空間的幾何性質(zhì)和非線性映射的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)聯(lián)系在了一起。此后國內(nèi)外的一些學(xué)者利用空間的幾何性質(zhì)對非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行了廣泛的研究， 得到了許多重要的結(jié)果[3-14]。人們在考慮不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的同時(shí)，引入了弱不動(dòng)性質(zhì)的概念。Banach空間X稱為具有弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)是指如果C是X的一個(gè)非空的弱緊凸子集，T：C→C是一個(gè)非擴(kuò)張映射（即x，y∈C， 有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖），則T在C上必有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。后來，Kirk在Banach空間中引入了弱正規(guī)結(jié)構(gòu)的概念，并證明了弱正規(guī)結(jié)構(gòu)蘊(yùn)涵弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)[15]。1994年，Sims在文[16]中引入了（k）性質(zhì)的概念，證明了若Banach空間X具有（k）性質(zhì)，則X具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu)，并且給出了Banach空間X具有（k）性質(zhì)的一些充分條件。因此，（k）性質(zhì)是與弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)密切相關(guān)的一個(gè)重要的幾何性質(zhì)。本文將討論（k）性質(zhì)在一類具體的Banach空間——Orlicz序列空間中的刻畫問題，給出了賦Luxemburg范數(shù)和賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間具有（k）性質(zhì)的充分必要條件，從而得到這類空間具有弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的一個(gè)充分條件。

1 預(yù)備知識

推論2 若M∈Δ2，則賦Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間loM具有弱不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] BROWER F E. Nonexpansive Nonlinear Operators in a Banach space [J]. Proc. Nat. Acad. Sci. USA， 1965（54）：1041-1044.

[2] KIRK W A. A Fixed Point Theorem for Mappings Which do not Increasedistances[J]. Amer. Math.Monthly， 1965， 72（1）： 1004-1006.

[3] SIMS B. Orthogonality and Fixed Points of Nonexpansive Maps [J]. Proc. Centre. Math. Anal. Austral. Nat. Univ.， 1988， 20（7）： 178-186.

[4] OPIAL Z O. Weak Convergence of the Sequence of Successive Approximations for Nonexpansive Mappings [J]. Bull. Amer. Math. Soc， 1967（73）： 591-597.

[5] FALSET G J. The Fixed Point Property in Banach Spaces with NUS Property[J]. J. Math. Anal. Appl.， 1997（215）： 532-542.

[6] FALSET G J， FUSTER L E， NAVARRO M E. Umiformly Nonsquare Banach Spaces Have the Fixed Point Property for Nonexpansive Mappings [J]. J. Funct. Anal.， 2006（233）： 494-514.endprint