基于帶跳的O-U過程的彩虹期權定價

石方圓, 楊立保， 李翠香

(1.河北師范大學 數學與信息科學學院,河北 石家莊 050024; 2.邢臺學院 數學與信息技術學院， 河北 邢臺 054001)

基于帶跳的O-U過程的彩虹期權定價

石方圓1, 楊立保2， 李翠香1

(1.河北師范大學 數學與信息科學學院,河北 石家莊 050024; 2.邢臺學院 數學與信息技術學院， 河北 邢臺 054001)

文章假設標的資產價格服從帶跳的Ornstein-Uhlenback(O-U)過程,無風險利率r(t)為時間的確定函數,波動率σ為常數,利用保險精算方法給出了彩虹期權的定價公式。

Ornstein-Uhlenback(O-U)過程;泊松過程;彩虹期權;保險精算

0 引 言

近年來,隨著全球金融市場的迅猛發(fā)展,期權在衍生證券中的地位顯得尤為重要,其定價問題也是金融數學的核心問題之一,受到越來越多的國內外學者的關注和研究。目前又出現了各類奇異期權,如亞式期權、復合期權、交換期權、選擇期權、彩虹期權[1]等。這些奇異期權的靈活性和多樣性是常規(guī)期權所不能比擬的。彩虹期權就是討論2個風險資產的最大值或最小值期權。資產最大值彩虹期權在到期日T的收益為:

max{ωmax[S1(T),S2(T)]-ωK,0},

資產最小值彩虹期權在到期日T的收益為:

max{ωmin[S1(T),S2(T)]-ωK,0},

其中,ω=±1。當ω=1時為看漲期權；當ω=-1時為看跌期權。

許多金融產品的定價可以轉化為2個風險資產的最大值或最小值期權的定價,例如外幣期權、選擇權債券等。因此探討彩虹期權的定價公式是很有意義的。

文獻[2]假設股票價格服從幾何布朗運動,給出了彩虹期權的定價公式。股票價格服從幾何布朗運動,意味著隨著時間的變化,股票價格收益率將只朝同一方向變化(上升或下降),然而實踐證明,股票的期望收益率具有均值回復性,是不可能隨時間朝同一個方向變化的。為克服幾何布朗運動的缺陷,許多學者在研究期權的定價公式時假設股票價格服從Ornstein-Uhlenback(O-U)過程[3-5]。

另外,在真實的資產市場中,一些重要事件的發(fā)生會引起股票價格產生間斷性跳躍,因此股票價格包括持續(xù)擴散和不持續(xù)跳躍2個方面。文獻[6]研究了帶有跳擴散過程的普通歐式期權定價。之后許多學者給出了一些期權在跳擴散模型下的定價公式[7-10],其中,文獻[10]得到了跳擴散模型下彩虹期權的定價公式。

假設股票價格服從帶跳的O-U過程將更具有實際的意義,然而目前關于這方面的研究很少。因此,本文將考慮標的資產價格服從帶跳的O-U過程的彩虹期權的定價。

傳統(tǒng)的期權定價方法通常假設金融市場是無套利、均衡、完備的,這與實際市場不太吻合。文獻[11]首次提出用保險精算方法給期權定價,將期權定價問題轉化為等價的公平保費問題,無任何經濟假設。其基本思想是:無風險資產按無風險利率折現,風險資產按期望收益率折現。本文將用保險精算方法給出彩虹期權的定價公式。

1 金融市場模型

假設彩虹期權中2個資產價格滿足如下方程:

dSi(t)=Si(t)[(μi-λiθi-αilnSi(t))dt+

σidBi(t)+φidNi(t)],i=1,2

(1)

其中,μi、λi、θi、αi、σi為常數;B1(t)、B2(t)為相關系數為ρ的布朗運動;Ni(t)為資產價格在時間段[0,t]內隨機跳躍的次數,它是參數為λi的Poisson過程;φi為第i種資產價格跳躍的相對高度,ln(1+φi)服從正態(tài)分布,即

φ1、φ2、N1(t)、N2(t)相互獨立且獨立于B1(t)、B2(t)。

用φij表示第i種資產發(fā)生第j次跳躍時的相對高度,假定φi1,φi2,φi3,…為相互獨立的且與φi同分布的隨機變量序列,無跳躍發(fā)生時記為φi0=0。

當φ1=φ2=0時,方程(1)為O-U過程;當φ1=φ2=α1=α2=0時,方程(1)為幾何布朗運動。

定義2 執(zhí)行價格為K,到期日為T的資產最大值彩虹期權在0時刻的保險精算價格定義為:

資產最小值彩虹期權在0時刻的保險精算價格定義為:

引理1 假設資產價格Si(t)滿足方程(1),則有:

(2)

證明先假定在[0,t]之間沒有發(fā)生跳躍。由Ito公式可得:

d(eαitlnSi(t))=

(3)式兩邊從0到t積分并整理得:

假定只在T1∈[0,t]時刻發(fā)生了一次跳,則有:

當跳的次數為Ni(t)時,則有:

引理1得證。

引理2 假設Si(t)滿足方程(1),則資產價格過程Si(t)在時間[0,t]上產生的期望收益率為:

證明由(2)式可得:

當φi0=0,j≥1時,E[1+φij]=1+θi,則有：

將(5)式代入(6)式中可得:

將(7)式代入定義1中可知,引理2得證。

引理3 假設(X,Y)為二維聯合正態(tài)分布的隨機變量,則有:

其中,I{·}為示性函數;μX、μY分別為X、Y的期望;σX、σY分別為X,Y的標準差;ρXY為隨機變量X、Y的相關系數;a、b為常數。

證明首先證明當μX=μY=0,σX=σY=1時,有

E[ecXI{X>a,Y>b}]=

其中,c為常數。事實上,經計算可得:

E[ecXI{X>a,Y>b}]=

[(x-c)2-2ρXY(x-c)(y-ρXYc)+

其中

所以(9)式成立。

其次證明(8)式,由于

E[eXI{X>a,Y>b}]=

取c=σX,由(9)式可得(8)式。

引理3得證。

2 彩虹期權的定價公式

下面研究資產最大值彩虹看漲期權的保險精算定價。

定理1 假設Si(t)滿足方程(1),則到期日為T,執(zhí)行價格為K的資產最大值彩虹看漲期權在0時刻的期權價值為:

其中

證明因為

max{max[A1,A2]-K,0}=

max{A1-K,A2-K,0}=

(A1-K)I{A1>K,A1>A2}+(A2-K)I{A2>K,A2>A1}=

A1I{A1>K,A1>A2}+A2I{A2>K,A2>A1}+

KI{A1

所以

把前3項分別記作Π1、Π2、Π3,下面分別估計它們。

由(2)式、(4)式可得:

其中

因為

?

所以

因為

所以由引理3可得:

從而

S1(0)(1+θ1)m×

同理可得:

綜上,定理1得證。

利用相同的方法可證出其他3種彩虹期權的定價公式。

定理2 假設Si(t)滿足方程(1),則到期日為T,執(zhí)行價格為K的資產最大值彩虹看跌期權在0時刻的期權價值為:

證明由于

max{K-max[A1,A2],0}=

max{min[K-A1,K-A2],0}=

(K-A1)I{K>A1,A1>A2}+(K-A2)I{K>A2,A2>A1}=

KI{K>A1,K>A2}-A1I{K>A1,A1>A2}-A2I{K>A2,A2>A1},

類似定理1可得定理2。

定理3 假設Si(t)滿足方程(1),則到期日為T,執(zhí)行價格為K的資產最小值彩虹看漲期權在0時刻的期權價值為:

證明由于

max{min[A1,A2]-K,0}=

max{min[A1-K,A2-K],0}=

(A1-K)I{A1>K,A2>A1}+(A2-K)I{A2>K,A1>A2}=

A1I{A1>K,A2>A1}+A2I{A2>K,A1>A2}-KI{A1>K,A2>K},

類似定理1可得定理3。

定理4 假設Si(t)滿足方程(1),則到期日為T,執(zhí)行價格為K的資產最小值彩虹看跌期權在0時刻的期權價值為:

證明由于

max{K-min[A1,A2],0}=

max{max[K-A1,K-A2],0}=

(K-A1)I{K>A1,A1A2,A2

-A1I{K>A1,A1A2,A2

KI{A1>K,A2>K}+K,

類似定理1可得定理4。

當φ1=φ2=α1=α2=0,定理1～定理4的結果與文獻[1]中的結果一致。

3 結 論

對新型期權進行合理定價已經成為金融數學研究的重要內容之一。至今為止,很多專家學者取得了豐碩的研究成果。本文在這些研究的基礎上,在O-U過程下加入跳躍,同時包含了資產收益率的均值回復性和跳躍對期權價格的影響,用保險精算方法給出了彩虹期權定價公式。得到的期權定價公式擴展了文獻[1]中的結論,而且本文結論還可以進一步擴展至多資產最優(yōu)或最差選擇期權的定價。另外,還可以在此基礎上進一步考慮利率隨機的情況。

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PricingofrainbowoptionsunderOrnstein-Uhlenbackprocesswithjump

SHI Fangyuan1, YANG Libao2， LI Cuixiang1

(1.School of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024, China; 2.School of Mathematics and Information Technology, Xingtai University, Xingtai 054001, China)

The underlying asset price process is supposed to follow the Ornstein-Uhlenback(O-U) process with jump, the riskless interestr(t)bethetime-dependentfunctionsandthevolatilityofthestockσbeconstant.Thepricingformulasofrainbowoptionsaregivenbyusingactuarialapproach.

Ornstein-Uhlenback(O-U) process; Poisson process; rainbow option; actuarial approach

2016-06-29；

2016-10-11

國家自然科學基金資助項目(11571089)

石方圓(1991-),女,河北邢臺人,河北師范大學碩士生;

李翠香(1971-),女,河北磁縣人,博士,河北師范大學教授,碩士生導師,通訊作者,E-mail:cuixing-li@126.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.12.025

O211.6

A

1003-5060(2017)12-1714-05

(責任編輯張 镅)